第三章-力系的平衡

工程力学第三章力系的平衡力系的平衡汇交力系的平衡方程1.空间汇交力系平衡的充要条件将上式两边向x、y、z轴投影，可得平衡方程

可以求解3个未知量。2.平面汇交力系

力系的平衡力偶系的平衡方程1.空间力偶系平衡的充要条件（几何条件）

将上式两边向x、y、z轴投影，可得平衡方程

可以求解3个未知量。

2.平面力偶系

力系的平衡平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.任意力系的平衡方程空间任意力系：平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。将上式向x、y、z轴投影，可得空间任意力系的平衡方程

可以求解6个未知量。力系的平衡空间平行力系选择z轴与力系的作用线平行空间平行力系的平衡方程可以求解3个未知量力系的平衡平面任意力系

如果取平面任意力系的作用平面为oxy平面，则

平面任意力系的平衡方程（一般形式）：

可以求解3个未知量yxzO力系的平衡二力矩的形式限制条件：力矩中心A、B两点的连线不能与投影轴x轴垂直力系的平衡三力矩的形式限制条件：力矩中心A、B、C三点不在同一条直线上。

已知：P1=4KN，P2=10KN，尺寸如图，求：BC杆受力及铰链A受力。例题(1)解：取AB梁，画受力图。解得例题又可否列下面的方程？能否从理论上保证三组方程求得的结果相同？可否列下面的方程：例题图示结构，若FP和l已知，确定下面结构的约束力llABDCFPllABDCM=FP2

l例题例：简支梁受力如图，已知F＝300N,q=100N/m,求A,B处的约束反力。FqABCD2m2m4m解：简支梁受力如图所示：代入（1）式例题求图示伸出梁的支座反力。2mBA2m3m2mF=5KN1F=20KN2q=4KN/m12mq=2KN/mm=8KN·mo例题求如图所示悬臂梁的支座反力.例题力系的平衡平面平行力系选y轴或者x轴与力系的作用线平行，则一般式，二力矩式或条件：AB连线不能平行于力的作用线均质杆AB和BC在B端固结成60°角，A端用绳悬挂，已知BC=2AB,求当刚杆ABC平衡时，BC与水平面的倾角ɑ。例题塔式起重机已知:G1,G2,a,b,e,L求：起重机满载时不向右和空载时不向左翻倒时，平衡重的重量G3所应满足的条件。解：以起重机为研究对象(1)满载时不翻倒条件：FNA≥0(1)由得：由(1)、(2)式得：(2)空载时不翻倒条件：FNB≥0(4)

由得：由(4)、(5)式得：

由式(3)和(6)可得，起重机满载和空载均不致翻倒时，平衡重的重量G3所应满足的条件为：3.4.1单个物体平衡方程的应用单个物体平衡问题的研究，可按以下步骤进行：（1）根据物体平衡问题正确选定研究对象。

(要画出研究对象的形状)（2）分析研究对象的受力情况，正确画出其受力图。

(研究对象本身对周围的作用力不要画出.)（3）选择恰当的平衡方程、投影轴和力矩中心，求解未知力。力系的平衡

水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于2kN，方向与梁的轴线成60º角，支承情况如图a所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束力。梁的自重不计。

A60ºFB30ºaaC(a)例题FBFADC60º30º(b)FEFFBFA60º30ºHK(c)

1.取梁AB作为研究对象。

4.由力多边形解出：

FA=Fcos30=17.3kN

FB=Fsin30=10kN2.画出受力图。3.作出相应的力多边形。BA解：例题解：(1)取制动蹬ABD作为研究对象。(2)画出受力图。OPASBBNDD(b)JNDKSBPI(c)P246ACBOED(a)(3)应用平衡条件画出P、SB和ND的闭和力三角形。图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力P=212N，方向与水平面成=45角。当平衡时，BC水平，AD铅直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm点E在铅直线DA上，又B、C、D都是光滑铰链，机构的自重不计。例题（5）代入数据求得：

SB=750N。（4）由几何关系得：由力三角形可得：OPASBBNDD(b)JNDKSBPI(c)P246ACBOED(a)例题TBD300FAB150150TBCTBD=G

EB例题

井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过滑轮B

的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端用钢索BC

支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢

的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB和钢索BC所受的力。解：1、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：G300600150A

BCD

Ex300150150TBDTBCGTBD=GY

=0X

=0FAB=45kN-TBCcos300-TBDcos450+FABcos600=0

EBTBC=9.65kNFABy-TBCcos600-TBDcos450+FABcos300-G=02、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系：3、列平衡方程并求解：300300600150A

BCD

E300150150TBDTBCGTBD=Gxy

EB-TBDsin150+FABsin300-Gsin600=0FAB=45kNY

=0FAB解二：300600150A

BCD

EX

=0-TBC-TBDcos150+FABcos300-Gcos600=0TBC=9.65kN静力学1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。

解题技巧及说明：3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。

2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都用解析法。静力学5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。静力学n个物体组成的物体系统2

单个物体平面一般力系33n平面平行力系22n平面汇交力系2n平面力偶系1n独立平衡方程数力系的平衡3.4.2物体平衡方程的应用

（1）静定问题与静不定问题的概念1.静定问题未知量的个数≤独立平衡方程数2.超静定问题（或静不定问题）未知量的个数＞独立平衡方程数超静定次数=未知量的个数-独立平衡方程数

力系的平衡判断下面结构是否静定？判断下面结构是否静定？力系的平衡（2）物体系的平衡问题物体系统（物系）：由若干个物体通过适当的约束相互连接而成的系统。TheoreticalMechanics求解过程中应注意以下几点

在一般情况下，首先以系统的整体为研究对象，这样则不出现未知的内力，易于解出未知量。当不能求出未知量时应立即选取单个物体或部分物体的组合为研究对象，一般应先选受力简单而作用有已知力的物体为研究对象，求出部分未知量后，再研究其他物体。

返回首页首先判断物体系统是否属于静定问题

恰当地选择研究对象

物系平衡问题的应用①首先从二力构件入手，可使受力图较简单，有利于解题。②解除约束时，要严格地按照约束的性质，画出相应的约束力，切忌凭主观想象画力。③画受力图时，关键在于正确画出铰链约束力，除二力构件外，通常用二分力表示铰链反力。④不画研究对象的内力。⑤两物体间的相互作用力应该符合作用与反作用定律。列平衡方程，求出全部未知力

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受力分析，画隔离体的受力图物系平衡问题的应用[例]已知：图示梁，求：A、B、C处约束力。mA分析：整体：四个反力→不可直接解出拆开：BC杆三个反力→可解故先分析BC杆，再分析整体或AC杆，可解。mAAC杆五个反力→不可解解：1、取BC杆为研究对象2、取整体为研究对象mAXA=0静力分析XA=0（↓）（↓）∴（↑）（）例1：已知F＝500N,q=250N/m,M=500N.m,求A,B,E处的约束反力。解(1)取CE杆为研究对象，受力如图(b)qFM11222ABCDE(a)MDECq(b)对CE杆

qFM11222ABCDE(2)取整体为研究对象，受力如图F＝500N,q=250N/m,M=500N.m例已知:DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l,P,各构件自重不计。求:A,E支座处约束力及BD杆受力。解:取整体,画受力图。解得解得解得取DCE杆,画受力图.解得(拉)TheoreticalMechanics

例

水平传动轴上安装着带轮和圆柱直齿轮。带轮所受到的紧边胶带拉力FT1沿水平方向，松边胶带拉力FT2与水平线成＝30角，如图所示。齿轮在最高点C与另一轴上的齿轮相啮合，受到后者作用的圆周力F和径向力Fn

。已知带轮直径d1＝0.5m，直齿轮直径d2＝0.2m，啮合角＝20，b＝0.2m，c＝e＝0.3m，

F＝

2kN，零件自身重量不计，并假设FT1＝2FT2。转轴可以认为处于平衡状态。试求支承转轴的向心轴承A、B的约束力。

例题空间力系的平衡