数据、模型与决策第十讲 案例分析

数据、模型与决策

第十讲案例分析

主讲：邓旭东教授教学内容李四企业的生产经营规划问题1农户种植计划的优化问题2王五管理的科研课题经费使用规划问题3产品结构优化问题4张三同学的自习时间分配方案规划问题5教学内容连续投资的优化问题6人员需求规划问题7飞行器能源装置设置优化方案问题8企业集团的经营规划问题9一、李四企业的生产经营规划问题李四经营着一个小企业，这个企业最近出现了一些问题，资金周转出现困难。该企业一共生产经营着三种产品，当前有两种产品赔钱，一种产品赚钱。其中，第一种产品是每生产一件赔100元，第二种产品每生产一件赚300元，第三种产品每生产一件赔400元。

三种产品分别消耗(或附带产出)三种原料，其中第一种产品每生产一件附带产生100千克原料A，需要消耗100千克原料B和200千克原料C；第二种产品每生产一件需要消耗100千克原料A和100千克原料C，附带产生100千克原料B；第三种产品每生产一件需要消耗原料A、B、C各100千克。由于生产第一种产品的设备已经损坏，且企业也无能力筹集资金修复之，所以该企业现已无法组织生产第一种产品。

现在仓库里还存有A原料40000千克，后续货源供应难以得到保证；库存B原料20000千克，如果需要，后续容易从市一、李四企业的生产经营规划问题场采购得到；库存C原料30000千克，如果需要，后续容易从市场采购得到。

李四想转行经营其他业务，但苦于仓库里还积压着90000千克原料，如果直接出售原料，则比生产后出售成品赔得更多。没有办法，李四只好向运筹学专家咨询，看看如何组织生产才能将损失降到最低。

请对李四企业的生产经营情况进行考查和分析，建立该问题的线性规划模型，并使用Excel软件和LINDO软件求解该问题(要求附带结果分析报告)。

一、李四企业的生产经营规划问题设生产第一、第二、第三种产品的数量分别为x1、x2、x3，则可建立该问题的线性规划模型如下：

目标函数maxz=-100x1+300x2-400x3

约束条件-100x1+100x2+100x3≤40000

100x1-100x2+100x3≥20000

200x1+100x2+100x3≥30000

x1=0,x2≥0,x3≥0

解得：x1*=0，x2*=50，x3*=250，z*=-85000。

不生产第一种产品，生产第二种产品50件，生产第三种产品250件，A原料余下10000千克予以转让，B、C原料刚好用完，生产性损失最小(亏损85000元)。二、农户种植计划的优化问题某农户共承包土地23亩，其中坡地10亩，旱地8亩，水田5亩。在这23亩土地上，可以种植的作物有6种。其中第一种作物适合于在坡地与旱地种植，第二种作物只适合于在旱地种植，第三种作物则三种类型的土地都适合于种植，第四种作物适合于在坡地和旱地种植，第五种和第六种作物只适合于在水田种植。

根据经验，在坡地种植第一种获得100元收入所需要的面积是0.4亩，在旱地种植第一种作物获得100元收入所需要的面积是0.3亩；在旱地种植第二种作物获得100元收入所需要的面积是0.25亩；在坡地种植第三种作物获得100元收入所需要的面积是0.2亩，在旱地种植第三种作物获得100元收入所需要的面积是0.15亩，在水田种植第三种作物获得100元收入所需要的面积是0.4亩；在坡地种植第四种作物获得100元收入所需要的面积是0.18二、农户种植计划的优化问题亩，在旱地种植第四种作物获得100元收入所需要的面积是0.1亩；在水田种植第五种作物获得100元收入所需要的面积是0.15亩，在水田种植第六种作物获得100元收入所需要的面积是0.1亩。

问题是：如何安排种植计划，才能获得最大的收益？

请建立该问题的线性规划模型，并用Excel软件和LINDO软件求解该问题(要求附带结果分析报告)。

二、农户种植计划的优化问题设选择种植第一、第二、第三、第四、第五、第六种作物的份数(1份对应于获得100元收入所需要的亩数)分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6，则可建立该问题的线性规划模型如下：

目标函数maxz=100x1+100x2+100x3+100x4+100x5+100x6

约束条件0.4x1+0.2x3+0.18x4

≤10

0.3x1+0.25x2+0.15x3+0.1x4

≤8

0.4x3+0.15x5+0.1x6≤5

x1，x2，x3，x4，x5，x6≥0

解得：x1*=0,x2*=9.777778,x3*=0,x4*=55.55556,x5*=0,x6*=50。

全部的5亩水田都用来种植第六种作物；在旱地中拿出2.45亩地种植第二种作物，其余的5.55亩旱地全部种植第四种作物；10亩坡地全部用于种植第四种作物，其他的三种作物不安排种植。按照这样的方案种植，可以获得最大收入为：z*=11533.33(元)。三、王五管理的科研课题经费使用规划问题

王五管理着一个科研课题，根据课题进展情况看，不久就要结题了。由于课题的管理采用经费与任务包干制，所以可以通过节约开支来预留课题完成后的产业推广经费。现王五需要制订出这样的一个方案：既按期完成科研任务，又要尽可能多地节省费用，人员的收入还不能减少。同时他还想知道这笔可节省的费用究竟是多少？

课题组的费用构成有两个部分：一是人员经费开支，二是试验消耗与器材采购费用开支。其中，由于出台了增收节支激励政策，所以人员经费开支与原计划相比每月可节省1万元，试验消耗与器材采购费用开支每月可节省4万元。

该课题由两个子课题构成。其中第一个子课题的开支情况为：每月人员经费为1万元，每月试验与器材经费的开支为10万元；第二个子课题的开支情况为：人员经费计划为1万元，实际上该子课题每月可通过边研制边推广应用的方式三、王五管理的科研课题经费使用规划问题获得净收入1万元，这样就可以保证每月正常的人员经费开支，所节余的1万元可向课题组上缴，同时该子课题的试验与器材经费开支需求是每月8万元。

第一个子课题的总经费还剩20万元，但如果申请，还可以增加；第二个子课题的经费还有40万元，但即使申请也不可能再增加。

课题组研究后一致决定采用如下原则进行决策：

(1)所节余的人员经费用于奖励，不计入节省费用的总额当中。

(2)在保证圆满完成课题任务的前提下，最大限度地积累课题应用性推广经费。

请建立该问题的线性规划模型，帮助王五制订最合理的科研结题周期以及可节省的费用(要求使用Excel软件和LINDO软件求解该问题，并附带结果分析报告)。三、王五管理的科研课题经费使用规划问题设第一个、第二个费用科目节省经费的月数分别为x1、x2，则可建立该问题的线性规划模型如下：

目标函数maxz=x1+4x2

约束条件x1+10x2≥20

-x1+8x2≤40

x1=0，x2≥0

解得：x1*=0，x2*=5，z*=20。

得到的结论是：在给定的决策原则下，从节省费用最大化的角度看，最合理的科研结题周期是5个月，最多可从中节省出20万元的产业化推广经费。

四、产品结构优化问题

某企业可以生产两种产品(分别记为A、B产品)，这两种产品都既可以按标准状态出厂，也可以按不同的部件组合方案或者标准产品加部件的组合方案配套出厂。标准A产品由两种部件(分别记为A1、A2)构成，标准B产品有三种部件(分别记为B1、B2、B3)构成。

今年的市场分析表明，客户甲需要的产品由A、B两种产品组成，以标准状态作为出厂状态；客户乙需要的产品需要由A产品加B1部件组合这种非标准状态作为出厂状态；客户丙需要的产品需要由A2部件加B2部件组合这种非标准状态作为出厂状态。

其中，客户甲需要的产品每套使用5个A1部件，7个A2部件，6个B1部件，4个B2部件，7个B3部件；客户乙需要的产品每套使用10个A1部件，9个A2部件，8个B1部件；客户丙需要的产品每套使用12个A2部件，11个B2部件。四、产品结构优化问题

在以上技术状态约束下，经测算，提供给甲客户产品的单套利润为48万元，提供给乙客户产品的单套利润为46万元，提供给丙客户产品的单套利润为36万元。

经生产能力平衡测算，各种部件产品的年生产能力上限分别为：A1部件年产624个，A2部件年产920个，B1部件年产412个，B2部件年产770个，B3部件年产350个。

问题：如何组织生产和销售才能获得最大利润？最大获利为多少？

请建立该问题的线性规划模型，并用Excel软件和LINDO软件求解该问题(要求附带结果分析报告)。

四、产品结构优化问题

设客户甲、乙、丙需要的产品套数分别为x1、x2、x3，则可建立该问题的线性规划模型如下：

目标函数maxz=48x1+46x2+36x3

约束条件5x1+10x2

≤624

7x1+9x2+12x3

≤920

6x1+8x2

≤412

4x1++11x3

≤770

7x1

≤350

x1，x2，x3≥0

解得：x1*=50，x2*=14，x3*=37，z*=4376

得到的结论是：从销售角度来看，客户甲需要的产品销售50套，客户乙需要的产品销售14套，客户丙需要的产品销售37套；从生产角度来看，A1部件生产390个，A2部件生产920个，B1部件生产412个，B2部件生产607个，B3部件生产350个；最大获利为4376万元。五、张三同学的自习时间分配方案规划问题张三念大学一年级，半年后他的学习情况如下：必修课平均成绩85分，选修课中自然科学类学科的平均考试成绩为60分，而人文科学类学科的平均考试成绩为50分。他认为自己的学习成绩还不是十分理想，准备增加自修时间(从每天的6小时增加到7小时——即下午和晚上各增加半个小时)来提高成绩，但是，他不知道在哪类功课上增加自修时间对提高成绩最有利。他请辅导老师帮他认真分析和总结了自己的自修时间分配与各类课程成绩之间的关系，并列出了一张关系表：

必修课自然科学类选修课人文科学类选修课总自修时间上午1001下午1102晚上1113平均成绩85%60%50%五、张三同学的自习时间分配方案规划问题请帮助张三制定一个关于自习时间优化分配的线性规划模型，并使用Excel软件和LINDO软件求解该问题(要求附带结果分析报告)

。五、张三同学的自习时间分配方案规划问题以每天在各类课程自修方面所花的时间为背景，设x1表示优化后在必修课方面所需投入时间与现在投入时间相比的倍数，x2表示优化后在自然科学类选修课方面所需投入时间与现在投入时间相比的倍数，x3表示优化后在人文科学类选修课方面所需投入时间与现在投入时间相比的倍数，则可建立该问题的线性规划模型如下：

目标函数maxz=0.85x1+0.6x2+0.5x3

约束条件x1

≤1

x1+x2

≤2.5

x1+x2+x3

≤3.5

x1，x2，x3

≥0

解得：x1*=1，x2*=1.5，x3*=1，z*=2.25。

显然，最优的选择是自然科学类选修课自修时间与当前自修时间的比值为1.5，即下午和晚上各增加半个小时。三类功课的平均分总分将从当前的195分上升到225分。博弈的分类

某企业在今后五年内考虑对下列项目投资，已知：项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%。项目B，第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125%，但规定最大投资额不超过40万元。项目C，第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定最大投资额不超过30万元。项目D，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加息6%。该企业5年内可用于投资的资金总额100万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使得到第五年末获得的投资本利总额为最大？请建立该问题的线性规划模型，并用Excel软件和LINDO软件求解该问题(要求附带结果分析报告)。六、连续投资的优化问题

设xiA、xiB、xiC、xiD(i=1,2,…,5)分别表示第i年年初给项目A、B、C、D的投资额，它们都是待定的未知变量。根据给定的条件，将变量列于下表中：六、连续投资的优化问题年份项目12345Ax1Ax2Ax3Ax4ABx3BCx2CDx1Dx2Dx3Dx4Dx5D

则可建立该问题的线性规划模型如下：目标函数maxz=1.15x4A+1.25x3B+1.40x2C+1.06x5D约束条件x1A+x1D=1000000-1.06x1D+x2A+x2C+x2D=0-1.15x1A-1.06x2D+x3A+x3B+x3D=0

-1.15x2A-1.06x3D+x4A+x4D=0-1.15x3A-1.06x4D+x5D=0x2C

≤300000x3B

≤400000x1A,x1D,x2A,x2C,x2D,x3A,x3B,x3D,x4A,x4D,x5D≥0

六、连续投资的优化问题按下述方案进行组合投资，可获本利的总额是1437500元，五年总获利率为43.75%：x1A=347826.1，x1D=652173.9，x2A=391304.3，x2C=300000，x3B=400000，x4A=450000，即第一年：A项目投资347826.1元,D项目投资652173.9元；第二年：A项目投资391304.3元，C项目投资300000元；第三年：B项目投资400000元；第四年：A项目投资450000元；第五年：不进行任何新的投资活动。六、连续投资的优化问题

某生产线需要24小时连续不断地运转，生产线上的工人每工作4小时后需要进餐和休息2小时，然后再上班工作4小时，合计工作8小时后下班，休息14小时后再上班。已知生产线上各个时段需要完成的工作时间数量为：早上8:00到中午12:00需要596(人·小时)；中午12:00到下午2:00需要304(人·小时)；下午2:00到下午6:00需要492(人·小时)；下午6:00到晚上10:00需要366(人·小时)；晚上10:00到晚上12:00需要202(人·小时)；晚上12:00到早上4:00需要412(人·小时)；早上4:00到早上8:00需要404(人·小时)。为了保持生产的连续性，每个时段都至少要有一个班组的人员要留下来跟踪关键工艺流程2个小时。七、人员需求规划问题规划的总目标是，在不同的时间段，根据需要安排最低限度的人力资源，既保证生产线的正常运转，又不至于出现冗员。问这个生产线至少需要配备多少名工人？每班次各需要配备多少名工人？请建立该问题的线性规划模型，并用Excel软件和LINDO软件求解该问题(要求附带结果分析报告)。七、人员需求规划问题根据已知条件，这条生产线的运转每天有7个不同的时段，每个时段都需要一个新的工作班次人员加入，各个时段都需要至少2个以上的班次人员并行工作，不同班次的(人·小时)数相加等于本工作时段的总(人·小时)数，就可以构成7个约束条件；把每个班次所需人数相加并使其最小化，就可以构成问题的目标函数；由于人数不可能为负数，所以所有的决策变量均大于或等于零。于是有：

minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x78:00～12:004x1+2x2+4x6+2x7=59612:00～14:002x2+2x3+2x7=30414:00～18:004x1+2x2+2x3+2x7=49218:00～22:002x2+4x3+2x4=36622:00～24:002x4+2x5=2020:00～4:004x4+2x5+2x6=4124:00～8:004x5+2x6+2x7=404x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0七、人员需求规划问题

规划的结果是，这个企业至少需要347人才能保证生产线正常运转。其中，第一班次需要工人数为47，第二班次需要工人数为41，第三班次需要工人数为42，第四班次需要工人数为58，第五班次需要工人数为43，第六班次需要工人数为47，第七班次需要工人数为69。七、人员需求规划问题某飞行器需要使用电源的设备主要包括导航设备、控制仪器设备、伺服机构三个部分。该飞行器的能源装置为化学电池，一共需要使用三组电池为上述三种设备进行分类供电(第一组为三种设备的大功率部件供电，第二组为三类设备的中功率部件供电，第三组为三类设备的小功率部件供电)。三组电池可选择三种电池单元进行组合，以便在获得足够输出功率的同时实现电池质量最小化的目标。其中，导航设备需要的总额定能量为≥200(A·h)，控制仪器设备需要的总额定能量为≥220(A·h)，伺服机构需要的总额定能量为≥580(A·h)。再其中，针对导航设备而言，第一种电池单元对大功率部件的有效出功系数(A·h/单元)为5.5，第二种电池单元对中功率部件的有效出功系数(A·h/单元)为8，第三种电池单元对小功率部件的有效出功系数(A·h/单元)为9.1。八、飞行器能源装置设置优化方案问题针对控制仪器设备而言，第一种电池单元对大功率部件的有效出功系数(A·h/单元)为5.6，第二种电池单元对中功率部件的有效出功系数(A·h/单元)为8.2，第三种电池单元对小功率部件的有效出功系数(A·h/单元)为9.2。针对伺服机构而言，第一种电池单元对大功率部件的有效出功系数(A·h/单元)为5.47，第二种电池单元对中功率部件的有效出功系数(A·h/单元)为7.9，第三种电池单元对小功率部件的有效出功系数(A·h/单元)为8.7。已知每个电池单元的质量分别为2千克、1.5千克和1千克。由于工艺与结构尺寸的限制，每组电池所包含的单元数不能大于30个。请建立该问题的线性规划模型，确定需要每种电池单元的数量，并使用Excel软件和LINDO软件求解该问题(要求附带结果分析报告)。八、飞行器能源装置设置优化方案问题设优化后的第一种、第二种、第三种电池单元数分别为x1、x2、x3，则可建立该问题的线性规划模型如下：目标函数maxz=2x1+1.5x2+x3约束条件5.5x1+8x2+9.1x3

≥2005.6x1+8.2x2+9.2x3≥220

5.47x1+7.9x2+8.7x3

≥580

x1

≤30

x2

≤30

x3

≤30

x1，x2，x3

≥0解得：x1*=15，x2*=30，x3*=30，z*=105。得到的结论是：第一组电池使用单元数为15个，第二组电