2017学年高中数学学业分层测评2弧度制和弧度制与角度制的换算（含解析）4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE8学必求其心得，业必贵于专精PAGE学业分层测评(二)弧度制和弧度制与角度制的换算（建议用时：45分钟)［学业达标]一、选择题1。－eq\f(25π,6）的角是（)A。第一象限的角 B。第二象限的角C.第三象限的角 D.第四象限的角【解析】因为－eq\f（25π，6)＝－eq\f（π,6)－4π，所以－eq\f(25π，6）与－eq\f(π,6)的终边相同，为第四象限的角.【答案】D2。若2rad的圆心角所对的弧长为4cm,则这个圆心角所对的扇形面积是(）A。4cm2 B。2cm2C。4πcm2 D。2πcm2【解析】r＝eq\f（l，｜α｜)＝eq\f(4，2)＝2(cm)，S＝eq\f（1,2）lr＝eq\f(1,2)×4×2＝4(cm2）.【答案】A3.圆的半径是6cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是(）A。eq\f（π,2）cm2 B.eq\f(3π，2)cm2C。πcm2 D.3πcm2【解析】15°＝eq\f（π,12)，则S＝eq\f（1，2)｜α｜r2＝eq\f(1，2）×eq\f（π,12)×62＝eq\f(3π,2)（cm2).【答案】B4。下列说法不正确的是(）A。“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B。1°的角是周角的eq\f(1，360)，1弧度的角是周角的eq\f(1,2π)C。1rad的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关【解析】用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关。【答案】D5。集合eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4）≤α≤kπ＋\f(π，2),k∈Z)））)中角所表示的范围(阴影部分）是（)【解析】k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)，k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分（包含边界）。故选C。【答案】C二、填空题6.把－570°写成2kπ＋α（k∈Z，α∈(0,2π）的形式是________。【导学号：72010005】【解析】法一:－570°＝－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（570×\f（π，180））)rad＝－eq\f(19,6)πrad，∴－eq\f（19，6)π＝－4π＋eq\f（5，6）π.法二:－570°＝－2×360°＋150°，∴－570°＝－4π＋eq\f(5,6）π。【答案】－4π＋eq\f（5，6)π7。一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长,那么扇形的圆心角是________弧度，扇形面积是________.【解析】由题意知r＝2,l＋2r＝πr，∴l＝（π－2)r，∴圆心角α＝eq\f(l，r)＝eq\f(π－2r,r）＝π－2（rad)，扇形面积S＝eq\f(1,2）lr＝eq\f(1，2)×（π－2)·r·r＝2（π－2)。【答案】π－22(π－2）三、解答题8.已知α＝2000°。(1)把α写成2kπ＋β（k∈Z，β∈［0,2π）的形式；(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π）.【解】（1)α＝2000°＝5×360°＋200°＝10π＋eq\f（10,9)π。（2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋eq\f(10,9)π，k∈Z，又θ∈(4π,6π)，所以k＝2时,θ＝4π＋eq\f(10,9）π＝eq\f（46π，9）。9。已知一个扇形的周长是40,（1）若扇形的面积为100，求扇形的圆心角；（2)求扇形面积S的最大值.【解】（1)设扇形的半径为r，弧长为l,圆心角为α，则由题意得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(l＋2r＝40,,\f（1，2)lr＝100，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝20，,r＝10，))则α＝eq\f(l，r）＝2（rad）。故扇形的圆心角为2rad。（2）由l＋2r＝40得l＝40－2r，故S＝eq\f（1,2）lr＝eq\f（1，2)(40－2r)·r＝20r－r2＝－（r－10）2＋100，故r＝10时,扇形面积S取最大值100.[能力提升]1.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的eq\f（3,2）倍，则该弧所对的圆心角是原来的()A。eq\f(1，2) B。2倍C.eq\f(1，3） D。3倍【解析】设圆的半径为r，弧长为l，圆心角的弧度数为eq\f（l,r)，将半径变为原来的一半,弧长变为原来的eq\f(3,2）倍,则弧度数变为eq\f（\f（3,2）l，\f（1，2）r）＝3·eq\f（l，r），即弧度数变为原来的3倍.【答案】D2.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.（1）求弦AB所对的圆心角α的大小；(2）求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S。【解】（1）由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝eq\f(π，3).(2)由(1）可知α＝eq\f(π,3)，r＝10,∴弧长l＝α·r＝eq\f（π,3)×10＝eq\f(10π，3)，∴S扇形＝eq\f（1,2）lr＝eq\f(1，2）×eq\f(10π，3）×10＝eq\f(50π，3）,而S△AOB＝eq\f（1,2）·AB·5eq\r(3）＝eq\f（1，2)×10×5eq\r(3)＝eq\f（50\r(3），2），∴S＝S扇形－S△AOB＝50eq\b\lc\(