第12章 动能定理

第12章动能定理本章学习要点力的功质点和质点系的动能动能定理功率与机械效率12.1力的功

12.1.1常力的功

如图所示，质点M在常力F的作用下，沿直线走过一段路程s。力F在这段路程内积累的效应用力的功来度量，用W表示，并定义为

式中，θ为力F与直线位移方向之间的夹角。如果路程用矢量s表示，则力F的功可以写成

12.1.2变力的功

如图所示，设质点M在变力F作用下，沿曲线从位置M1运动到位置M2，现求力F在路径M1M2上做的功。由于从M1运动到M2的过程中，力F的大小和方向在不断地变化着。因此，应将路程s分为无限多个微段ds。这样，微段路程ds可以近似地看作直线，且力F在无限位移dr中可视为常力，dr可视为沿M点的切线。

力F在此微小路径上所作的功称为元功，用δW表示，且有

质点M沿曲线由M1运动到M2的过程中，变力F作的功为

上式表明，变力在某一曲线运动上做的功，等于该力在运动方向的投影沿这段曲线路径的定积分。如果力始终与质点位移垂直，则该力不做功。

具体计算时，常采用其在直角坐标轴上的投影形式，即

12.1.3合力的功

如图所示，设质点同时受到几个力F1，F2，……，Fn的作用，它们的合力为FR，则合力的功为

上式表明，作用在物体上的各力在一段路程上所做的功，等于各力在同一段路程上所做的功的代数和。

重力的功

设重为G的质点M，沿曲线由位置M1运动到位置M2，M1与M2的高度差为h＝y1－y2，如图所示。则重力G所做的功为

上式表明，重力的功等于质点的重量与起止位置间高度差的乘积，而与质点的运动路径无关。

弹性力的功

设弹簧的原长为l0，一端固定，另一端与物体M相连，弹簧的刚性系数为k（N/m），如图所示。则当物体从位置M1运动到M2的过程中，弹簧力对物体所做的功为

上式表明，弹簧力的功等于弹簧始末位置变形量平方差与刚性系数乘积的一半。

摩擦力的功

由于质点受到的动滑动摩擦力F'＝μFN的方向总与质点运动方向相反，如图所示，所以摩擦力作功恒为负，且有

由于上式为曲线积分，因此动滑动摩擦力的功，不仅与起止位置有关，还与路径有关。

12.2质点和质点系的动能

12.2.1质点的动能

动能是度量物体机械运动强弱程度的物理量。研究表明，质点的动能等于它的质量m与速度v平方的乘积的一半，即质点的动能为

设质点系由n个质点组成，则质点系内各质点所具有动能的代数和就是质点系的动能，即

12.2.2质点系的动能

12.2.3刚体的动能

平动刚体的动能

刚体平动时，其上各点速度都与质心速度vC相同，故平动刚体的动能为

或

上式表明，平动刚体的动能等于刚体质量与其质心速度平方的乘积的一半。因此，平动刚体的动能与质量集中于质心的质点的动能相同。

定轴转动刚体的动能

设刚体以角速度ω绕固定轴z转动，刚体内第i个质点的质量为mi，到z轴的距离为ri，则该质点的速度为vi＝riω，于是刚体的动能为

或

上式表明，绕固定轴转动的刚体的动能，等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半。

平面运动刚体的动能

如图所示，刚体作平面运动时，可视为绕瞬时轴（通过速度瞬心P，并与运动平面垂直的轴）的转动，其动能表达式为

上式表明，平面运动刚体的动能等于随同质心平动的动能与绕通过质心的转轴转动的动能之和。

由质点运动方程的微分形式

12.3动能定理

12.3.1质点的动能定理

由于

方程两边同乘以dr，得

于是有

即

上式称为质点动能定理的微分形式，即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。对上式积分，可得

此为质点动能定理的积分形式，即质点动能在某一路程中的改变量，等于作用在质点上的力在同一路程上所做的功。

设质点系由n个质点组成，对每一个质点写出其动能定理的微分形式，即

12.3.2质点系的动能定理

即

这样的方程共有n个，将这n个方程相加可得

由于

于是

上式称为质点系动能定理的微分形式，即质点系动能的增量等于作用在质点上的所有力的元功之和。

对上式积分，可得

此为质点系动能定理的积分形式，即质点系动能在某一路程中的改变量，等于作用在质点系上的所有力在同一路程上所做的功之和。

例：如图所示为一桥式起重机，吊车吊着质量为m的重物A沿横向匀速运动，其速度为v，吊绳长度为l。由于紧急情况，吊车急刹车并导致重物绕悬挂点向前摆动。求最大摆角φmax。

解：以重物A为研究对象，对摆角从零到φmax的过程进行分析。重物A的受力图如题图所示。由于绳子的拉力始终垂直于重物的运动方向，故拉力不做功。重力做功为

重物A的始末动能分别为

由积分形式的动能定理

可解得

12.4功率与机械效率

力在单位时间内做的功称为功率。它是衡量机械力学性能的一项重要指标。

设作用于质点上的力为F，在dt时间内力F的元功为δW，质点速度为v，则功率P可表示为

上式表明，作用于质点上力的功率，等于力在速度方向上的投影与速度的乘积。如果用力矩或力偶矩计算功，则

若转速用n（r/min）表示，功率用P（kW）表示，力偶或力偶矩用M（N·m）表示，则上式可改写为

机器工作时必须输入一定的功，输入的功一部分为有用功，另一部分消耗在克服无用阻力上。以δW0表示驱动力输入的元功，以δW1和δW2表示工作阻力和无用阻力消耗的元功，则动能定理的微分形式可写为上式称为机器的功率方程

机器在稳定运转时的有