2017-2018版高中数学第二章概率3条件概率与独立事件学案2-3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE21学必求其心得，业必贵于专精PAGE3条件概率与独立事件学习目标1。理解条件概率与两个事件相互独立的概念。2。掌握条件概率的计算公式.3.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．知识点一条件概率100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．令A＝｛产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格｝，AB＝{产品的长度、质量都合格}思考1试求P(A）、P(B)、P（AB）．思考2任取一件产品,已知其质量合格(即B发生）,求它的长度(即A发生）也合格(记为A|B)的概率．思考3P（B)、P（AB）、P（A｜B）间有怎样的关系．梳理条件概率（1）概念事件B发生的条件下，A发生的概率，称为____________的条件概率,记为____________．(2)公式P(A｜B)＝eq\f（PA∩B,PB)（其中，A∩B也可以记成AB)．(3）当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B｜A)＝________________.知识点二独立事件甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”,B＝“从乙箱里摸出白球"．思考1事件A发生会影响事件B发生的概率吗?思考2P(A)，P（B），P（AB）的值为多少？思考3P(AB)与P（A)，P（B）有什么关系？梳理独立事件（1）概念：对两个事件A,B，如果____________________,则称A，B相互独立．(2）推广：若A与B相互独立,则A与______,eq\x\to（A)与______，eq\x\to（A)与______也相互独立．（3）拓展：若A1，A2，…，An相互独立，则有P（A1A2…An)＝________________________。类型一条件概率例1在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；（3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．反思与感悟求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目,可采用缩减基本事件总数的办法来计算,P(B｜A）＝eq\f（nAB，nA）,其中n（AB)表示事件AB包含的基本事件个数,n（A）表示事件A包含的基本事件个数;二是直接根据定义计算,P（B|A）＝eq\f(PAB，PA），特别要注意P（AB)的求法．跟踪训练1盒中装有5个产品，其中3个一等品,2个二等品,不放回地从中取产品，每次取1个．求：（1)取两次，两次都取得一等品的概率；(2）取两次，第二次取得一等品的概率;（3）取两次，在第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率．类型二独立事件的判断例2一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩},B＝｛一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形,讨论A与B的独立性：（1)家庭中有两个小孩;（2)家庭中有三个小孩．反思与感悟三种方法判断两事件是否具有独立性(1）定义法:直接判定两个事件发生是否相互影响．(2）公式法：检验P(AB）＝P（A）P（B）是否成立．(3）条件概率法:当P（A）>0时，可用P（B｜A)＝P（B)判断．跟踪训练2分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________．（填序号）①A,B；②A,C；③B，C。类型三独立事件的概率例3在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号,另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列．反思与感悟概率问题中的数学思想（1）正难则反:灵活应用对立事件的概率关系(P（A)＋P(eq\x\to（A)）＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．(2）化繁为简:将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑概率加法公式，转化为互斥事件）还是分几步(考虑概率乘法公式，转化为相互独立事件）组成．(3)方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系,建立方程（组)，通过解方程(组)使问题获解．跟踪训练3甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为eq\f（1,4），乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为eq\f(1，12），甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为eq\f(2，9）.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个一等品的概率．1．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为（）A．1－a－b B．1－abC．（1－a)(1－b) D．1－(1－a）(1－b）2．抛掷红、蓝两个骰子，事件A＝“红骰子出现4点”，事件B＝“蓝骰子出现的点数是偶数”，则P（A|B)为(）A。eq\f（1，2） B.eq\f（5，36)C。eq\f（1,12) D。eq\f(1,6)3．市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95％，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是(）A．0.665 B．0.564C．0.245 D．0.2854．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是()A．互斥事件 B．相互独立事件C．对立事件 D．不相互独立事件5．某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲，乙，丙三人100m跑(互不影响)的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为eq\f（2，5)，eq\f(3，4），eq\f(1,3),若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，求（1）三人都合格的概率；（2)三人都不合格的概率；（3)出现几人合格的概率最大？1．计算条件概率时应注意：（1)准确理解条件概率的概念：条件概率中的两个事件是互相影响的,其结果受两个条件的概率的制约．(2)要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件A发生”“事件A发生并且事件B也发生”“事件B在事件A发生的条件下发生”的概率之间的关系．2．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系名称区别联系定义事件个数互斥事件在一次试验中不能同时发生的事件两个或两个以上①两事件互斥，但不一定对立；反之一定成立．②两事件独立，则不一定互斥（或对立）．③两事件互斥（或对立)，则不相互独立对立事件在一次试验中不能同时发生但必有一个发生的事件两个独立事件一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个或两个以上

答案精析问题导学知识点一思考1P(A）＝eq\f（93，100）,P（B）＝eq\f(90，100)，P(AB)＝eq\f（85,100）.思考2事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝eq\f（85,90).思考3P(A｜B)＝eq\f(PAB，PB)。梳理(1）B发生时A发生P（A|B）（3)eq\f（PAB，PA)知识点二思考1不影响．思考2P（A)＝eq\f（3，5）,P（B)＝eq\f（1,2）,P(AB）＝eq\f（3×2,5×4）＝eq\f(3,10)。思考3P（AB）＝P（A)·P(B)．梳理独立事件（1）P（AB）＝P（A）P（B)（2）eq\x\to（B）Beq\x\to(B）P（A1）P（A2)…P（An)题型探究例1解设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB。(1）从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n（Ω)＝Aeq\o\al（2,5)＝20。根据分步乘法计数原理,n(A）＝Aeq\o\al（1，3)×Aeq\o\al(1，4）＝12.于是P(A)＝eq\f(nA,nΩ）＝eq\f(12,20)＝eq\f(3，5).(2）∵n（AB）＝Aeq\o\al(2,3）＝6,∴P（AB）＝eq\f(nAB,nΩ)＝eq\f（6,20)＝eq\f(3,10)。(3）方法一由（1）（2）可得在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f（\f(3,10），\f（3,5））＝eq\f（1，2)。方法二因为n(AB)＝6，n（A)＝12，所以P(B|A)＝eq\f（nAB，nA)＝eq\f（6，12）＝eq\f(1,2).跟踪训练1解记Ai为第i次取到一等品，其中i＝1，2。（1）取两次，两次都取得一等品的概率，P（A1A2）＝P（A1）·P（A2｜A1)＝eq\f（3，5）×eq\f（2，4)＝eq\f(3，10）.（2)取两次，第二次取得一等品,则第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品，则P（A2)＝P(eq\x\to（A）1A2）＋P(A1A2）＝eq\f(2,5)×eq\f（3，4）＋eq\f（3,5）×eq\f（2,4)＝eq\f（3，5).(3）取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率为P(eq\x\to(A）1｜A2）＝eq\f（P\x\to（A）1A2,PA2)＝eq\f（\f(2，5)×\f（3，4),\f(3,5））＝eq\f(1,2)。例2解(1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{（男,男），(男，女),(女,男），（女，女）}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为eq\f（1，4）。这时A＝｛（男，女)，（女，男）}，B＝｛（男，男）,（男，女），（女,男)｝,AB＝｛(男，女），（女,男）｝，于是P(A)＝eq\f(1，2)，P(B）＝eq\f(3,4），P(AB）＝eq\f(1，2）.由此可知P（AB)≠P（A)P（B）,所以事件A，B不相互独立．（2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{（男，男,男)，（男，男,女），（男，女，男），(男,女，女),(女，男，男),（女，男,女)，(女，女，男),（女，女，女）｝．由等可能性知这8个基本事件的概率均为eq\f（1，8),这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件,AB中含有3个基本事件．于是P（A)＝eq\f（6，8)＝eq\f(3,4）,P(B)＝eq\f(4,8)＝eq\f（1，2)，P(AB）＝eq\f(3，8),显然有P(AB)＝eq\f（3,8）＝P(A)P(B)成立．从而事件A与B是相互独立的．跟踪训练2①②③例3解(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手"，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P（A)＝eq\f（C\o\al（1，2),C\o\al(2,3））＝eq\f(2,3），P(B）＝eq\f(C\o\al(2,4），C\o\al(3，5））＝eq\f(3，5).因为事件A与B相互独立,所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P（Aeq\x\to（B))＝P(A)·P（eq\x\to(B)）＝P（A）·［1－P(B)]＝eq\f(2,3)×eq\f（2,5）＝eq\f（4,15).eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（或PA\x\to（B）＝\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(3,4)，C\o\al（2,3）·C\o\al(3,5））＝\f（4，15）))（2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手"，则P(C）＝eq\f(C\o\al（2,4）,C\o\al（3,5））＝eq\f(3,5），因为X可能的取值为0,1，2,3，且取这些值的概率分别为P（X＝0)＝P（eq\x\to（A）eq\x\to(B)eq\x\to（C）)＝eq\f（1,3)×eq\f(2，5)×eq\f(2,5)＝eq\f（4，75)，P(X＝1)＝P(Aeq\x\to(B）eq\x\to（C）)＋P(eq\x\to（A）Beq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B）C)＝eq\f(2，3)×eq\f(2，5)×eq\f(2,5）＋eq\f(1，3)×eq\f（3,5)×eq\f（2,5)＋eq\f（1，3）×eq\f(2，5）×eq\f（3,5)＝eq\f(20，75）＝eq\f(4,15）,P(X＝2）＝P（ABeq\x\to（C））＋P(Aeq\x\to（B）C）＋P（eq\x\to(A)BC)＝eq\f（2,3）×eq\f（3,5)×eq\f(2,5）＋eq\f（2，3)×eq\f(2，5）×eq\f（3，5)＋eq\f（1，3）×eq\f(3，5）×eq\f（3,5)＝eq\f（33，75）＝eq\f（11,25),P(X＝3）＝P(ABC)＝eq\f(2，3）×eq\f(3，5)×eq\f（3，5）＝eq\f(18，75）＝eq\f（6，25）.所以X的分布列为X0123Peq\f（4，75)eq\f(4,15)eq\f(11,25）eq\f（6,25）跟踪训练3解(1）设A，B，C分别为甲，乙，丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（PA\x\to(B）＝\f（1，4)，，PB\x\to(C)＝\f（1，12）,，PAC＝\f（2,9）,))即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（PA[1－PB]＝\f(1，4），①，PB［1－PC］＝\f（1，12),②,PAPC＝\f(2，9），③））由①③得P（B)＝1－eq\f(9,8）P（C)，代入②得27[P(C）]2－51P（C）＋22＝0，解得P（C）＝eq\f（2，3）或P（C）＝eq\f(11,9）(舍去）．将P（C）＝eq\f(2,3)代入②得，P(B)＝eq\f(1,4），将P(B）＝eq\f（1，4)代入①得,P（A)＝eq\f(1,3)。故甲，乙，丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是eq\f(1，3)，eq\f（1,4），eq\f(2,3)。（2)记D为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，其中至少有一个一等品的事件，则P(D)＝1－P（eq\x\to（D))＝1－［1－P（A)]·[1－P（B)][1－P（C)］＝1－eq\f(2,3)×eq\f（3，4)×eq\f(1,3）＝eq\f（5,6)。故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验，至少有一个一等品的概率为eq\f(5，6)。当堂训练1．C2.D3.A4