2017-2018版高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量学案2-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE15学必求其心得，业必贵于专精PAGE1从平面向量到空间向量学习目标1.理解空间向量的概念。2。了解空间向量的表示法，了解自由向量的概念。3。理解空间向量的夹角.4。理解直线的方向向量与平面的法向量的概念。知识点一空间向量的概念思考1类比平面向量的概念，给出空间向量的概念。思考2若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也一定相同吗？梳理空间向量的有关概念(1)定义：在空间中，把既有______又有______的量，叫作空间向量.(2）长度：空间向量的大小叫作向量的______或____.（3)表示法eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(①几何表示法：空间向量用表示.，②字母表示法:用字母表示,若向量a的，起点是A，终点是B，则向量a也可以，记作\o(AB，\s\up6（→)),其模记为或。))(4)自由向量：与向量的起点无关的向量.知识点二空间向量的夹角思考在平面内，若非零向量a与b共线，则它们的夹角是多少？梳理空间向量的夹角（1）文字叙述：a,b是空间中两个非零向量，过空间任意一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB，\s\up6(→）)＝b，则________叫作向量a与向量b的夹角，记作______________。(2)图形表示:角度表示<a，b〉＝____〈a，b>是____〈a，b〉是____<a,b〉是____〈a,b>＝____(3)范围：____≤<a，b>≤____.(4)空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝______，那么称a与b互相垂直,记作________.知识点三向量与直线、平面1.向量与直线与平面向量一样，也可用空间向量描述空间直线的方向.如图所示。l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称eq\o(AB，\s\up6（→））为直线l的______向量，显然,与eq\o（AB，\s\up6(→））平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直线的方向向量______于该直线。2。向量与平面如图,如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的________。类型一有关空间向量的概念的理解例1给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a,b满足|a|＝｜b|，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有eq\o（AC,\s\up6（→））＝eq\o(A1C1，\s\up6（→)）;④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是（)A.1B。2C.3D.4反思与感悟在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同,模相等。两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.跟踪训练1（1）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,下列四对向量：①eq\o(AB，\s\up6(→）)与eq\o(C1D1,\s\up6(→)）;②eq\o(AC1,\s\up6（→））与eq\o（BD1，\s\up6(→)）；③eq\o（AD1,\s\up6（→))与eq\o(C1B，\s\up6（→））;④eq\o（A1D,\s\up6（→)）与eq\o（B1C，\s\up6(→））。其中互为相反向量的有n对，则n等于(）A。1 B.2C.3 D.4（2）如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1,则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：①单位向量共有多少个?②试写出模为eq\r(5）的所有向量；③试写出与向量eq\o(AB，\s\up6(→）)相等的所有向量；④试写出向量eq\o(AA′，\s\up6（→）)的所有相反向量。类型二求空间向量的夹角例2如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求下列各对向量的夹角:（1)〈eq\o（AB,\s\up6(→）)，eq\o(A1C1，\s\up6（→))〉；（2)<eq\o(AB,\s\up6(→）），eq\o(C1A1，\s\up6(→）)〉；（3)〈eq\o（AB，\s\up6(→）），eq\o(A1D1,\s\up6（→)）〉.引申探究在本例中，求<eq\o（AB1，\s\up6（→)）,eq\o（DA1，\s\up6(→））〉。反思与感悟求解空间向量的夹角，要充分利用原几何图形的性质，把空间向量的夹角转化为平面向量的夹角，要注意向量方向。跟踪训练2在正四面体ABCD中，〈eq\o(AB，\s\up6(→）),eq\o（CD，\s\up6(→）)〉的大小为(）A。eq\f（π,4） B。eq\f（π，3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,6）类型三直线的方向向量与平面法向量的理解例3已知正四面体A－BCD.（1）过点A作出方向向量为eq\o(BC，\s\up6(→））的空间直线；（2)过点A作出平面BCD的一个法向量.反思与感悟直线的方向向量有无数个,但一定为非零向量；平面的法向量也有无数个，它们互相平行.给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定:(1)唯一一条过点A且平行于向量a的直线；(2)唯一一个过点A且垂直于向量a的平面.跟踪训练3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中,P是DD1的中点，以C1为起点,指出直线AP的一个方向向量.1。下列命题中，正确的是（）A。若|a|＝｜b|，则a与b共线B.若｜a｜＞|b|,则a＞bC.若a＝b,则｜a｜＝｜b｜D.若a≠b，则a与b不共线2.以长方体ABCD－A1B1C1D1的任意两个顶点为起点和终点的向量中，能作为直线BB1的方向向量的个数为（)A.8B.7C.6D.53.若把空间中所有单位向量的起点放置于同一点，则这些向量的终点构成的图形为________.4.在长方体中，从同一顶点出发的三条棱的长分别为1,2,3,在分别以长方体的任意两个顶点为起点和终点的向量中,模为1的向量个数为________.5。在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是________。(填序号）①eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o（AA1，\s\up6（→)）；③eq\o（B1B,\s\up6（→）)；④eq\o（A1C1,\s\up6（→）).在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可.给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线.提醒：完成作业第二章§1

答案精析问题导学知识点一思考1在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量。思考2一定相同.因为相等向量的方向相同，长度相等，所以表示相等向量的有向线段的起点相同,终点也相同.梳理(1)大小方向（2)长度模(3)有向线段|eq\o(AB，\s\up6(→）)|｜a｜知识点二思考0或π.梳理（1)∠AOB〈a，b〉（2)0锐角直角钝角π（3)0π（4)eq\f(π,2)a⊥b知识点三1.方向平行2.法向量题型探究例1B跟踪训练1B（2）解①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量eq\o（AA′,\s\up6(→）），eq\o（A′A，\s\up6(→）),eq\o(BB′，\s\up6（→))，eq\o（B′B,\s\up6（→）），eq\o(CC′,\s\up6(→)），eq\o（C′C，\s\up6(→））,eq\o（DD′,\s\up6（→)），eq\o(D′D,\s\up6(→）)，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为eq\r(5)，故模为eq\r（5)的向量有eq\o（AD′,\s\up6(→）），eq\o(D′A，\s\up6（→）），eq\o（A′D,\s\up6（→）),eq\o（DA′,\s\up6(→))，eq\o（BC′,\s\up6(→）),eq\o（C′B，\s\up6(→）)，eq\o(B′C,\s\up6(→）)，eq\o（CB′,\s\up6（→)）。③与向量eq\o(AB,\s\up6(→）)相等的所有向量（除它自身之外）有eq\o（A′B′,\s\up6(→）)，eq\o(DC，\s\up6(→)),eq\o(D′C′,\s\up6(→））。④向量eq\o（AA′,\s\up6(→))的相反向量有eq\o(A′A,\s\up6(→))，eq\o(B′B,\s\up6（→）)，eq\o(C′C，\s\up6（→)），eq\o（D′D,\s\up6(→)）.例2解（1)由题意知,eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6（→)），∴〈eq\o(AB，\s\up6(→）),eq\o（A1C1，\s\up6（→）)>＝<eq\o(AB，\s\up6(→）），eq\o(AC,\s\up6（→））〉.又∵∠CAB＝eq\f(π，4），故〈eq\o（AB,\s\up6（→）)，eq\o（A1C1，\s\up6（→）)〉＝eq\f(π，4)。(2）〈eq\o（AB,\s\up6(→））,eq\o(C1A1,\s\up6（→)）>＝π－〈eq\o（AB,\s\up6（→))，eq\o（A1C1,\s\up6（→））>＝π－eq\f（π,4）＝eq\f（3π,4)。(3）〈eq\o(AB,\s\up6（→))，eq\o(A1D1，\s\up6（→))>＝〈eq\o(AB,\s\up6（→）)，eq\o(AD,\s\up6(→))〉＝eq\f（π,2）.引申探究解如图，连接B1C，则B1C∥A1D，且eq\o(DA1,\s\up6(→））＝eq\o(CB1，\s\up6（→）），连接AC，在△ACB1中，因为AC＝AB1＝B1C，故∠AB1C＝eq\f(π，3),〈eq\o(AB1，\s\up6（→）），eq\o(DA1,\s\up6（→))〉＝〈eq\o（AB1,\s\up6(→)），eq\o(CB1，\s\up6（→））〉＝eq\f(π，3).跟踪训练2C例3解（1)如图，过点A作直线AE∥BC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A且方向向量为eq\o(BC，\s\up6（→））的空间直线.(2)如图，取△BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，故向量eq\o(AO,\s\up6（→）)可作为平面BCD的一个法向量。跟踪训练3解取BB1中点Q，C1C中点M，连接C1