第三章 第1讲 指数式与指数函数

第三章基本初等函数(Ⅰ)第1讲指数式与指数函数考纲要求考纲研读1.了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点.1.能够根据幂的运算法则进行幂的运算．2．能够利用指数函数的单调性比较大小、解指数不等式．3．会解指数方程，并能利用数形结合的思想判断方程解的个数.一、指数与指数幂的运算1．根式(1)根式的概念一般地，如果xn＝a，那么x就叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子

叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根记作

；例1求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）例2求值：（1）（2）（3）（4）例3用分数指数幂表示下列各式（其中a>0,b>0）：（1）；（2）；（3）例4计算下列各式的值（式中各项字母均为正数）：（1）（2）（3）（4）（5）例5.计算【巩固练习】1.用根式的形式表示下列各式（a>0）2.用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0,b>0)：3.下列各式中成立的是（ ）A． B．C． D．4、求下列各式的值（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；5.化简6.计算(1)7.若，,则的值=

.8.已知，则的值为

.9.解下列方程（1）（2）10.已知，求下列各式的值（1）=

；（2）=

.

变式训练1.若，则的值是

.

2.若，求下列各式的值：（1）=

；（2）=

.画出下列指数函数的图象…3210-1-2-3…x…13927……27931……1248……8421…x01101101101010101二、指数函数及其性质

y＝ax(a>1)y＝ax(0<a<1)图象定义域值域性质在R上是增函数在R上是减函数2．指数函数的图象与性质R(0，＋∞)过点(0,1)，即x＝0时，y＝11．指数函数形如（a>0且a≠1）的函数叫做指数函数1.你能判断下列函数那些是指数函数吗？2.函数是指数函数，则3.已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4，求函数y=f(x)的解析式.4.比较下列各题中两个值的大小同底指数幂比大小，构造指数函数，利用函数单调性

同底比较大小不同底但同指数底不同，指数也不同

不同底指数幂比大小，利用指数函数图像与底的关系比较利用中间量进行比较5.求下列函数的定义域:(1)(2)＝(B

)A．{－1,1}C．{0}B．{－1}D．{－1,0})D2．函数y＝ax＋1(a＞0且a≠1)的图象必经过点(A．(0,1) B．(1,0)C．(2,1) D．(0,2)3．对任意实数a，下列等式正确的是()D4．方程4x＋2x－2＝0的解是_____.0解析：4x＋2x－2＝0⇒(2x－1)(2x＋2)＝0⇒2x＝1⇒x＝0.3考点1指数幂运算例1：计算：解题思路：根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算．

由于幂的运算性质都是以指数式的形式给出的，所以对既有根式又有指数式的代数式进行化简时，要先将根式化给出的，则结果用根式的形式表示；如果题目是以分数指数幂的形式给出的，则结果用分数指数幂的形式表示；结果不要同时含有根号和分数指数幂．【互动探究】－23考点2指数函数的图象例2：偶函数

f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)A．1个B．2个C．3个D．4个

解析：由f(x－1)＝f(x＋1)知f(x)是周期为2的偶函数，故当x[－1,1]时，f(x)＝x2.

图D3答案：C(0<a<1)的图象的大致形状是(【互动探究】2．函数y＝xax

|x|)D考点3指数函数的性质及应用(1)求f(x)的解析式；(2)证明f(x)在[0，＋∞)上是增函数．【互动探究】

答案：①③④⑤思想与方法1．运用分类讨论的思想讨论指数函数的单调性b满足ab≠0.(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．例题：(2011年上海)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，(1)中ab>0，包括a>0，b>0和a<0，b<0两种情形；(2)中ab<0，也包括a>0，b<0和a<0，b>0两种情形．分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．1．分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此在运算过程中，要贯彻先化简后运算的原则