2017学年高中数学2-21.2导数的计算1.2.2（二）含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）［学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．[知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f（x）＝5和g（x）＝1。05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f（x）与g(x）的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．［预习导引］1．导数运算法则法则语言叙述［f（x）±g(x）]′＝f′（x)±g′(x）两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和(或差）[f(x）·g(x）］′＝f′(x)·g（x）＋f（x)·g′(x）两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（fx，gx)))′＝eq\f（f′xgx－fx·g′x，[gx］2)(g(x）≠0）两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方2．复合函数的求导法则复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g（x）,如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f（u)和u＝g（x)的复合函数，记作y＝f(g（x))复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x））的导数和函数y＝f(u)，u＝g（x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积要点一利用导数的运算法则求函数的导数例1求下列函数的导数:（1)y＝x3－2x＋3；(2）y＝（x2＋1)(x－1）；（3）y＝3x－lgx。解(1)y′＝(x3)′－(2x）′＋3′＝3x2－2。(2)∵y＝(x2＋1）（x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝（x3)′－（x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.（3）函数y＝3x－lgx是函数f（x)＝3x与函数g(x）＝lgx的差．由导数公式表分别得出f′（x)＝3xln3，g′（x）＝eq\f（1,xln10)，利用函数差的求导法则可得(3x－lgx)′＝f′(x）－g′(x）＝3xln3－eq\f（1，xln10).规律方法本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪演练1求下列函数的导数：(1)y＝5－4x3；（2）y＝3x2＋xcosx；(3)y＝ex·lnx；（4）y＝lgx－eq\f(1,x2).解(1）y′＝－12x2；(2）y′＝(3x2＋xcosx）′＝6x＋cosx－xsinx；(3)y′＝eq\f（ex，x）＋ex·lnx；（4）y′＝eq\f(1，xln10)＋eq\f(2,x3）。要点二求复合函数的导数例2求下列函数的导数：(1）y＝ln(x＋2）；(2）y＝(1＋sinx)2；解(1）y＝lnu，u＝x＋2∴y′x＝y′u·u′x＝（lnu）′·（x＋2）′＝eq\f（1，u）·1＝eq\f(1，x＋2）。(2）y＝u2,u＝1＋sinx，∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(1＋sinx)′＝2u·cosx＝2cosx(1＋sinx)．规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2）正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4）善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．跟踪演练2(1)y＝e2x＋1；（2)y＝(eq\r（x）－2）2.解（1)y＝eu,u＝2x＋1，∴y′x＝y′u·u′x＝（eu)′·（2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(2)法一∵y＝(eq\r(x)－2)2＝x－4eq\r（x)＋4，∴y′＝x′－(4eq\r(x))′＋4′＝1－4×eq\f（1,2）x－eq\f(1，2)＝1－eq\f（2，\r（x)).法二令u＝eq\r(x）－2，则yx′＝yu′·ux′＝2(eq\r(x)－2）·（eq\r(x）－2)′＝2(eq\r（x）－2)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)·\f(1,\r（x）)－0)）＝1－eq\f(2,\r(x）)。要点三导数的应用例3求过点(1,－1)与曲线f（x）＝x3－2x相切的直线方程．解设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2，0）－2故切线方程为y－y0＝（3xeq\o\al（2,0)－2）（x－x0) ①∵(x0，y0）在曲线上,∴y0＝xeq\o\al（3,0)－2x0 ②又∵（1，－1)在切线上，∴将②式和（1，－1）代入①式得－1－(xeq\o\al(3,0）－2x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－2）（1－x0)．解得x0＝1或x0＝－eq\f(1，2）.故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－eq\f(5,4）（x－1）．即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.规律方法（1，－1）虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．跟踪演练3已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝eq\f（t－1,t2)＋2t2（位移单位：m，时间单位：s）,求t＝3s时物体的瞬时速度．解∵s（t)＝eq\f（t－1，t2)＋2t2＝eq\f（t，t2）－eq\f（1，t2)＋2t2＝eq\f(1,t）－eq\f（1，t2)＋2t2，∴s′(t）＝－eq\f（1,t2）＋2·eq\f（1，t3)＋4t，∴s′(3)＝－eq\f(1,9)＋eq\f(2,27）＋12＝eq\f(323,27)，即物体在t＝3s时的瞬时速度为eq\f(323,27）m/s.1．下列结论不正确的是(）A．若y＝3，则y′＝0B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3C．若y＝－eq\r（x)＋x，则y′＝－eq\f(1，2\r（x）)＋1D．若y＝sinx＋cosx，则y′＝cosx＋sinx答案D解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D项，∵y＝sinx＋cosx，∴y′＝(sinx）′＋（cosx）′＝cosx－sinx.2．函数y＝eq\f（cosx，1－x)的导数是（）A。eq\f(－sinx＋xsinx,1－x2） B．eq\f(xsinx－sinx－cosx,1－x2)C．eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x2） D．eq\f(cosx－sinx＋xsinx，1－x)答案C解析y′＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(cosx，1－x)））′＝eq\f（－sinx1－x－cosx·－1，1－x2)＝eq\f（cosx－sinx＋xsinx,1－x2).3．曲线y＝eq\f(x，x＋2）在点(－1，－1)处的切线方程为(）A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2答案A解析∵y′＝eq\f(x′x＋2－xx＋2′,x＋22）＝eq\f（2，x＋22），∴k＝y′|x＝－1＝eq\f（2，－1＋22)＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1），即y＝2x＋1.4．直线y＝eq\f(1，2)x＋b是曲线y＝lnx（x>0)的一条切线，则实数b＝________.答案ln2－1解析设切点为（x0,y0)，∵y′＝eq\f（1,x)，∴eq\f（1,2)＝eq\f(1，x0）,∴x0＝2，∴y0＝ln2,ln2＝eq\f(1，2）×2＋b，∴b＝ln2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形,转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题。一、基础达标1．设y＝－2exsinx，则y′等于（）A．－2excosx B．－2exsinxC．2exsinx D．－2ex(sinx＋cosx)答案D解析y′＝－2（exsinx＋excosx)＝－2ex（sinx＋cosx)．2．当函数y＝eq\f(x2＋a2，x）（a〉0）在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝()A．a B．±aC．－a D．a2答案B解析y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（x2＋a2,x）))′＝eq\f（2x·x－x2＋a2，x2)＝eq\f（x2－a2，x2)，由xeq\o\al（2，0）－a2＝0得x0＝±a。3．设曲线y＝eq\f（x＋1，x－1）在点（3,2）处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于（）A．2 B．eq\f(1，2）C．－eq\f(1,2) D．－2答案D解析∵y＝eq\f（x＋1,x－1)＝1＋eq\f（2，x－1），∴y′＝－eq\f(2，x－12）。∴y′｜x＝3＝－eq\f（1，2）。∴－a＝2,即a＝－2。4．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为()A．(－2，－8) B．（－1，－1)或(1,1）C．（2，8) D．eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（1，2)，－\f（1，8））)答案B解析y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，则P点坐标为（－1，－1）或(1,1)．5．设函数f（x)＝g(x）＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g（1)）处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f（x）在点(1,f（1))处切线的斜率为________．答案4解析依题意得f′(x）＝g′（x)＋2x,f′(1)＝g′（1)＋2＝4。6．已知f(x）＝eq\f（1,3）x3＋3xf′（0），则f′(1)＝________.答案1解析由于f′(0）是一常数，所以f′（x)＝x2＋3f令x＝0,则f′(0)＝0,∴f′(1）＝12＋3f7．求下列函数的导数：（1）y＝（2x2＋3）(3x－1）；（2)y＝x－sineq\f(x，2)coseq\f（x，2）.解(1)法一y′＝(2x2＋3）′(3x－1）＋(2x2＋3)（3x－1）′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.法二∵y＝（2x2＋3）(3x－1）＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3）′＝18x2－4x＋9。(2）∵y＝x－sineq\f(x,2）coseq\f(x,2）＝x－eq\f（1，2)sinx，∴y′＝x′－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)sinx)）′＝1－eq\f(1，2）cosx.二、能力提升8．曲线y＝eq\f(sinx，sinx＋cosx)－eq\f（1,2)在点Meq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,4），0))处的切线的斜率为(）A．－eq\f(1，2) B．eq\f（1，2)C．－eq\f(\r(2）,2） D．eq\f(\r(2),2）答案B解析y′＝eq\f(cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx,sinx＋cosx2）＝eq\f（1，sinx＋cosx2），故y′|eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f（π，4）))＝eq\f(1,2），∴曲线在点Meq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π，4)，0))处的切线的斜率为eq\f(1，2).9．已知点P在曲线y＝eq\f(4，ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（)A．［0，eq\f（π,4）） B．[eq\f（π,4)，eq\f（π，2)）C．(eq\f(π，2），eq\f(3π,4）］ D．［eq\f（3π，4），π）答案D解析y′＝－eq\f（4ex，ex＋12）＝－eq\f(4ex,e2x＋2ex＋1），设t＝ex∈(0，＋∞），则y′＝－eq\f（4t,t2＋2t＋1）＝－eq\f(4,t＋\f（1,t）＋2）,∵t＋eq\f(1，t）≥2，∴y′∈［－1,0）,α∈［eq\f(3π，4)，π）．10．(2013·江西)设函数f（x)在(0,＋∞)内可导，且f（ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.答案2解析令t＝ex,则x＝lnt，所以函数为f(t)＝lnt＋t，即f(x）＝lnx＋x，所以f′(x)＝eq\f(1,x）＋1，即f′（1）＝eq\f(1,1)＋1＝2。11．求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．解点（2，0）不在曲线y＝x3上，可令切点坐标为(x0,xeq\o\al(3，0）)．由题意，所求直线方程的斜率k＝eq\f（x\o\al(3,0）－0,x0－2）＝y′｜x＝x0＝3xeq\o\al(2,0），即eq\f（x\o\al(3，0）,x0－2）＝3xeq\o\al(2，0)，解得x0＝0或x0＝3.当x0＝0时，得切点坐标是(0,0),斜率k＝0，则所求直线方程是y＝0；当x0＝3时，得切点坐标是(3,27),斜率k＝27，则所求直线方程是y－27＝27(x－3）,即27x－y－54＝0.综上，所求的直线方程为y＝0或27x－y－54＝0。12．已知曲线f（x）＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．解设切点为（x0，y0），则由导数定义得切线的斜率k＝f′（x0）＝3xeq\o\al（2,0)－3，∴切线方程为y＝（3xeq\o\al(2,0)－3）x＋16，又切点(x0，y0)在切线上，∴y0＝3(xeq\o\al（2,0)－1）x0＋16,即xeq\o\al（3，0）－3x0＝3（xeq\o\al（2,0）－1)x0＋16，解得x0＝－2,∴切线方程为9x－y＋16＝0.三、探究与创新13．设函数f(x）＝ax－eq\f(b,x)，曲线y＝f（x）在点(2，f（2））处的切线方程为7x－4y－12＝0。(1)求f（x)的解析式;(2）证明:曲线y＝f（x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1）解由7x－4y－12＝0得y＝eq\f(7,4)x－3.当x＝2时，y＝eq\f（1,2），∴f（2）＝eq\f（1，2)， ①又f′(x）＝a＋eq\f（b,x2）,∴f′(2)＝eq\f(7,4）, ②由①,②得eq\b\lc\｛\rc\(