第二章 一阶动态电路的暂态分析

第二章一阶动态电路的暂态分析第二章一阶动态电路的暂态分析2.1电容元件与电感元件2.2换路定则及其初始条件2.3一阶电路零输入响应2.4一阶电路零状态响应2.5一阶电路完全响应2.6三要素法求一阶电路响应1

例如：电机的起、停，温度的升、降等不能跃变，需要经过一定的时间，这个过程称为过渡过程。稳态过渡过程稳态第二章一阶动态电路的暂态分析2uc=0

uc↑uc=us充电前充电时充电完稳态

稳态暂态（过渡过程）原因外因：电路结构变化（换路、切断、短路等）内因：动态元件L、C的存在第二章一阶动态电路的暂态分析32.1.1电容元件i+q-q+-u电压与电流取关联参考方向得到正比于电压变化率2.1电容元件与电感元件4电容元件存储的电荷量为电容元件电压与电流的关系为电容元件存储的能量为电容某时刻的储能与该时刻的电压平方成正比，电容电压为状态变量电容某时刻的电压，并不是只取决于该时刻的电流值，还与t0时刻前的历史有关系，为记忆元件“历史”2.1电容元件与电感元件5磁通量Ψ

与电流i取右螺旋方向+-Lu+-电压与电流取关联参考方向，，即电感元件的电流正比于电流变化率2.1.2电感元件6+－L+－C正比于电流平方，电流为状态变量记忆元件对照电容元件与电感元件7解电感的VAR

KVL

电容的VAR

KCL图2.1.4例2.1.2电路【例2.1.1】如图所示电路2.1.2(b)，已知i1=(2-e-t)(A),

t>0。求t>0时的电流2.1.2电感元件82.2.1换路定则电路中开关的接通、断开，元件参数的变化统称为换路。换路会使电路由一个状态过渡到另一个状态。如果电路中有储能元件，储能元件状态的变化反映出所存储能量的变化。能量的变化需要经过一段时间，因此电路由一个状态过渡到另一个状态要有一个过程，这个过程称为过渡过程。储能元件电压与电流是微分关系，分析动态电路要列解微分方程。含有一个储能元件的电路列出的是一阶微分方程，因此含有一个储能元件的电路称为一阶电路。2.2换路定则及其初始条件9由于物体所具有的能量不能跃变，因此，在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变．由可见电容电压uC和电感电流iL不能跃变．换路定律：换路时电容上的电压，电感上的电流不能跃变．即设换路的时刻为t=0，换路前的瞬间记为t=0－

，换路后的瞬间记为t=0+

，0－和0+

在数值上都等于零。2.2换路定则及其初始条件10前面我们见到如果取t0=0-，

t=0+

，可得积分项中iC

和uL为有限值，积分项为零，同样得到2.2换路定则及其初始条件112.2.2初始条件确定用时域分析法求解电路的动态过程实质就是求解微分方程．因此，必须要用初始条件确定积分常数.在一阶电路中，一般用电容电压或者电感电流作为变量列微分方程。初始值：就是所求变量在换路结束瞬间的值。122)根据换路定律，求出独立变量初始值uC(0+)和iL

(0+)

。3）在t=0+等效电路中求其他支路电压、电流的初始值：可用电压为uC(0+）的电压源替代电容，用电流为iL(0+)

的电流源替代电感，画出t=0+等效电路，如果换路前储能元件没有储能，即uC（0+)=0，iL(0+)=0，则电容→短路，电感→开路。1)先由t=0-等效电路求出uC(0–)

、iL(0–)：在直流激励下，换路前，电路已处于稳定状态时，将电容→开路，电感→短路，得到t=0-等效电路。

初始值的计算过程13

[例]图（a)所示电路，t<0时电路已达稳态，t=0时将开关K闭合。试求各元件电流、电压初始值。解：

t<0时电路已达稳态，电容相当于开路．2.2换路定则及其初始条件(a)

uCu2CKiCi1u110V10μF3kΩ2kΩi2+－14t=0+的等效电路如下图(b)所示．2.2换路定则及其初始条件15[例]

图(a)中电路换路前已经稳态，t=0时闭合开关，试求开关闭合前和闭合后瞬间的电感电流和电感电压。(a)解：开关闭合前电路稳态，电感相当于短路．2.2换路定则及其初始条件16

t=0时闭合开关，0+时刻等效电路如下图(b)所示(a)(b)0+时刻等效电路2.2换路定则及其初始条件17

t=0时开关闭合，0+时刻等效电路如图(b)所示．换路过程中，电容电压与电感电流不发生跃变，其它响应都有可能发生跃变。图(a)10V3ΩK2Ω2Ω1H2FiCuCt=0iiL

图(b)t=0+时刻等效电路+－2.2换路定则及其初始条件18解图2.2.2例2.2.2电路图

由于换路前动态元件均未储能，所以t=0时uC(0–)=c(0+)=0，iL(0–)=

iL(0+)=0，相当于电容短路、电感开路，则0+时刻等效电路如图2.2.2(b)所示，得【例2.2.2】如图2.2.2(a)所示电路，开关S在t=0时打开，开关打开前电感电容均未储能。求uc、ic、uL、iL及u的初始值。2.2换路定则及其初始条件192.3一阶电路的零输入响应如果电路中只含有一个储能元件，所列写电路的微分方程是一阶微分方程，故含一个储能元件的电路称为一阶电路．零输入响应：电路的输入为零，响应是由储能元件所储存的能量产生的，这种响应称为零输入响应本节讨论RC电路和RL电路的零输入响应．20图(a)所示电路中的开关原来连接在1端，电压源U0通过电阻Ro对电容充电，假设在开关转换以前，电容电压已经达到U0。在t=0时开关迅速由1端转换到2端。已经充电的电容脱离电压源而与电阻R联接，如图(b)所示,由于t>0时，无信号源作用，因而称为零输入响应。

RC电路的零输入响应(a)(b)1.RC电路的零输入响应21我们先定性分析t>0后电容电压的变化过程。当开关倒向2端的瞬间，电容电压不能跃变，即由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电容电压相同，即电阻的电流为(a)(b)1.RC电路的零输入响应22该电流使得电容元件中的电荷量不断减少，电压不断降低，直到电荷量为零，电容电压为零。这个过程一般称为电容放电。电阻消耗的能量需要电容来提供，这造成电容电压的下降。也就是电容电压从初始值uC(0+)=U0逐渐减小到零的变化过程。这一过程变化的快慢与电阻元件参数的大小和电容元件参数的大小有关。1.RC电路的零输入响应23为建立图(b)所示电路的一阶微分方程，由KVL得到由KCL和电阻、电容的VCR方程得到代入上式得到以下方程(a)(b)1.RC电路的零输入响应24这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。其通解为代入式中，得到特征方程其解为1.RC电路的零输入响应(a)(b)25于是电容电压变为式中A是一个常量，由初始条件确定。当t=0+时上式变为根据初始条件求得1.RC电路的零输入响应26得到图(b)电路的零输入响应为RC电路的零输入响应曲线按指数规律单调下降（2.3.3）

1.RC电路的零输入响应27当时由曲线可见，各电压电流的变化快慢取决于R和C的乘积。令

=RC，由于

具有时间的量纲，故称它为RC电路的时间常数。的物理意义时间常数等于电压衰减到初始值U0

的时所需的时间。2>1，越大衰减越慢1.RC电路的零输入响应RCteU)t(uC-=028当

t=5

时，uC(5)=0.007U0

，基本达到稳态值。只有t→∞时电路才能真正达到稳态，uC=0

。工程上认为t=(3~5)τ，uC→0电容放电基本结束。t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U随时间而衰减1.RC电路的零输入响应29

[例]

电路如图（a)所示，换路前电路处于稳定状态。t=0时刻开关断开，求t>0的电容电压和电容电流。解：换路前开关闭合，电路处于稳定状态，电容电流为零，电容电压等于200Ω电阻的电压，由此得到图（a)1.RC电路的零输入响应30时间常数：按式（2.3.3）

写出电容电压的零输入响应1.RC电路的零输入响应31计算电容电流方法一：方法二：1.RC电路的零输入响应32电感电流原来等于电流I0，电感中储存一定的磁场能量，在t=0时开关由1端倒向2端，换路后的电路如图(b)所示。

RL电路的零输入响应我们以图(a)电路为例来说明RL电路零输入响应的计算过程。(a)(b)2.RL电路的零输入响应33在开关转换瞬间，由于电感电流不能跃变，即iL(0+)=iL(0-)=I0

，这个电感电流通过电阻R时引起能量的消耗，这就造成电感电流的不断减少，直到电流变为零为止。

综上所述，图(b)所示RL电路是电感中的初始储能逐渐释放出来消耗在电阻中的过程。与能量变化过程相应的是各电压电流从初始值，逐渐减小到零的过程。(b)2.RL电路的零输入响应34换路后，由KVL得代入电感VCR方程

得到以下微分方程

(b)这个微分方程与式(2.3.1)相似，其通解为

2.RL电路的零输入响应35代入初始条件iL(0+)=I0求得最后得到电感电流和电感电压的表达式为令，则上式改写为2.RL电路的零输入响应36其波形如图所示。RL电路零输入响应也是按指数规律衰减，衰减的快慢取决于时间常数。且时间常数

=L/R．

RL电路零输入响应的波形2.RL电路的零输入响应37

[例]

电路如图所示，换路前K合于①，电路处于稳态。t=0时Ｋ由①合向②，求换路后的解:换路前电路已稳定2.RL电路的零输入响应38由换路定律可得换路后电路为零输入响应．从Ｌ两端视入的等效电阻为时间常数为2.RL电路的零输入响应39电感电流的零输入响应为电感电压为或者2.RL电路的零输入响应40【例2.3.1】如图2.3.5(a)所示电路，t<0时开关位于“1”处并已达到稳定，t=0时开关转到“2”的位置。求t>0时各支路电流的变化规律并画出波形图。t<0时，电感相当于短路，求得解图2.3.5例2.3.1电路图2.RL电路的零输入响应41根据换路定则得由图2.3.5(b)求得电感两端的等效电阻为图2.3.5例2.3.1电路图时间常数为2.RL电路的零输入响应42由此可得，时各电流和电压为波形如图2.3.6所示。图2.3.6例2.3.1各支路电流的波形图2.RL电路的零输入响应43解图2.3.7例2.3.2电路图2.RL电路的零输入响应【例2.3.2】如图2.3.7所示电路原已稳定，t=0时，开关S打开，试求零输入响应uC(t)及iC(t)。44电路的初始状态为零，即uC(0+)=0，iL(0+)=0，由外加激励引起的响应，称为零状态响应。图2.4.1所示电路中的电容原来未充电，uC(0-)=0。t=0时开关Ｋ闭合，电压源US被接入RC电路。

图2.4.1RC电路的零状态响应uC(0+)=uC(0－)=

0根据KCL定律，有

由于

2.4一阶电路的零状态响应45所以这是一个常系数线性一阶非齐次微分方程。其解包括两部分，即式中的u'C(t)是与式（2.4.1）相应的齐次微分方程的通解，其形式与零输入响应相同，即2.4一阶电路的零状态响应46式中的u"C(t)是式(2.4.1)所示非齐次微分方程的一个特解，应满足非齐次微分方程．对于直流电源激励的电路，它是一个常数，令求得因而代入（2.4.1）2.4一阶电路的零状态响应47式中的常数A由初始条件确定。在t=0+时由此求得代入式uc(t)中得到电容电压的零状态响应为2.4一阶电路的零状态响应48t0uCUSuC-US0iCUs/RtiCiR电容电流可以由电容电压求得图2.4.2

RC电路的零状态响应曲线2.4一阶电路的零状态响应492.4一阶电路的零状态响应计算图2.4.1可以不用列解微分方程，直接按式（2.4.2）写出零状态响应。对于比较复杂一点的电路，可以利用戴维南定理将电路变换为图（2.4.1）的形式，再按式（2.4.2）写出零状态响应。零输入响应一般称为放电，零状态响应一般则称为电容器充电。与放电过程类似，经过3τ～5τ的时间，电容电压接近电源电压，即认为过程结束。50在开关闭合瞬间，由换路定律解:[例]电路如图所示，已知电容电压uC(0－)=0，t=0开关闭合，求t0的电容电压uC(t)和电容电流iC(t)。

2.4一阶电路的零状态响应51由电容两端得到的等效电阻电路的时间常数按式（2.4.2）写出电容电压的零状态响应为2.4一阶电路的零状态响应当电路达到新的稳定状态时52按式(2.4.3)可以得到电容电流2.4一阶电路的零状态响应53

RL一阶电路的零状态响应与RC一阶电路相似。图2.4.3所示电路在开关闭合前，电感电流为零，即iL(0-)=0。当t=0时开关K闭合。根据KVL,有由于所以图2.4.3

RL电路零状态响应2.RL电路的零状态响应54这是一阶常系数非齐次微分方程，其解答为式中

=L/R是该电路的时间常数。常数A由初始条件确定，即由此求得2.RL电路的零状态响应55最后得到一阶RL电路的零状态响应为其响应曲线如图所示。图2.4.2RL电路零状态响应曲线2.RL电路的零状态响应56

[例]

电路如图(a)所示，已知电感电流iL(0-)=0。t=0闭合开关，求t0的电感电流iL(t)和电感电压uL(t)。解：开关闭合后的电路如图(b)所示，由于开关闭合瞬间电感电流不能跃变，即2.RL电路的零状态响应57将图(b)中电路等效变换为图(c)所示电路。由此电路求得时间常数为电感电流的零状态响应为电感电压为2.RL电路的零状态响应58电路中储能元件的状态不为零，激励电源也不为零，由储能元件的初始储能和激励电源共同引起的响应，称为全响应。本节只讨论在直流电源激励下的全响应。以RC电路为例

RC电路的完全响应2.5一阶电路的全响应59

RC电路的完全响应电路如图所示，换路前电路已处于稳态，电容电压不为零，uC(0－)=U0。t=0时开关由“1”置于“2”处。为了求得电容电压的全响应，以电容电压uC(t)为变量，列出换路后电路的微分方程2.5一阶电路的全响应60这是一个常系数线性一阶非齐次微分方程。其解为：

由初始条件得求得于是全响应＝稳态分量＋暂态分量暂态分量稳态分量2.5一阶电路的全响应61零输入响应又

全响应＝零输入响应＋零状态响应所以也可以表示零状态响应式中第一项为初始状态单独作用引起的零输入响应，第二项为激励源单独作用引起的零状态响应。也就是说电路的全响应等于零输入响应与零状态响应之和。这是线性动态电路的一个基本性质，是叠加原理的一种体现。2.5一阶电路的全响应62以上两种叠加的关系，可以用曲线来表示。利用全响应的这两种分解方法，可以简化电路的分析计算，实际电路存在的是电压的全响应。(a)全响应分解为稳态响应与暂态响应之和。(b)全响应分解为零输入响应与零状态响应之和。暂态分量稳态分量全响应零输入响应零状态响应全响应

RC电路的完全响应2.5一阶电路的全响应632.6三要素法求一阶电路响应初始值f(0+)，稳态值f(∞)

和时间常数τ称为电路的三要素。由三要素按式（2.6.1）直接写出全响应的方法称为三要素法。（2.6.1）

利用三要素法求解电路响应的步骤：求初始值求稳态值求时间常数求一阶电路响应注意，三要素法适用范围：①直流电源激励下；②一阶线性动态电路；③电路中任何电压和电流。64具体求解