第3章 随机误差

第3章随机误差作者：刘兆平部门：机电设备系主菜单结束3-1教学目标本章阐述随机误差产生的原因与特征，减小随机误差的途径。通过本章的学习，读者应会分析随机误差产生的原因以及减少随机误差的途径；掌握用算术平均值表示测量结果的最佳估计，并用实验标准差以及置信区间来表示该随机误差的大小。本章内容是从事精密测量工作所必须掌握的基本方法，也是学习后续章节的基础。

主菜单结束3-2随机误差产生的原因随机误差的本质特征算术平均值贝塞尔公式试验标准差测量结果的最佳估计置信区间教学重点和难点主菜单结束3-3第一节随机误差概述

本节介绍随机误差产生的原因，随机误差的本质特征以及减少随机误差的技术途径。主菜单结束4一、随机误差产生的原因举例：某台激光数字波面干涉仪，对其进行准确度考核，在相同测量条件下对某标准平晶的表面面形进行150次重复测量获得面形峰谷值数据。通过实验分析，查询有关的技术资料和其他信息，可知随机误差来源结论：对具体测量问题具体分析，从所用的设备、人员、测量方法等资源以及环境等要素中去分析寻找主要的随机误差来源。主菜单结束5150次的面形峰谷值数据0.1240.1200.1180.1190.1210.1250.1210.1230.1200.1180.1190.1170.1180.1210.1190.1180.1190.1190.1150.1200.1190.1190.1190.1160.1160.1180.1210.1200.1220.1220.1190.1210.1210.1240.1210.1180.1180.1190.1200.1180.1190.1220.1180.1190.1190.1170.1180.1180.1180.1200.1190.1180.1200.1240.1200.1180.1180.1190.1210.1230.1240.1230.1180.1190.1190.1200.1200.1190.1190.1180.1230.1210.1190.1180.1200.1200.1200.1190.1200.1230.1180.1210.1190.1210.1200.1230.1230.1210.1180.1190.1200.1210.1220.1190.1210.1220.1190.1200.1170.1250.1190.1270.1200.1240.1230.1230.1180.1190.1240.1220.1230.1240.1210.1230.1230.1210.1200.1210.1230.1270.1250.1210.1200.1240.1230.1230.1240.1230.1190.1210.1230.1290.1210.1200.1210.1240.1230.1210.1250.1190.1220.1270.1210.1200.1220.1210.1220.1230.1240.121主菜单结束6数据列表明，各次测值不尽相同，这说明各次测量中含有随机误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下一个数据的大小。但就数据整体而言，却明显具有某种统计规律，这个规律可以用统计直方图来表示。数据特点主菜单结束70.130.1140.1160.1180.120.1220.1240.1260.12801020304050

统计直方图统计直方图在对称性方面有一些偏离理想正态分布的情形。对于测量状态不完好的光电类测量仪器，特别是对传动机械部件磨损较严重而规律尚未掌握的仪器，其测量随机误差可能就呈现其他分布的特征。对于测量状态比较完好的光电类测量仪器，其随机误差的分布往往较好的呈现正态分布的特征主菜单结束8激光数字波面干涉仪的随机误差主要来源测量装置方面的因素

氦氖激光源辐射激光束的频率不够稳定造成激光波长的漂移

CCD光电探测器采集信号及其电信号处理电路造成干涉图像信号的随机噪声

离散化采样误差、各次装夹定位不一致

测量环境方面的因素

放置测量主机和被测试样的隔震台不能很好消除外界的低频震动

仪器所在实验室气流和温度的波动

空气尘埃的漂浮、稳压电源供电电压的微小波动

操作人员方面的因素

操作人员的装夹调整不当引起被采集的测量干涉图像质量低、条纹疏密不当

采集干涉图像的摄像头变焦倍数过小造成较大的离散化采样误差

主菜单结束9减小随机误差的技术途径

(1)测量前，找出并消除或减小其随机误差的物理源;(2)测量中，采用适当的技术措施，抑制和减小随机误差;(3)测量后，对采集的测量数据进行适当处理，抑制和减小随机误差。对防震台充气减震、关空调减少气流、开机对激光器预热等。

戴工作手套装夹工件，调整光路要尽量减少离焦、倾斜，并使干涉条纹疏密适当，人员尽量远离测量光路；必要的话，适当增加重复测量次数取算术平均值等

视需要，有针对性地对采集的测量干涉图进行预处理，如用低通滤波、平滑滤波等方法来消除中高频随机噪声，用高通滤波法则可以有效消除低频随机噪声。

主菜单结束10二、随机误差的本质特征主菜单结束3-11随机误差的表述

表述方法被测量的真值

一系列测量值，假设各次测量值中不含有系统误差

主菜单结束12当测量次数n充分大时，有以及抵偿性是各种随机误差所共有的本质特征。

随机误差的抵偿性主菜单结束13随机误差的随机性影响

对于任何的测量，其中的随机误差源客观存在，它造成对每次测量数据的不可预测的随机性影响

影响表现在该测量总体服从某种分布

误差大小可以通过标准差来估计

误差界限则可用置信区间表示

主菜单结束14含有随机误差的测量数据问题的处理方法

有条件获取较大样本数据的情形

可以做出实验统计直方图，定性定量地给出测量总体及其误差分布的判断，进而从中提取表示被测量大小的数字特征，并给出完整的测量结果

无条件获取大样本数据的情形

必须依据小样本的测量数据以及可能了解到的有关测量信息，合理给出代表测量总体的测量结果，包括其最佳估计值及其标准差、置信区间等

主菜单结束15

第二节

算术平均值

本节主要介绍算术平均值的意义以及如何计算算术平均值的标准差。主菜单结束16一、算术平均值的意义在等权测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，得到一系列测量值,常取算术平均值作为测量结果的最佳估计。主菜单结束17无限多次测量算术平均值作为真值的理论依据

若测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率论的大数定律知，算术平均值以概率为1趋近于真值因为根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有

主菜单结束18最佳估计的意义若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量，即满足无偏性、有效性、一致性满足最小二乘原理在正态分布条件下，满足最大似然原理该所有测量值对其算术平均值之差的平方和达到最小该测量事件发生的概率最大

主菜单结束19二、算术平均值的标准差适当增加测量次数取其算术平均值表示测量结果，是减小测量随机误差的一种常用方法。计算公式算术平均值的标准差单次测量标准差测量总体标准差

主菜单结束2010次算术平均值与单次测量的分布关系

两者的分布类型和峰值位置未发生变化，只是分散性不同。主菜单结束21

测量次数愈大时，也愈难保证测量条件的不变，从而带来新的误差。另外，增加测量次数，必与测量次数的关系

当一定时， 以后， 已减小得较缓慢。然会增加测量的工作量及其成本。因此一般情况下，取以内较为适宜。总之，要提高测量准确度，应选用适当准确度的测量仪器，选取适当的测量次数。主菜单结束22第三节实验标准差主菜单结束3-23实验标准差定义贝塞尔公式极差法最大误差法对于一组测量数据，用其标准差来表述这组数据的分散性如果这组数据是来自于某测量总体的一个样本，则该组数据的标准差是对该测量总体标准差的一个估计，称其为样本标准差，又称为实验标准差

主菜单结束24一、贝塞尔公式公式意义总体标准差的估计(实验样本标准差)计算公式是方差的无偏估计，但s并不是标准差的无偏估计为残余误差，简称残差。主菜单结束25

修正贝塞尔公式贝塞尔公式的修正因子２34567891015201.251.131.091.061.051.041.041.031.031.021.01值随减少明显偏离系数1在样本数较小的情形（如），为了提高对s估计的相对误差，最好用无偏修正的贝塞尔公式主菜单结束26标准差的相对误差

在n次测量服从正态分布且独立的条件下，有

适用的估计贝塞尔公式的相对误差的公式

估计标准差的相对误差，用百分数表示，该百分数愈小，表示估计的信赖程度愈高。主菜单结束27几种估计标准差的相对误差贝塞尔公式0.80修正贝塞尔公式0.60极差法0.76最大误差法0.750.51４1230.570.460.520.450.470.390.430.40５0.400.340.370.36６0.360.310.340.33７0.320.280.310.31８0.300.260.290.2990.280.250.270.28100.260.230.260.27200.170.160.200.23当样本数较小的情形（如），用贝塞尔公式估计的信赖程度已经开始低于极差法和最大误差法，应当改用修正的贝塞尔公式来估计标准差

主菜单结束28用某仪器测某物水份含量，测得50个数据如下（单位：水份百分比（％））3.4,2.9,4.6,3.9,3.5,2.8,3.4,4.0,3.1,3.7,3.5,3.1,2.5,4.4,3.7,3.2,3.8,3.2,3.7,3.2,3.6,3.0,3.3,4.0,3.4,3.0,4.3,3.8,3.8,3.6,3.4,2.7,3.5,3.6,3.6,3.3,3.7,3.5,4.1,3.1,3.7,3.2,3.9,4.2,3.5,2.9,3.9,3.6,3.4,3.3试评价该仪器的测量重复性及其相对标准差。【例3-1】【解】分别计算故该仪器的测量重复性为0.44,其估计相对误差为0.10。

主菜单结束29二、极差法对多次独立测得的数据，最大值，最小值当测量误差服从正态分布时，标准差的计算公式

估算时的相对误差

极差是测量总体标准差的无偏估计

主菜单结束30

极差法系数２1.130.7692.970.27163.530.2131.690.52103.080.26173.590.2142.060.43113.170.25183.640.2052.330.37123.260.24193.690.2062.530.34133.310.23203.740.2072.700.31143.410.2282.850.29153.470.22主菜单结束31三、最大误差法测量误差服从正态分布时，估计标准差的计算公式

估算时的相对误差

在已知被测量的真值的情形，多次独立测得的数据的真误差，其中的绝对值最大在只进行一次性实验中，是唯一可用的方法主菜单结束32最大残差法

在一般情况下，被测量的真值难以知道，无法应用最大误差法估计标准差

最大残余误差估计标准差

最大残差法不适用于n=1的情形

主菜单结束33最大误差法系数0.880.511.77４1230.750.451.020.680.400.83５0.640.360.74６0.610.330.68７0.580.310.64８0.560.290.61100.530.270.57200.460.230.251.250.75主菜单结束34

对某量测得数据7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9，试分别用贝塞尔公式、修正贝塞尔公式、极差法、最大误差法估计其测量标准差及其标准差的相对标准差。【例3-2】【解】(1)用贝塞尔公式估算查表，并插值计算

主菜单结束35(2)用修正贝塞尔公式估算查表，并插值计算

(3)用极差法估算查表，得故计算结果1主菜单结束36（4）用最大误差法估算真值未知，计算最大残差

查表，插值计算得

故计算结果2主菜单结束37

进行一次导弹发射实验，导弹着落点距靶心35，试求射击的标准差。【例3-3】【解】查表，得

故射击的标准差为

标准差的相对标准差本例测量一次的情形,唯有最大误差法可以估计其实验的标准差,由于样本数为1，故其估计的信赖程度只有25%。主菜单结束38第四节置信区间

本节介绍如何确定误差分布的区间性指标，即可用于表述误差界限的置信区间。在置信概率一定的情况下，置信区间还与误差分布的具体形态密切相关。本节对置信区间给出一般的数学描述，而且还要针对几种常见的误差分布进行具体讨论。由于测量误差分布与测量总体的分布之间对测量数据的描述方式上，只是相差一个常数值，故以下均按测量总体分布来描述。主菜单结束39置信区间的基本概念置信区间计算公式测量总体的概率密度

置信概率或置信水平,为显著水平

期望值

下半置信区间宽度，上半置信区间宽度

概率密度呈对称分布的情形，常取高置信水平下的置信区间半宽度又称为极限误差主菜单结束40置信区间半宽度的常用表示方法或或置信因子标准差

确定置信区间半宽度的关键是在已估计标准差下如何确定置信因子

主菜单结束41一、正态分布的置信区间主菜单结束3-421、总体标准差或大样本标准差已知的情形置信区间半宽度为置信因子由计算得到正态积分函数，可查表获得总体标准差已知总体标准差未知，但已知大样本标准差置信概率或置信水平(单次测量)(n次测量)(单次测量)(n次测量)主菜单结束432.03.02.580.990.010.9540.0461.960.950.051.6450.900.101.00.6830.3170.67450.50.50.99730.00273.300.9990.001一些常用置信因子对应的置信水平

主菜单结束442、小样本标准差已知的情形

置信区间半宽度为(单次测量)置信区间半宽度为(n次测量)自由度，为样本容量

自由度，为测量次数值可通过查分布表得到，为显著水平

主菜单结束453、没有标准差已知信息的情形

置信区间半宽度为主菜单结束46（1）大样本情形，估计置信区间的置信因子都用正态分布；小样本情形，则用t分布。（2）单次测量情形，估计置信区间的标准差都用单次测量的标准差；多次测量情形，则用算术平均值的标准差。总结主菜单结束47

用游标卡尺对某一试样尺寸测量10次，假定测量服从正态分布，并已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下（单位mm）：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08(1)求算术平均值及其标准差，并估计标准差的信赖程度；(2)求算术平均值的极限误差（=0.9973）。【例3-5】【解】(1)分别计算故该标准差估计的信赖程度为

。

主菜单结束48（2）先按小样本估计，查分布临界值表,

有再按大样本估计，查正态分布临界值表，

有综上所述：（1）算术平均值是处理等权测量数据的一个最佳估计量；（2）一般按贝塞尔公式计算和，样本数时只能用最大误差法计算；（3）算术平均值的极限误差一般按确定。计算结果主菜单结束49二、其他分布的置信区间

对称性分布

与处理正态分布置信区间的方法相仿，可以从概率密度函数直接计算该区间概率的方式得到,并用下式表示非对称性分布

将非对称分布折算为对称正态分布来处理，实质上是依分布于中点值表示，而折算到依均值表示。

或主菜单结束50非正态分布按正态分布折算估计范围分别依均值和中点值折算到正态