2017-2018版高中数学第二章解析几何初步3.3空间两点间的距离公式学案2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE12学必求其心得，业必贵于专精PAGE3.3空间两点间的距离公式学习目标1。了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程。2。会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离．知识点空间两点间的距离公式思考如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少?梳理两点间的距离公式（1)在空间直角坐标系中，任意一点P(x，y，z）与原点间的距离｜OP｜＝eq\r（x2＋y2＋z2)。(2）空间中P1(x1，y1，z1),P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2｜＝eq\r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).类型一求空间两点间的距离例1已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出点D，N，M的坐标；（2)求线段MD，MN的长度．反思与感悟求空间两点间的距离的步骤(1）求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来,要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征,结合平面直角坐标系的知识确定．跟踪训练1如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中,|C1C|＝｜CB|＝｜CA|＝2，AC⊥CB，D,E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．类型二求空间点的坐标例2已知点A（4,5,6),B(－5,0，10），在z轴上有一点P，使｜PA|＝|PB｜，则点P的坐标为________．引申探究1．若本例中已知条件不变,问能否在z轴上找一点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？2．若本例中“在z轴上"改为“在y轴上"，其他条件不变，结论又如何？反思与感悟(1）若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标,利用待定系数法求解点的坐标．（2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系,以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解．跟踪训练2设点P在x轴上，使它到点P1（0,eq\r(2），3）的距离是到点P2（0，1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标．类型三空间两点间距离公式的应用例3如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在正方体的体对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求｜PQ｜的最小值．反思与感悟利用空间两点间的距离公式，将空间距离问题转化为二次函数的最值问题，体现了数学上的转化思想和函数思想,此类题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就可以将几何问题代数化，再分析函数即可．跟踪训练3在xOy平面内的直线2x－y＝0上确定一点M,使它到点P(－3，4，5)的距离最小，并求出最小值．1．坐标原点到下列各点距离最大的点是()A．（1,1，1） B．(1，2,2）C．(2，－3，5） D．(3，0,4）2．已知点A(x，1，2）和点B（2，3，4）,且|AB｜＝2eq\r（6），则实数x的值是(）A．－3或4 B．6或2C．3或－4 D．6或－23．已知三角形的三个顶点A（2，－1,4），B（3,2，－6)，C（5，0,2)，则过A点的中线长为（)A。eq\r(11) B．2eq\r(11）C．11eq\r(2) D．3eq\r（11)4．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为（）A。eq\r(2）a B.eq\f（\r(2），2)aC．a D.eq\f(1,2)a5．已知点A(1,a，－5)，B（2a，－7，－2)，则|AB｜的最小值为________．1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．2．若已知两点坐标求距离,则直接代入公式即可．若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．答案精析知识点思考eq\r(a2＋b2＋c2)。题型探究例1解（1)D(0,0，0)，N（2，1,0)，M（1，2，3）．(2）|MD｜＝eq\r（1－02＋2－02＋3－02）＝eq\r(14），|MN|＝eq\r（1－22＋2－12＋3－02）＝eq\r(11)。跟踪训练1解以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵｜C1C｜＝|CB｜＝｜CA｜＝2，∴C（0，0,0）,A(2,0,0)，B（0，2,0），C1(0，0,2)，B1（0，2，2)，由中点坐标公式，可得D(1，1，0),E(0，1，2),F（1,0，0）,∴|DE｜＝eq\r(1－02＋1－12＋0－22)＝eq\r(5），｜EF｜＝eq\r（0－12＋1－02＋2－02）＝eq\r（6）。例2(0，0，6）解析设P(0,0，z)，由|PA｜＝｜PB｜，得eq\r(4－02＋5－02＋6－z2)＝eq\r(－5－02＋0－02＋10－z2），解得z＝6.∴点P的坐标为(0,0，6)．引申探究1．解与例2的结论一样，P(0,0,6）．2．解设P（0，y,0）,由｜PA|＝｜PB|,得eq\r(4－02＋5－y2＋6－02)＝eq\r（－5－02＋0－y2＋10－02),解得y＝－eq\f(24,5).∴点P的坐标为(0，－eq\f(24，5），0）．跟踪训练2解因为P在x轴上，所以设P点坐标为(x,0,0）．因为|PP1｜＝2|PP2|,所以eq\r（x－02＋0－\r（2）2＋0－32)＝2eq\r（x－02＋0－12＋0＋12），所以x＝±1，所以点P的坐标为（1,0，0)或（－1,0，0）．例3解由题图可知,P（eq\f（1,2），eq\f（1,2）,eq\f(1，2)）．∵Q点在CD上，∴设Q（0，1，z)，z∈［0,1]，∴|PQ｜＝eq\r（\f（1,2)－02＋\f(1，2)－12＋\f(1，2）－z2)，＝eq\r（\f（1，2)＋\f（1,2）－z2),∴当z＝eq\f（1,2)时，｜PQ|min＝eq\f（\r（2），2)。跟踪训练3解∵点M在xOy平面内的直线2x－y＝0上，∴设点M(a，2a,0），则|MP|＝eq\r(a＋32＋2a－42＋52）＝eq\r(5a2－10a＋50）＝eq\r(5a－12＋45)，∴当a＝1时，｜MP｜取最小值3eq\r（5），此时M（1，2，0)，∴当点M坐标为(1,2，0)时，｜PM|最小，最小值为3eq\r(5).当堂训练1．C2.D3。B4.B5．3eq\r(6)解析｜AB|＝eq\r(2a－12