第三章 第8(2)、9、10讲 空间力投影、力对点之矩,汇交力系、力偶系

§3.1空间汇交力系第8（2）讲目录第三章空间力系TheoreticalMechanics

第8（2）讲的内容、要求、重难点TheoreticalMechanics

教学内容：在空间直角坐标轴上的投影、空间汇交力系教学要求：重点：力在空间直角坐标轴上的投影难点：空间汇交力系、力偶系的平衡学时安排：11、了解空间力系的概念和平衡条件。2、理解应用空间汇交力系平衡3、掌握力在空间直角坐标轴上的投影。3.1.1力的投影

§3.1空间汇交力系TheoreticalMechanics引言：平面力系一、力系空间力系汇交力系：三角架平行力系任意力系二、空间支座：柔性约束FT1FT3FT2FT41、一个约束力FNAPAFNAFNA光滑面约束滚动支座二力杆

§3.1空间汇交力系2．两个未知量：径向轴承（向心轴承）TheoreticalMechanicsTheoreticalMechanics不能限制转动，但限制任何方向的转动反力方向：通过铰心（插入端），方向不定，三正交分量表示。固定球铰链支座FyFzFx止推轴承FyFzFx

§3.1空间汇交力系3．三个未知量：固定球铰链支座、止推轴承（向心推力轴承）TheoreticalMechanics

§3.1空间汇交力系4．导向轴承、万向接头5．带销子的夹板、导轨6．空间的固定端FAyFAzmAzmAyFAyFAzmAyFAxFAyFAzFAxmAzmAxFAyFAzmAzmAxFAymAyFAzFAxmAzmAx3.1空间汇交力系2.1.1力的投影TheoreticalMechanics

§3.1空间汇交力系三、力在空间坐标轴上的投影与分解1、分解与合成yzxFFxFyFzFxy合力与分力满足长方体原则。合力为长方体的对角线，分力为三条棱。3.1空间汇交力系2.1.1力的投影TheoreticalMechanics

§3.1空间汇交力系力在轴上的投影：力与该投影轴单位矢量的标量积2、力在空间坐标轴上的投影直角坐标系Oxyz的单位矢量为i、j、k，力F在各轴上投影

（1）直接投影法（2）二次投影法正负规定：与坐标正向一致取正当外力与轴垂直，外力在该轴上投影为零当外力与轴平行，外力在该轴上的投影的绝对值等于力的大小yzxFFxFyFzαFxyγβ3、分力与投影的关系TheoreticalMechanics

§3.1空间汇交力系在直角坐标系中力F的矢量式：F=Fx

i+Fy

j+Fz

k

4、已知力F在直角坐标轴上的三个投影求合力Fx=Fx

iFy=Fy

jFz=Fz

k

力大小:力方向:例3-1已知：、、求：力在三个坐标轴上的投影。TheoreticalMechanics

§3.1空间汇交力系正视图俯视图四、空间汇交力系的合力与平衡条件2、合矢量（力）投影定理1、空间汇交力系的合力3、合力的大小：4、空间汇交力系平衡的充分必要条件是：称为空间汇交力系的平衡方程。该力系的合力等于零，即方向余弦：TheoreticalMechanics

§3.1空间汇交力系例3-2已知：物重P=10kN由两等长绳悬挂于墙，C、D连线水平，直角三角形形成的平面BCD与水平面成30o角。AB杆与铅垂线成θ=30o角。求：杆受力及绳拉力。TheoreticalMechanics

§3.1空间汇交力系解：画受力图如图，建立图示坐标，列平衡方程播放30oE30oF45o作业P.1073-12第9讲目录第三章空间力系

§3.3空间力偶系

§3.2力对点的矩和力对轴之矩TheoreticalMechanics

§3.4空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩第9讲的内容、要求、重难点TheoreticalMechanics

教学内容：空间力对点之矩、对轴之矩，空间力偶系，空间任意力系的简化教学要求：重点：力在空间力对轴之矩、力偶性质及平衡难点：空间力偶系的平衡、空间任意力系的简化学时安排：21、了解空间力对点之矩、空间任意力系的简化2、理解空间力偶的性质3、掌握力在空间力对轴之矩，应用空间力偶系简化和平衡一、力对的点矩

1、定义：力的作用点A相对于确定点O的矢径r和力矢F的叉积，定义为力对点O（称为矩心）的矩，用MO(F)表示。MO

(F)=r×F。§3.2力对点的矩和力对轴之矩TheoreticalMechanics(3)作用面：力矩作用面。(2)方向:转动方向(1）大小:力F与力臂的乘积三要素：力矩的大小和方向是随矩心的改变而改变的，力矩MO(F)必须从矩心O画出。由右手螺旋规则来确定力对点之矩，力对点之矩是定位矢。§3.2力对点的矩和力对轴之矩TheoreticalMechanics力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为：则在直角坐标系Oxyz中：矢径：rAO

=r=xi+yj+zk，力：F=Fxi

+Fyj+Fzk。二、力对轴的矩力与轴相交或与轴平行（力与轴在共面，力对该轴的矩为零。§3.2力对点的矩和力对轴之矩TheoreticalMechanics

1、定义：力使物体绕定轴转动的效果的度量。力对轴的矩转化为求力在垂直于轴平面内的分力，对轴与平面的交点之矩。3、单位：N·m2、力对轴的矩是一个代数量：4、正负规定：正负号可用右手螺旋法则来判定：用右手握住转轴，四指绕向在力作用处的切线与力方向一致，若拇指指向与转轴正向一致时力矩为正；反之，为负。也可从转轴正端看过去，逆时针转向的力矩为正，顺时针转向力矩为负。例3-3曲柄ABCDE在水平面内，力F在垂直于y轴的平面内。其中F、

l、b、α

是常量。求力F对三坐标轴之矩。解：把力分解如图§3.2力对点的矩和力对轴之矩TheoreticalMechanics播放bαFxFz§3.2力对点的矩和力对轴之矩TheoreticalMechanics【例3-4】如图所示，已知各力大小均为100N，六面体边长单位cm。

求：(1）各力在x、y、z轴上的投影；(2）力F3对x、y、z轴之矩解:（1）计算投影。F1F2：F3F3xyF3xF3yF3zxyz303040F3F1αγOβF2Mx(F3)=Mx

(F3x)+Mx

(F3y)+Mx

(F3z)=(2)力F3与y轴相交My(F3)=0。由合力矩定理求力F3对x、y轴之矩0-F3y×0.3+0=-15.4N·mMz(F3)=Mz(F3x)+Mz

(F3y)+Mz

(F3z)=0+F3y×0.4+0=20.6N·m求：力F对x,y,z轴的矩三、

力对点的矩与力对过该点的轴之矩的关系已知：力F,力F在三根轴上的分力

Fx

、Fy、

Fz

，力F作用点的坐标(x,y,z)§3.2力对点的矩和力对轴之矩TheoreticalMechanics与平面的合力矩定理相似即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。§3.3空间力偶系TheoreticalMechanics一、空间力偶1、空间力偶的三要素（1）大小：力与力偶臂的乘积；（3）作用面：力偶作用面。（2）方向：转动方向；力偶矩矢：2、力偶的性质（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。定位矢量（空间的力对点之矩）力偶矩矢是自由矢量自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）滑移矢量（力）§3.3空间力偶系TheoreticalMechanics§3.3空间力偶系TheoreticalMechanics二．力偶系的合成与平衡条件=M为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和如同汇交力系有：合力偶矩矢的大小和方向余弦称为空间力偶系的平衡方程。简写为：有2、平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢等于零1、合成=—空间力偶系的平衡方程播放2播放1(两力偶)A求：工件所受合力偶矩在轴上的投影。例3-5已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削力偶矩均为80N·m。解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移到点A。M3M4M5M2M1§3.3空间力偶系TheoreticalMechanicsBF1F’1F2F’2M1M2圆盘面O1垂直于z轴，求:轴承A,B处的约束力例3-6已知：F1=3N，F2=5N，（构件自重不计）两盘面上作用有力偶，圆盘面O2垂直于x轴，AB=800mm,两圆盘半径均为200mm，解：取整体，受力图如图b所示，列力偶系平衡方程FBxFAxFAzF1F’1F2F’2FBxFAxFAz§3.3空间力偶系TheoreticalMechanicsFBzBFBz思考：两力偶对其它轴有矩没有？§3.4空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩一、

空间任意力系向一点的简化其中，各，各空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系TheoreticalMechanics1、主矢：平移后的空间汇交力矢系的合力矢2、主矩：平移后的空间力偶系的合力偶矩矢由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有播放当最后结果为一个合力，（1）合力最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为2．

空间任意力系的简化结果分析（最后结果）合力作用点过简化中心。§3.4空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩TheoreticalMechanics（2）合力偶力螺旋中心轴过简化中心当时，最后结果为一个合力偶，与简化中心无关播放当时，（3）力螺旋当∥时右螺旋左螺旋力螺旋中心轴距简化中心为（4）平衡当时，空间力系为平衡力系TheoreticalMechanics播放当成角且既不平行也不垂直时§3.4空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩TheoreticalMechanics播放§3.4空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩TheoreticalMechanics播放§3.4空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩TheoreticalMechanics播放§3.4空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩§3.5空间任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics前三个方程称为投影方程，表示力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零，表明物体无任何方向的移动。后三个方程为力矩方程，表示力系中各力对三个坐标轴的力矩代数和分别为零，表明物体无绕任何轴的转动。空间任意力系有六个独立的平衡方程，所以空间任意力系的平衡问题最多可解六个未知量。力系空间汇交力系空间平行力系（//z轴）空间力偶系平衡方程一、平衡方程作业P.1073-9第10讲目录MechanicofMaterials第三章空间力系§3.5空间任意力系的平衡方程第11讲的内容、要求、重难点MechanicofMaterials教学内容：空间平行力系、任意力系的平衡方程的应用，空间问题转化成平面力系求解方法教学要求：重点：任意力系平衡的应用难点：空间任意力系平衡方程的应用学时安排：21、了解空间任意力系的简化。2、理解空间平行力系的平衡。3、掌握任意力系平衡问题的求解方法步骤、技巧。§3.5空间任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics二、解题步骤：

1、

选择研究对象，取出分离体，画分离体受力图。求解空间力系平衡问题的基本方法和步骤与平面力系相同正确地选择研究对象，画分离体受力图是解决问题的关键

2、建立空间直角坐标系，列平衡方程。

3、代入已知条件，求解未知量。例3-7三轮推车已知：自重P=8kN,各尺寸如图求：A、B、D处约束力解：研究对象：小车受力如图列平衡方程求反力§3.5空间任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics0.2m1.2m0.2m1.2mPP1xyzFDFAFB2m例3-8已知：各尺寸如图，D=400mm，R=300mm求：及A、B处约束力解：研究对象:曲轴受力如图所示，列平衡方程§3.5空间任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics√√√√√√√§3.5空间任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics例3-9等尺寸。求：，（2）A、B处约束力(1)（3）O处约束力√√√√√√√FxFz√FyFzFxFtFtFrFrFBxFBzFBy38876488100xzyFAxFAz播放O§3.5空间任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics研究对象2：工件受力图如图列平衡方程√√√求：（3）O处约束力FxFzFyFOxFOzFOyMxMyMzI已知：F、P及各尺寸求：各杆内力解：研究对象：长方板受力图如图列平衡方程探索1（只有F1与x轴不垂直）§3.5空间任意力系的平衡方程TheoreticalMechanicsxzy播放图示为某水轮机涡轮转动轴，已知大锥齿轮D上承受的啮合反力可以分解为圆周切向力Ft、轴向力Fa

和径向力Fr

，且它们的大小比为1:0.32:0.17，外力偶矩为MZ

=1.2kN·m，转动轴及其附件总重量为G=12kN，锥齿轮的平均半径为DE=

r=0.6m，其余尺寸如图所示，试求两轴承处的约束反力ABDEMZ§3.4空间任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics探讨20.32Ft0.17Ft√√√4m3m

【例5.4】某传动轴如图所示。已知皮带拉力T=5kN,t=2kN，带轮直径D=160mm，分度圆直径为d=100mm，压力角（齿轮啮合力与分度圆切线间夹角）α=20°，求齿轮圆周力Ft、径向力Fr和轴承的约束反力。

§3.5空间任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics

探讨3

∑Mx(Fi)=0-Fr·200+RBz·400-(t+T)·460=0∑Fx=0

RAx+RBx+Ft=0∑Fz=0RAz+RBz-Fr-(t+T)=0

Ft=4.8kN

Fr=1.747kN

RBz=8.92kN

RBx=-2.4kNRAx=-2.4kN

RAz=-0.17kN

§5.5空间任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics

探讨3方法一：轴受力、坐标如图所示，列出平衡方程。§3.5空间任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics

探讨3方法二（b）（a）(c)

(d)

方法二（1）取传动轴为研究对象，并画出它的分离体在三个坐标平面投影的受力图。如图（b）、(c)、(d)所示。（2）按平面力系平衡问题进行计算。①对符合可解条件的先行求解，故先从xz面先行求解。

对xz面：Ft=4.8kN,Fr=Ft

tanα=1.747kN

§3.5空间任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics探讨3②对其余两面求解