第七章 时间序列

第七章时间序列第一节时间序列概述第二节时间序列分析的水平指第三节时间序列分析的速度指第四节动态趋势分析第一节时间序列概述一、时间序列的意义

时间序列，指同类现象的统计指标数值按时间先后顺序排列而成的数列。又称动态数列。

时间序列是由互相配对的两个数列构成：

一是反映时间顺序变化的数列；

二是反映各个时间统计指标值变化的数列。二、时间序列的种类按组成时间序列指标性质的不同，时间序列可分为：

时期序列绝对数时间序列（最基本的数列）时点序列相对数时间序列两个时期序列对比平均数时间序列两个时点序列对比

一个时期和一个时点序列对比派生序列1、时期序列

时期序列是指在绝对数时间序列中，如果每一指标是反映现象在一段时间发展过程的总量，则为时期序列。它有以下三个特点：（１）数列中各个指标数值是可以相加的；（２）数列中每一个指标数值的大小与其时期长短有直接的联系；一般地说，时期愈长，指标数值愈大；反之就愈小。（３）数列中的每个指标数值，通常是通过连续不断地登记取得的。

42、时点序列

时点序列是指在绝对数时间序列中，若每个指标值所反映的是现象在某一时刻上的总量，则称为时点序列。

时点序列根据登记的资料是否连续可分：

连续性时点序列（以日为间隔进行登记）

间断性时点序列（间隔一定时间登记）

5等间隔不等间隔等间隔不等间隔时点序列有以下三个特点：（１）数列中每个指标数值是不能相加的。（２）数列中每个指标数值的大小与其间隔长短没有直接联系。（３）数列中每个指标数值，通常是通过一定时期登记一次而取得的。三、编制时间序列的原则保证数列中各个指标数值的可比性，是编制时间序列应遵守的基本原则。具体地说应注意以下四点：（一）时间长短应该相等.（二）总体范围应该一致。（三）计算方法应该统一。时间序列各项指标的计算口径、计量单位和计算方法应该一致，保持不变。（四）经济涵义要统一。有时时间序列的指标在名称上是一个指标，但经济内容或经济涵义不同或有了变化，这也是不可比的。第二节时间序列分析的水平指标一、发展水平

发展水平，又称发展量，是时间序列中每一项具体指标数值。它是计算其他动态分析指标的基础。发展水平按在一个时间序列中所处位置的不同最初水平最末水平

如有一项时间序列：a0，a1，a2，a3…an(共n+1)其中，a0称最初水平，an称最末水平。

发展水平根据作用不同有：

基期水平：作为比较基础时期的发展水平;

报告期水平：所要分析研究的那个时期的水平。二、平均发展水平

平均发展水平是对不同时期的发展水平求平均数，一般也叫序时平均数或动态平均数。它和一般平均数有共同之处，也有区别。（是什么?）序时平均数的计算：（一）由绝对数时间序列计算序时平均数1、根据时期序列计算(只需采用简单序时平均法)

计算公式为：

式中，--序时平均数；

--各期发展水平；

n--时期项数。

92、根据时点序列计算

时点序列分为连续性时点序列和间断性时点序列，它们的序时平均数计算是不同的。

连续性时点序列间断性（）

注意：间断性时点序列计算序时平均数的假设前提：即所研究现象在相邻两时点间的变动是均匀的。等间隔不等间隔等间隔不等间隔首末折半法（二）由相对数或平均数时间序列计算序时平均数其序时平均数的计算方法是：先将分子数列和分母数列分别加以序时平均，然后进行对比，求得相对数时间序列或平均数时间序列的序时平均数。计算公式为：

式中：--相对数时间序列或平均数时间序列的序时平均数；

--分子数列的序时平均数；

--分母数列的序时平均数。

1、对比的分子、分母都是时期序列

2、对比的分子、分母都是时点序列3、对比的分子、分母数列一个是时期序列，另一个是时点序列

[例7.5]某企业一、二、三月份产品产量计划数和计划完成程度资料如表7—5。

1月2月3月

计划产量（件）b500600800

计划完成（%）c100102104要求：计算第一季度产量平均计划完成程度。

变换条件：

1月2月3月

实际产量（件）a500612832

计划完成（%）c100102104第一种情况：已知分母计划数b和计划完成c，

则:第一季度产量平均计划完成程度

102.32%

第二种情况：已知分子实际完成数a和计划完成c，

则:第一季度产量平均计划完成程度

三、增长量和平均增长量（一）增长量

它是时间序列中报告期发展水平与基期发展水平之差。计算公式为：增长量=报告期水平-基期水平

由于比较基期不同，增长量可分为：

逐期增长量：是报告期水平减去前一期水平的差额；

累积增长量：是报告期水平和某一固定时期水平（通常为最初水平）相减的差额。

逐期增长量：a1-a0,a2-a1,…,an-an-1

累积增长量：a1-a0,a2-a0,…,an-a0

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二者的关系是：累积增长量等于逐期增长量的总和。即：（a1-a0）+(a2-a1)+…+(an-an-1)=an-a0（二）平均增长量平均增长量是增长量的序时平均数。

计算公式：平均增长量=逐期增长量之和/逐期增长量个数

=累积增长量/（时间序列项数-１）第三节时间序列分析的速度指标速度指标是说明社会经济现象变化发展的动态相对指标。反映国民经济速度的主要指标有发展速度增长速度平均发展速度平均增长速度。它们之间具有密切的联系，其中发展速度是最基本的速度指标。

一、发展速度和增长速度（一）发展速度

发展速度是两个不同时期发展水平对比而计算的动态相对数，用以说明报告期水平已发展到基期水平的若干倍或百分之几。一般用百分数或倍数表示。计算公式为：发展速度=（报告期水平/基期水平）100%

发展速度由于采用基期的不同可分为

环比发展速度：是报告期水平与其前一期水平之比，说明现象逐期发展程度；

定基发展速度：是报告期水平与某一固定时期水平（通常为最初水平）之比，说明现象在一段时间内总的发展速度，故又称“总速度”,用R表示。

计算公式如下：环比发展速度：定基发展速度：

二者的关系是：（１）定基发展速度等于相应各个环比发展速度的连乘积，即：

（２）两个相邻时期的定基发展速度之比等于相应时期的环比发展速度，即：（二）增长速度

增长速度是增长量与基期水平之比，用以说明报告期水平比基期水平增长了百分之几或若干倍。用公式表示：

增长速度=增长量/基期水平

或：增长速度=发展速度-1（或100%）

环比增长速度：表明现象逐期增长的程度。

定基增长速度：表明现象在较长时期内总的增长程度。

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环比增长速度=逐期增长量/前一期水平

=环比发展速度-１（或100%）定基增长速度=累积增长量/最初水平

=定基发展速度-１（或100%）注意，这两个指标是不能直接进行互相换算的。（三）增长１％的绝对值

它表示报告期水平比基期水平每增长１％所包含的绝对量是多少。用公式表示为：

每增长１％的绝对值=（为什么要计算增长1%的绝对值？）

21二、平均发展速度和平均增长速度（一）平均速度指标的意义平均发展速度和平均增长速度统称为平均速度。

平均发展速度是各期环比发展速度的序时平均数，用以说明现象在较长时间中逐年平均发展的程度。

平均增长速度=平均发展速度-１（或100%）即要求得平均增长速度指标，首先要计算出平均发展速度指标，而后将其减１（或100%）即得。该指标说明现象递增的平均速度。（二）平均发展速度的计算方法常用的方法有两种几何平均法（水平法）

方程式法(累计法)

它们的数理依据、计算方法和应用场合都不相同，现分述如下：

1、几何平均法（又称水平法）现象的平均发展速度，一般用几何平均法计算。这是因为，现象发展的总速度等于各期环比发展速度的连乘积。

几何平均法的计算公式为：

（１）式由于各期环比发展速度的连乘积等于最后一期的定基发展速度，即总速度Ｒ，所以有：（２）式又因为，所以有：

（３）式

由（３）式得：展开：

这个等式的含义是：现象从最初水平a0出发，各时期都以同样的速度向前发展，经过n期后达到最末水平an

。可见，该法计算的平均发展速度是侧重于考察最末一期的发展水平的，故几何平均法又称水平法。

25n期水平法平均发展速度案例例1：已知2002年中国GDP为12371.39亿美元，增长速度为8%；美国为104456亿美元，增长速度为2.4%。试问：（1）若按现有的增长速度发展，几年后中国将达到美国2002年的GDP的水平？（2）按照同样的发展速度，问多少年后中国才能赶上美国？（3）若中国GDP以年均7.23%的速度增长，则需多少年赶上美国？

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解：（1）12371.39*(1.08)n=104456*n=lg8.4434/lg1.08=27.7(年)

（2）12371.39*(1.08)n=104456*(1.024)n(1.05469)n=8.4434lg8.44340.9265n=———————=—————=40(年)lg1.054690.02312

（3）lg8.44340.9265n=——————=————=46(年)lg1.04720.0200

272、方程式法（累计法）累计法计算平均发展速度的数理依据是：现象从最初水平出发，各期都按固定的速度发展，各期发展水平的理论值总和与各期实际水平总和相等。依据该思路，得到下列公式：

解这个方程式得出的正根，即为所求的年平均发展速度。所以，这种求平均数的方法，又称作方程式法。

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关于现象发展平均速度的两种计算法--几何平均法和方程式法的不同特点说明如下：

几何平均法侧重于考察最末一年的发展水平；方程式法侧重于考察全期各年发展水平的总和。实际工作中，由于所考察的经济现象大都侧重于最末一期的发展水平，所以水平法计算平均发展速度的方法被更多地运用。

（三）计算和应用平均发展速度时应注意的几个问题1、要联系各个时期的环比速度。2、用分段平均速度补充说明总平均速度或用突出的速度来补充说明平均速度，这在分析较长历史时期资料时更为必要。3、要联系基期水平进行分析。

29第四节动态趋势分析与预测一、时间序列变动的因素分析二、长期趋势的测定与预测三、季节变动的测定与预测四、循环变动的测定一、时间序列变动的因素分析1、长期趋势变动长期趋势变动是时间序列变动的基本形式。它是由各个时期普遍的、持续的、决定性的基本因素的作用，使各期发展水平沿着一个方向，上升或下降的趋势变动。2、季节变动季节变动是指按一定的时间间隔，由于季节性的更换以及社会、政治、经济等因素影响，引起现象周期重复的变化。3、循环变动循环变动是指现象发生周期比较长的涨落起伏的变动。通常所指的循环变动乃经济发展荣衰不绝相替之变动。它和季节变动不同，也不同于朝单一方向持续发展的长期趋势。4、不规则变动不规则变动是指现象除了受以上各种变动的影响之外，由于临时的、偶然的因素引起的非周期性或非趋势性的随机变动。不规则变动是无法预知的。动态趋势分析目的

四种因素间的关系：按四种因素对时间序列的影响方式不同，时间序列可分解为多种模型，如乘法模型、加法模型、混合模型等。其中最常用的是乘法模型和加法模型，其表现形式为：

乘法模型：（假定四个因素对现象发展的影响是相互的,并且T是绝对量，其余成分均为比率）

加法模型：（假定四个因素的影响是独立的，且各成分均用绝对量表示）

其中：

T---表示长期趋势成分；

S---表示季节变动成分；

C---表示循环变动成分；

I---表示不规则变动成分。二、长期趋势的测定与预测

测定长期趋势的主要方法有：移动平均法和最小二乘法。（一）移动平均法移动平均法是采用逐期递推移动的办法计算出一系列扩大时距的序时平均数，并以这一系列平均数作为对应时期的趋势值。

应用移动平均法分析长期趋势，有下列几点需要加以说明。1、凡采用奇数项移动求得的平均值，都对正相应时期的原值，一次即得趋势值。但若采用偶数项移动平均，还需要作移正平均。2、移动平均时所采用的扩大时距，应由时间序列的具体特点所决定。一般要求扩大的时距与周期变动的时距相吻合，或为它的倍数。就这一点而言，移动平均法是消除周期变动，从而较为准确地揭示现象发展的长期趋势的重要方法。3、移动平均后所得的新数列，较原数列项数为少。4、分析现象发展趋势的一个重要目的，是对现象的发展作出科学的预测，而移动平均法无法得出可供预测用的方程。（二）最小平方法它是测定长期趋势最普遍采用的方法。

最小平方法配合趋势线必须满足下列两点要求：第一，原数列的实际值与趋势线的趋势值的离差平方之和为最小，即：

第二，实际值与趋势值的离差之和为0，即：

显然，第一个条件是最基本的。因为符合这一条件的只有一条线，所以这条线又称原数列的最适线，它使趋势线同原数列取得最佳配合。最小二乘法既可用于线性方程的拟合，也可用于非线性方程的拟合。

如何判断时间序列所呈现出的形态呢？

1、直线趋势的测定

当时间序列逐期增长量大体相同时，趋势线近似于一条直线。

2、非线性趋势测定（１）抛物线型当时间序列各期水平的二次增量大体相同时，则趋势线近似一条抛物线。

（２）指数曲线型当时间序列各期的环比增长速度大致相同时，趋势线近似于一条指数曲线。三、季节变动的测定与预测（一）季节变动测定的目的

季节变动是指客观现象因受自然因素或社会因素影响，而形成的有规律的周期性变动。这里所谓的季节变动，不仅仅是一年四季的季节变动，而是泛指有规律的、按一定周期（年、季、月、周、日）重复出现的变化。季节变动会给社会经济生活带来某些影响。

测定的意义：主要在于认识规律、分析过去、预测未来。

测定的目的：1、掌握季节变动的周期、数量界限及其规律，以便预测未来，及时采取措施；

2、克服其对社会经济生活带来的不良影响，更好地组织生产和销售，提高经济效益和安排好人民生活。

39（二）季节变动的测定方法

主要方法是计算季节比率，以反映季节变动的程度。季节比率高为旺季，低则为淡季。季节比率的计算方法通常有两种按月（季）平均法趋势剔除法1、按月（季）平均法

分三步计算。

优点：计算简便，容易理解。但运用该法有基本假设，即原时间序列没有明显的长期趋势和循环变动，通过各年同月数据的平均，可以消除不规则变动，并且当平均的期间与循环周期基本一致时，也在一定程度上消除了循环变动。

缺点：若时间序列存在明显的长期趋势，会使季节比率的计算不准确。2、趋势剔除法若时间序列包含有明显的上升（下降）趋势或循环变动，为更准确的计算季节比率，就应当首先设法从数列中消除趋势因素，然后再用平均法消除不规则，从而较准确的分解出季节变动成分。

数列的长期趋势可用

移动平均法测定——移动平均趋势剔除法.

趋势方程拟合法——趋势剔除法。

假定时间序列各构成要素的关系是乘法模型，其结构为：

Y=T·C·S·I以移动平均法为例，确定季节比率的步骤如下：（1）对原数列通过12个月（或4个季度）的移动平均，消除季节变动S和不规则变动I，所得移动平均的结果只包含趋势变动T和循环变动C。

(2)将原数列各项数据除以所对应时期的移动平均数，即得消除趋势变动的数列。

T·S·C·I/T·C=S·I

（3）依据消除趋势变动的数列计算各年同月（或同季）的平均数，以消除不规则变动I；然后再分别除以总平均数，即得季节比率（亦称季节变动指数）s。

[例]根据下表资料，计算农业生产资料零售额的季节指数。

农业生产资料零售季节指数计算表（1）年/季销售额（万元）四项趋势值Y/T(%)Y移动平均值（移正平均）T1998/162。6——288。0——379。174。54106。12464。076。5683。591999/171。578。6590。91295。380。41118。51388。581。41108。71468。783。2082。572000/174。885。5687。422106。386。53122。85396。486。64111。27468。586。7478。97

续：年/季销售额(万元)Y

四项移动平均值趋势值Y/T(%)

（移正平均）T

2001/175。986。6187。632106。086。70122。26395。788。04108。70469。990。6577。112002/185。293。5591。022117。696。06122。423107。397。29110。29478。499。1479。082003/186。5101。8484。942131。1104。34125。653115。4——490。3——

农业生产资料零售季节指数计算表（2）

年份季度

1234合计

1998——106.1283.59—

199990.91118.51108.7182.57—200087.42122.85111.2778.97—200187.63122.26108.7077.11—200291.02122.42110.2979.08—200384.94125.65———

合计441.98611.70545.09401.332000.10

平均88.40122.34109.0280.27100.005

季节指数（%）88.39122.33109.0180.26100.00（三）季节变动的调整

测定季节变动的目的之一是将季节变动从时间序列中予以剔除，以便观察和分析时间序列的其他特征。消除季节变动的方法是将原数列除以相应的季节指数，即：

Y/S=T·S·C·I/S=T·C·I调整后的时间序列即消除了季节变动的影响。

[例]根据上表中的数据，对1998——2003年各季度的生产资料销售额作季节性调整，并将调整后的序列与原序列作比较。根据调整后的序列配合的趋势直线为：

Yc=69.89+1.493t

这样就可计算各季调整后的趋势值，见下表最后一列。

农业生产资料零售额的季节性调整年/季销售额（万元）Y季节指数（%）S调整后的销售额（万元）Y/S调整后的趋势值（万元）Yc

1998/162。688.3970.8271.38288。0122.3371.9372.88379。1109.0172。5674.37464。080.2679。7475.861999/171。5同上80。8977。36295。377。9078。85388。581。1880。34468。785。5981。832000/174。8同上84。6283。332106。386。8984。82396。488。4386。31468。585。3587。812001/175。9同上85。8789。302106。086。6590。79395。787。7992。2469。987。0993。782002/185。2同上96。3995。272117。696。1396。763107。398。4398。26478。497。6899。752003/186。5同上97。86101。242131。1107。17102。743115。4105.86104.23490。3112.51105.72四、循环变动分析（一）循环变动分析的目的

循环变动往往存在于一个较长的时期中，是一种从低到高，又从高到低周而复始的近乎规律性的变动。循环变动不同于季节变动，季节变动也有高低的交替变动，但有比较固定的规律性，且变动周期一般在一年以内。循环变动的规律不那么固定，周期通常在一年以上，且周期的长短、变动形态、波动的大小也不固定。例如，产品的生产通常有导入期、成长期、成熟期、衰退期、替代期等经济寿命周期；又如，由于受周期因素的影响，宏观经济的增长通常产生周期性波动。分析循环变动的主要目的是探索经济发展的规律性，为政府制定政策以及企业经营管理的预测和决策提供客观依据。

（二）循环变动的分析方法

由于循环变动通常隐匿在一个较长的变动中，且规律不固定，所以在时间序列的成分分析中，循环变动的测定比较困难。实际中常用:

剩余法—由美国经济统计学家、哈佛大学教授珀森斯在1919年提出。

直接法—由美国经济统计学家布伦博在1926年提出。

剩余法的基本思想：从时间序列中先分别消除长期趋势和季节变动——然后再通过平均消除不规则变动成分——剩余的变动则为循环变动结果。具体步骤：

1、先消除季节变动，求得无季节性资料。

无季节性资料=T·S·C·I/S=T·C·I2、将结果除以T，求得循环和不规则波动的相对数。

循环和不规则波动=T·C·I/T=C·I

3、将上述结果进行移动平均（MA），以消除不规则波动，即得循环波动值，通常用百分比表示。

C=MA(C·I)[例]根据前述资料，采用剩余法分析生产资料销售额的循环变动。本题第（6）栏是采用3期移动平均

农业生产资料零售额循环波动计算表年/季销售额（万元）季节指数无季节性趋势值循环波动及循环相对数

Y（%）

S资料Y/SYc

不规则波动（%）相对数C·I

（1）（2）（3）=（1）/（2）（4）（5）=（3）/（4）（6）

1998/162。688.39—288。0122.3398.27379。1109.01100.72464。080.26103.141999/171。5同上103.99295。3103.06388。5103.50468。7104.842000/174。8同上105.722106。3105.38396。4