第九章 系统辨识与Kalman滤波

系统模型的表现形式直接模型：过程的特性以非解析的形式直接存储在头脑中，靠人的直觉控制过程的进行；物理模型：根据相似原理把时间过程加以缩小的复制品，或是实际过程的一种物理模拟；图表模型：以图形或表格形式表现过程的特性数学模型：用数学结构的形式来反映实际过程的行为特性，常用的有代数方程，微分方程，差分方程和状态方程等。1系统模型的建立机理建模。根据系统的结构，分析系统的运动规律，根据相应的定律，定理或原理，如化学动力学原理，牛顿定理，能量平衡方程等原理推导出系统的数学模型。有时也称白箱建模。系统辨识。根据系统的输入输出数据来建模，是对实际系统的一个近似。有时也称黑箱建模。机理模型与辨识建模结合的办法。适用于系统的运动机理不是完全未知的情况，利用一直的运动机理和经验来确定系统的结构和参数。也称为灰色建模。2辨识的定义辨识就是在输入和输出的基础上由规定的一类系统模型中确定一个系统模型，使之与被测系统等价。辨识的三大要素：系统的输入输出数据，模型类和等价原则。辨识的任务：模型结构的确定和参数估计。

3系统辨识的基本原理4辨识的内容和步骤设法取得系统输入输出的观测数据设计准则——给出估量试验优劣的准则。持续激励输入信号的设计——采用零均值的白噪声采样间隔的设计——适当选取采样间隔和输入信号的时序脉冲宽度其中为主要时间常数。选取的模型集——一般选取线性模型验证评价标准（利用先验知识验证，利用数据验证）5辨识问题的表达形式其中和是模型的输入量和输出量，它们在离散点上必须是可观测的，是模型噪声，是未知模型参数；问题：如何根据来获得的知识？考虑线性离散模型的辨识问题6记则线性离散模型的输出可表示成进而通过一定的辨识算法，得到的大小。7线性系统参数估计的最小二乘法早在1795年，高斯就提出最小二乘法(LSM)，并用于行星和彗星运动轨道的计算中。基本原理：根据观测数据推断未知参数时，未知参数的最合适数值应该使实际观测值和计算值之间误差的平方和最小。优点：算法简单；并不需要观测数据提供概率方面的信息，而其估计结果却有相当好的统计特性。8基本最小二乘考虑SISO线性定常随机数学模型已取得与的测量序列对于该系统，辨识包括两个问题：(1)首先需要确定系统阶，这是结构辨识问题。(2)在确定后，求参数，这是参数估计问题。9假设已知，先讨论参数估计问题。改写系统为利用测得的数据，建立个观测方程10记则记11则可以给出观测方程组的矩阵形式情况1：如果，此时相当于从个方程中求取个参数，如果令，则。而实际上，因此将进入从而使其偏离真实值。情况2：如果，观测值方程个数大于参数个数，这是一个超定方程问题。12最小二乘估计准则和正则方程最小二乘估计准则：找到一个线性离散模型，在此模型中估计参数使模型拟合残差的平方和最小。模型拟合残差为目标函数为可以把目标函数写成另外一种形式13由求极值的原理可知，最小二乘估计满足而为正定阵从而得到这个正则方程从中得到最小二乘估计为14线性稳态系统模型的参数估计讨论稳态多输入单输出(MISO)系统进行次观测后，得到输入输出数据求解。令15线性稳态系统模型的参数估计则有从而有16非线性稳态系统系统的参数估计只要能使输出与被辨识参数关系描述为线性方程，非线性参数估计也可以用LS方法。例可以令，即可得从而使用LS方法进行参数估计。17自回归(AR)模型的参数估计考虑AR模型显然，可以写成对于次观测可建立方程18其中19最小二乘算法的统计学特性无偏性一致性有效性20最小二乘的缺点

LS算法是对整批数据进行处理的一种算法，当新数据源源而来时，将出现以下问题：数据增加，要求计算机的存储空间增加；每增加一组数据，及作一次求逆，导致计算机量增加；能否给处一种新的算法，使得不保留全部数据；避免矩阵求逆21递推最小二乘的推导最小二乘估计LSE为当得到一组新观测数据后构成一新的观测方程从而得到新的估计式能否通过计算出？22令令则23从而得到将以上式子进行整理24递推最小二乘算法对于初值的选取，一般是任意选取一，而令，为的单位矩阵。25递推最小二乘的改进算法目标函数中，对等加权将产生以下问题：①数据饱和，②不能跟踪参数变化为了避免该问题的出现，可以适当降低旧数据的影响，有两种解决办法①渐消记忆（指数窗），②限定记忆（矩形窗）26渐消记忆的递推算法修改目变函数，对残差平方加指数权，从而可以得到递推算法为一般取值27限定记忆的递推算法每次估计只有

个观测方程（组数据），每得到一个新方程，即去掉一个老方程，就像用个矩形窗框住。28广义最小二乘考虑如下离散系统其中引入白噪声滤波器令其中为白噪声序列。29从而即其中称为广义的方程残差。最小化下面的准则函数可得参数的估计值，30其他最小二乘改进算法辅助变量法增广最小二乘法多步最小二乘法31辅助变量法考虑系统传统方法是根据得到因此，如果与相关，则构造与和同维的与不相关的矩阵得到32增广最小二乘法其中令33则有由于是未知的，所以用

来代替。从而得到该算法在自校正控制领域中得到了广泛应用，在大多数情况下效果满意。34多步最小二乘法将系统参数，噪声辨识分成三步来辨识，而每一次均是无偏的最小二乘估计，故最后得到是无偏估计。定义35辨识和

根据辨识和

根据辨识36线性系统的状态估计实际系统均存在随机干扰，控制与辨识都需要从输出观测中估计状态。状态估计就是用输出量测序列对状态序列作出方差最小估计。具体说，即量测向量已知，求使得估计误差的协方差矩阵最小。37当时，为的平滑或内插；当时，为的滤波；当时，为的预报或外推；38随机线性离散系统考虑如下的随机线性离散系统系统的结构框图为39基础定义其中为非随机的控制输入序列，为随机扰动输入序列，为量测噪声序列，为量测输出。已知的统计特性为已知分别为非负定阵和正定矩阵。40Kalman滤波器考虑如下的随机线性离散系统为初值为41扩展Kalman滤波