2017-2018版高中数学第二章解析几何初步1.5第2课时点到直线的距离学案2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE16学必求其心得，业必贵于专精PAGE第2课时点到直线的距离学习目标1.了解点到直线距离公式的推导方法。2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．知识点一点到直线的距离思考1如何求点P(x0,y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离？思考2点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用?梳理点到直线的距离（1）定义：点到直线的________________的长度．（2)图示：（3）公式：d＝________________________。知识点二两条平行直线间的距离思考直线l1：x＋y－1＝0上有A（1,0）、B(0,1）、C（－1,2）三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？梳理两平行线间的距离（1）定义：夹在两平行线间的________________的长．(2)图示:（3）求法：转化为点到直线的距离．（4)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|，\r(A2＋B2))。类型一点到直线的距离例1(1）求点P(2,－3）到下列直线的距离．①y＝eq\f（4,3）x＋eq\f（1，3）；②3y＝4;③x＝3。(2）求过点M（－1,2），且与点A（2,3）,B（－4，5）距离相等的直线l的方程．反思与感悟（1）利用点到直线的距离公式时应注意的三个问题：①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式；②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用;③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．（2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意．跟踪训练1（1)若点(4,a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________________．(2）已知直线l过点P(3,4）且与点A（－2,2），B(4，－2）等距离,则直线l的方程为________________________．类型二两平行线间的距离例2（1）两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为____________．(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则直线l的方程为________________．反思与感悟求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式,当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2,且b1≠b2时，d＝eq\f(｜b1－b2|，\r(k2＋1）);当直线l1:Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时,d＝eq\f（｜C1－C2｜，\r（A2＋B2））.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．跟踪训练2（1）求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程；（2）两平行直线l1，l2分别过P1（1,0)，P2（0，5），若l1与l2的距离为5，求两直线方程．类型三利用距离公式求最值eq\x(命题角度1由点到直线的距离求最值）例3已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0,则eq\r(x2＋y2－2y＋1）的最小值为________．反思与感悟解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数"转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．跟踪训练3(1）动点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，O为原点,求｜OP|最小时点P的坐标；（2）求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程．eq\x(命题角度2有关两平行线间距离的最值)例4两条互相平行的直线分别过点A（6,2)，B(－3，－1）,并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d。（1)求d的取值范围；(2）求d取最大值时，两条直线的方程．反思与感悟两平行线间的距离可转化为两点间的距离,通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值．跟踪训练4已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则｜PQ|的最小值为()A．3B。eq\r（3)C。eq\f(\r（3)，2）D。eq\f（3，2)1．已知点(a，1）到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为(）A．1B．－1C。eq\r(2)D．±eq\r(2）2．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－C＝0的距离为2eq\r(5)，则C的值为（)A．9 B．11或－9C．－11 D．9或－113．已知点M（1，2），点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上,则｜MP｜的最小值是（)A.eq\r(10) B。eq\f(3\r（5）,5）C.eq\r(6） D．3eq\r（5)4．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d,则a＋d＝________。5．直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________________．1．点到直线的距离即是点与直线上的点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需数形结合，使问题更清晰．3．已知两平行直线，其距离可利用公式d＝eq\f(｜C1－C2|，\r(A2＋B2））求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．答案精析问题导学知识点一思考1先求出过点P（x0，y0）的直线l的垂线的方程，通过联立方程组得到垂足的坐标，再利用两点间的距离求出点P（x0，y0)与垂足的距离，即为点P(x0,y0)到直线l的距离d＝eq\f（|Ax0＋By0＋C｜，\r（A2＋B2））.思考2仍然适用，①当A＝0,B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，即y＝－eq\f（C，B），d＝｜y0＋eq\f（C,B)｜＝eq\f(｜By0＋C｜，｜B|)，适合公式．②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－eq\f（C,A)，d＝｜x0＋eq\f（C,A）|＝eq\f(|Ax0＋C｜,|A｜），适合公式．梳理（1)垂线段(3）eq\f(｜Ax0＋By0＋C｜,\r（A2＋B2))知识点二思考点A、B、C到直线l2的距离分别为eq\r（2)、eq\r（2)、eq\r(2).规律是当两直线平行时,一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．梳理（1）公垂线段题型探究例1(1）解①y＝eq\f(4,3)x＋eq\f(1,3)可化为4x－3y＋1＝0，点P（2，－3)到该直线的距离为d＝eq\f(|4×2－3×－3＋1｜,\r(42＋－32)）＝eq\f(18，5);②3y＝4可化为3y－4＝0，由点到直线的距离公式，得d＝eq\f(｜－3×3－4｜,\r(02＋32)）＝eq\f(13,3）；③x＝3可化为x－3＝0，由点到直线的距离公式，得d＝eq\f（|2－3|，1）＝1。（2)解方法一当过点M（－1，2)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，恰好与A（2，3），B（－4，5）两点距离相等，故x＝－1满足题意;当过点M（－1,2)的直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k（x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由点A(2,3）与B(－4,5）到直线l的距离相等，得eq\f（|2k－3＋k＋2｜,\r（k2＋1)）＝eq\f(｜－4k－5＋k＋2|，\r(k2＋1))，解得k＝－eq\f(1，3)，此时直线l的方程为y－2＝－eq\f（1，3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.综上所述直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0。方法二由题意得，l∥AB或l过AB的中点，当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl，则kAB＝kl＝eq\f（5－3,－4－2)＝－eq\f(1，3），此时直线l的方程为y－2＝－eq\f(1，3）(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB的中点（－1,4）时，直线l的方程为x＝－1。综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.跟踪训练1（1）［eq\f（1，3)，eq\f(31，3)］（2）2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0例2(1)eq\f（\r（10）,4）（2）2x－y＋1＝0解析（1）由题意,得eq\f（6,3)＝eq\f（m，1），∴m＝2,即6x＋2y－1＝0。将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，由两平行线间的距离公式，得eq\f(｜－1＋6|，\r（62＋22））＝eq\f(5，\r(40））＝eq\f(\r(10)，4)。（2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0，由题意,得eq\f(|3－C｜，\r(22＋12））＝eq\f(｜C＋1｜,\r(22＋12)），解得C＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0。跟踪训练2解(1）方法一设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0,在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0（0，eq\f（1,2）），则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为eq\f(|－12×\f(1,2)＋C｜,\r(52＋－122）)＝eq\f(|C－6｜,13)，由题意，得eq\f（｜C－6｜，13）＝2，所以C＝32或C＝－20,故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0。方法二设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0,由两平行直线间的距离公式，得2＝eq\f（|C－6｜，\r(52＋－122)),解得C＝32或C＝－20,故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.（2)依题意,两直线的斜率都存在，设l1：y＝k（x－1),即kx－y－k＝0，l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.因为l1与l2的距离为5，所以eq\f（｜－k－5｜，\r(k2＋1))＝5,解得k＝0或eq\f(5,12).所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0。例3eq\f（7,10)解析∵eq\r（x2＋y2－2y＋1）＝eq\r（x－02＋y－12），∴上式可看成是一个动点M(x,y)到定点N（0，1）的距离，即为点N到直线l:6x＋8y－1＝0上任意一点M（x，y)的距离，∴S＝｜MN｜的最小值应为点N到直线l的距离，即|MN|min＝d＝eq\f(｜8－1|，\r(62＋82)）＝eq\f(7,10).跟踪训练3解(1）直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1,∴OP所在直线方程为y＝x,由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝x，,x＋y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2，，y＝2.））∴点P坐标为（2,2)．（2）由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，∵kOP＝2,∴所求直线方程为y－2＝－eq\f(1，2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.例4解（1）设经过点A和点B的直线分别为l1、l2，显然当eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（l1⊥AB，,l2⊥AB））时,l1和l2的距离最大，