第一章 数值计算方法 绪论

中国石油大学（华东）理学院制作:刘新海数值计算与实验NumericalCalculationAndExperiment教材

(TextBook)

数值计算方法（第二版）

李维国、同登科主编

（中国石油大学出版社，2009年）参考书目

(Reference)

数值计算方法(上、下册)

林成森编著（科学出版社1998年）

Principleof

NumericalAnalysis

数值分析原理封建湖、车刚明、聂玉峰编著（科学出版社，2001年）

提问：数值计算方法是做什么用的？研究对象：数值问题——有限个输入数据（问题的自变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之间函数关系的一个明确无歧义的描述。如一阶微分方程初值问题求函数解析表达式数学问题求函数在某些点的近似函数值数值问题程序设计上机计算设计高效、可靠的数值方法数值问题求解近似结果输出重点讨论数值问题的来源：实际问题建立数学模型数值问题数值方法的设计原则收敛性：方法的可行性稳定性：初始数据等产生的误差对结果的影响便于编程实现：逻辑复杂度要小计算量要小：时间复杂度要小，运行时间要短存贮量要尽量小：空间复杂度要小可靠性分析计算复杂性误差估计：运算结果不能产生太大的偏差且能够控制误差§1

误差

/*Error*/一、误差的来源与分类

/*Source&Classification*/

1、从实际问题中抽象出数学模型

——模型误差

/*ModelingError*/

2、通过观测得到模型中某些参数（或物理量）的值

——观测误差

/*MeasurementError*/

3、数学模型与数值算法之间的误差求近似解

——方法误差

(截断误差

/*TruncationError*/)

4、由于机器字长有限，原始数据和计算过程会产生新的误差

——舍入误差

/*RoundoffError*/二、误差分析的基本概念

/*BasicConcepts*/

设为真值（精确值），为的一个近似值称为近似值的绝对误差，简称误差。注：误差可正可负，常常是无限位的绝对误差限/*accuracy*/——绝对值的上界如：绝对误差还不能完全表示近似值的好坏（绝对误差/*absoluteerror*/）近似值的误差与准确值的比值：称为近似值的相对误差，记作注：实际计算时，相对误差通常取因为（相对误差/*relativeerror*/）相对误差也可正可负（有效数字/*SignificantDigits*/）相对误差限——相对误差的绝对值的上界/*relativeaccuracy*/如：3位6位若近似值与准确值的误差绝对值不超过某一位的半个单位，该位到的第一位非零数字共有位，则称有位有效数字有效数字(另外一种定义形式)用科学计数法，记其中，若（即的截取按四舍五入规则），则称为有位有效数字，精确到。例1：问：有几位有效数字？请证明你的结论。证明：有位有效数字，精确到小数点后第位。43规格化形式注：（1）数字末尾的0不可随意省去！（2）若的每一位都是有效数字，则称是有效数特别，经“四舍五入”得到的数均为有效数

一个算法如果输入数据有扰动（即误差），而计算过程中舍入误差不增长,则称此算法是数值稳定的，否则此算法就称为不稳定的。（数值稳定性/*NumericalStability*/）

对数学问题本身如果输入数据有微小扰动，引起输出数据（即问题真解）的很大扰动，这就是病态问题。（病态问题/*ill-posedproblem*/）

它是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。

三、数值算法及稳定性

/*NumericalAlgorithmandStability*/此公式精确成立记为则初始误差Whathappened?!例2计算

公式一：考察第n步的误差我们有责任改变。造成这种情况的是不稳定的算法

/*unstablealgorithm*/迅速积累，误差快速递增。初始的小扰动

公式二：注意此公式与公式一在理论上等价。方法：先估计一个IN

,再反推要求的In(n<<N)。可取取考察反推一步的误差：以此类推，对n<N

有：误差逐步递减,这样的算法称为稳定的算法

/*stablealgorithm*/

在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性将会是一个非常重要的话题。例3：蝴蝶效应

——纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！纽约北京这是一个病态问题蝴蝶效应§2误差分析的方法和原则

/*ErrorAnalysis*/一、误差分析的方法1、向前误差分析法：利用误差限，随着计算过程逐步向前进行分析，直至估计出最后的结果。注：两个近似数，四则运算得到的误差限分别为（1）（2）对于函数y=f(x)，若用x*取代x，将对y产生什么影响？分析：e*(y)=f(x*)f(x)e*(x)=x*xMeanValueTheoremx*

与x非常接近时，可认为，则有：即：产生的误差经过作用后被放大/缩小了

倍。故称

为放大/缩小因子

/*amplificationfactor*/

或

绝对条件数

/*absoluteconditionnumber*/.相对误差条件数

/*relativeconditionnumber*/

f的条件数在某一点是小\大，则称

f在该点是好条件的

/*well-conditioned*/

\坏条件的

/*ill-conditioned*/。注：关于多元函数

可类似讨论，理论工具：Taylor公式(教材第7页)例4设,试求函数的相对误差限.解：由题设知:近似值为,绝对误差限为

2、向后误差分析法：把舍入误差的累积与导出的已知量的某种摄动（微小误差）等价起来，

即令利用摄动理论，由的界估计出最后的舍入误差界。3、区间分析法：把参加运算的数都看成区间量，根据区间运算规则求得最后结果的近似值和误差限。4、概率分析法：利用概率统计方法，将数据和运算中的舍入误差视为适合某种分布的随机变量，然后确定计算结果的误差分布。 二、几点注意事项

/*Remarks*/1、

避免相近二数相减例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效数字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效数字。

几种经验性避免方法：当|x|<<1时：2、

避免小分母:分母小会造成浮点溢出

/*overflow*/3、避免大数吃小数例：用单精度计算的根。精确解为算法1：利用求根公式在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1的指数部分须变为1010，则：1=0.00000000011010，取单精度时就成为：

109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大数吃小数算法2：先解出再利用注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1+2+3+…+40+1094、

先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。一般来说