2017-2018版高中数学第二章解析几何初步1.1直线的倾斜角和斜率学案2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14学必求其心得，业必贵于专精PAGE1．1直线的倾斜角和斜率学习目标1。理解直线的斜率和倾斜角的概念。2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程,会应用斜率公式求直线的斜率．知识点一直线的倾斜角思考1在平面直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢？思考2在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？梳理倾斜角的概念（1)在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件①直线上的一个点．②这条直线的________．（2）直线的倾斜角定义在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把________（正方向）按________________方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角规定：当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为________范围倾斜角α的取值范围为________________知识点二直线的斜率思考1在日常生活中，我们常用“eq\f（升高量,前进量）”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗?思考2思考1中图的“坡度"与角α，β存在等量关系吗？梳理（1）直线的斜率把一条直线的倾斜角α的________________叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________。（2)斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角α（范围)α＝0°0<α<90°α＝____90°<α〈180°斜率k(范围)不存在k的变化定值倾斜角越大,直线的斜率k就越大不存在倾斜角越大，直线的斜率就越大(3)由两点确定的斜率公式直线过两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2），其斜率k＝________________（x1≠x2）．类型一直线的倾斜角例1设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为（）A．α＋40°B．α－140°C．140°－αD．当0°≤α<140°时，倾斜角为α＋40°；当140°≤α〈180°时，倾斜角为α－140°反思与感悟（1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．(2）求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．类型二直线的斜率例2(1)过原点且斜率为eq\f(\r（3），3）的直线l绕原点逆时针方向旋转30°到达l′位置，则直线l′的斜率为________．（2）如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又直线l1，l2,l3分别经过点Q1(－2,－1），Q2（4，－2），Q3(－3，2），计算直线l1，l2，l3的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．反思与感悟（1）已知直线的倾斜角α时，可根据斜率的定义，利用k＝tanα求得．（2)已知直线上经过的两点时，可利用两点连线的斜率公式k＝eq\f（y2－y1,x2－x1），注意前提条件x1≠x2。若x1＝x2,则斜率不存在．当两点的横坐标含有字母时,要先讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率．跟踪训练2经过点P（2，m）和Q（2m，5)的直线的斜率等于eq\f（1，2),则m的值是()A．4B．3C．1或3D．1或4类型三直线的倾斜角、斜率的应用eq\x（命题角度1三点共线问题）例3如果三点A(2，1)，B（－2，m），C（6，8)在同一条直线上,求m的值．反思与感悟斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．跟踪训练3若三点A(2,2)，B（a，0）,C(0，b）（ab≠0）共线，则eq\f（1，a）＋eq\f（1,b)的值为________．eq\x（命题角度2数形结合法求倾斜角或斜率范围）例4直线l过点P（1,0），且与以A（2,1),B（0,eq\r(3））为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围．反思与感悟(1）由倾斜角（或范围)求斜率(或范围）利用定义式k＝tanα(α≠90°）解决．(2）由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝eq\f(y2－y1，x2－x1）(x1≠x2)求解．（3）涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解．跟踪训练4已知点A（3，3）,B（－4,2）,C（0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．1．下列图中α能表示直线l的倾斜角的是()A．①B．①②C．①③D．②④2．已知点A（a，2），B（3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°,则a，b的值为(）A．a＝3，b＝1 B．a＝2，b＝2C．a＝2，b＝3 D．a＝3，b∈R且b≠13．若经过A（m，3),B（1,2）两点的直线的倾斜角为45°，则m等于(）A．2 B．1C．－1 D．－24．若三点A（2,3)，B（3,2），C（eq\f（1,2),m)共线，则实数m的值为________．5．经过A(m,3)，B(1，2）两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连,如下表：直线情况平行于x轴垂直于x轴α的大小0°0°〈α<90°90°90°〈α〈180°k的范围0k〉0不存在k<0k的增减情况k随α的增大而增大k随α的增大而增大答案精析问题导学知识点一思考1不能．思考2不同．梳理(1)②方向(2)x轴逆时针0°0°≤α<180°知识点二思考1不同,因为eq\f(3,2)≠eq\f(2，2)。思考2存在．图（1)中，坡度＝tanα，图(2)中，坡度＝tanβ.梳理（1）正切值tanα(2）90°k＝0k>0k〈0(3)eq\f（y2－y1，x2－x1）题型探究例1D［根据题意，画出图形,如图所示：因为0°≤α〈180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图（如图所示)可知,当0°≤α<140°时，直线l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α〈180°时，直线l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.］跟踪训练160°或120°解析有两种情况：①如图（1）,直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图（2），直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.例2（1)eq\r（3)解析因为直线l的斜率为eq\f（\r(3），3）,所以直线l的倾斜角为30°,所以直线l′的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l′的斜率为tan60°＝eq\r(3）.（2）解设k1，k2，k3分别表示直线l1,l2，l3的斜率．由于Q1，Q2，Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等，所以k1＝eq\f（－1－2，－2－3)＝eq\f（3，5），k2＝eq\f(－2－2,4－3)＝－4，k3＝eq\f（2－2，－3－3)＝0。由k1>0知，直线l1的倾斜角为锐角；由k2〈0知,直线l2的倾斜角为钝角；由k3＝0知，直线l3的倾斜角为0°.跟踪训练2B例3解kAB＝eq\f(m－1,－2－2）＝eq\f(1－m,4），kAC＝eq\f（8－1，6－2）＝eq\f（7，4），∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即eq\f（1－m，4)＝eq\f(7，4），∴m＝－6。跟踪训练3eq\f（1,2)例4解如图所示．∵kAP＝eq\f(1－0，2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3）－0,0－1)＝－eq\r(3），∴k∈（－∞，－eq\r(3)]∪［1，＋∞），∴45°≤α≤120°。跟踪训练4解如图所示．当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，kAB＝eq\f(3－2，3＋4)＝eq\f(1，7），kAC＝eq\f（3＋2，3－0)＝eq\f(5，3)，所以直线AD