第4章 费率厘定

4.1基本术语危险（风险）单位危险（风险）单位(exposureunit)：风险进行度量的基本单位，不同的险种有不同的风险单位；承保（到期）危险(writtenexposures)：指一定时期内保险人已经签订了保险合同的风险单位数；承担危险(earnedexposures)：指各个相应时间内已经承担责任的危险单位数量；有效危险(in-forceexposures)：指在一个给定的时刻危险单位数量。生效日期(月/日/年)承保危险承担危险有效危险20002001200020011/1/20011/1/20001.000.001.000.000.004/1/20001.000.000.750.251.007/1/20001.000.000.500.501.0010/1/20001.000.000.250.751.00合计4.000.002.501.503.00索赔索赔(Claim)：是指保险事故发生后，索赔人(claimant)根据保险合同的条款提出的赔付要求。事故日期(Accidentdate)：引起索赔的事故发生日期。报告日期(reportdate)：保险人收到索赔通知的日期。报告延迟(reportinglag)：从发生到发现并报告所需要的时间导致的延迟。理算延迟(settlementlag)：在非寿险事故报告后，往往不能立即认定责任达成赔付协议，期间所需要的时间导致的延迟。结案延迟：对一次性赔付的案件来说，理算完毕即可结案。对多次定期赔付的案件来说，理算完毕和结案之间的延迟会很长。索赔频率索赔频率(frequency)：F为索赔频率；C为索赔总次数；E为危险单位总数2001年有5,750个车年的承担危险，并且有287个事故日期在2001年的索赔，那么索赔频率为多少？损失和损失调整费用损失(losses)：已付和应付给索赔人的数额。已付损失(paidlosses)：在一个特定时期实际已经支付给索赔人的损失。个案准备金(casereserve)：对每一个在预期的未来将有支付发生情形的索赔，未来支付数额的估计。已发生损失(case-incurredlosses)：某个事故年(accidentyear)所有已付损失和个案准备金的总和。最终损失(ultimateincurredlosses)：包括在计算已发生损失时还没有报告到保险公司的损失。事故年年龄(accidentyearage)：事故年年龄一般以月为单位。按惯例，到某事故年的最后一天,该事故年具有12个月的年龄。如在6/1/2001对事故年2000年已发生损失的评估被称为事故年2000年已发生损失在年龄18个月时的评估。损失调整费用(lossadjustmentexpense)分摊损失调整费用(allocatedlossadjustmentexpense)：与索赔直接相联系的损失调整费用。非分摊损失调整费用(unallocatedlossadjustmentexpense)：与索赔不直接相联系的损失调整费用。索赔强度：每个索赔的平均损失S为索赔强度；L为损失；C为索赔总次数。纯保费(purepremium)：每危险单位的平均损失P为纯保费；L为损失；E为危险单位总数。纯保费也可以表示为每危险单位的索赔频率与索赔强度的乘积：费率厘定的数据发生年度数据在一个日历年度内所有发生的损失事件的保单数据称为发生年度数据。报告由已付赔款和未付赔款准备金组成。例：发生年度数据发生年进展12243648607219942,116,135$3,128,695$3,543,445$3,707,375$3,854,220$3,928,80519952,315,9203,527,1973,992,8054,182,1334,338,765

19962,743,6574,051,9504,593,4724,797,194

19973,130,2624,589,4305,230,437

19983,625,4185,380,617

19993,919,522

保单年度数据在一个日历年度内所有签发的保单数据称为保单年度数据。

例：1999年的保单年度数据是指1999年签发的所有保单数据。平均事故日期若假设所有的签单日期和事故发生日期均匀分布，则1999年内签发保单的事故发生日期中点是12/31/1999子夜（或1/1/2000零点）

保单年度的数据由已付赔款和未付赔款准备金组成。

费用、利润与安全负荷厘定费率需要考虑的因素：纯保费(purepremium)可变费用(variableexpenses)：随保单价格的变化而变化的费用。固定费用(fixedexpenses)：和保单的价格无关的费用。利润为什么保费大于纯保费对于保险人从风险理论中可以知道,保费大于纯保费使保险人不至于破产。在实践中，保险公式的营业费用和合理的利润都要在收取的保费中加以考虑。对于投保人－效用角度假定某投保人拥有价值为100单位的财产，但这笔财产将面临某种损失，这一风险被表示为随机变量Y，Y是服从0到36之间均匀分布的随机变量。假设此人的效用函数为其中X是他的财富。问他应付出多大一笔保费G去全额投保这笔财产？解答：由随机损失的概率密度函数得到。保险人将收取大于18的保费如果投保人购买了保险，则他的财富是确定的，即100－G，效用为。如果他不购买保险，则他的财富是随机变量100－Y，那么他剩余财富的期望效用可以计算如下解答（续）投保人愿意支付的保费G应该使得不管他购买保险与否其剩余财富的期望效用值相等。因此，我们通过解得到G＝18.33。投保人购买保险最高愿意支付18.33，这超过了他的期望损失18。如果保险人收取的保费小于18.33。这个投保人就会购买该保险。费率厘定每个危险单位的费率:R为每危险单位的费率；P为纯保费；F为每个危险单位的固定费用；V为可变费用因子；Q为利润因子。因此有：RV为可变费用；RQ为利润。假设：纯保费为75.00，每个危险单位的固定费用为12.50，可变费用因子为17.5%，利润因子为5.00%，则费率为该费率的各個组成部分如下：纯保费为75.00，固定费用为12.50，可变费用为19.76，利润为5.64，总计为112.90保费(premium)上面的例子中，假设危险单位是一辆保险期为1年的商用汽车。如果某份保单有15辆商用汽车，则其保费为：112.90×15=1693.50承保保费(writtenpremium)、承担保费(earnedpremium)和有效保费(in-forcepremium)。如果上面所讨论的保单是从7/1/2000开始，承保时间为12个月，那么到12/31/2000为止，这份保单的上述几种保费如下所示：

2000日历年承保保费1693.502000日历年承担保费846.7512/31/2000有效保费1693.50损失率（赔付率）损失率(lossratio)是在保险损失分析中最广泛使用统计量中的一个。它等于损失除以保费。损失率可以基于纯损失而不包括各种损失调整费用，也可包括分摊的或总的损失调整费用。损失可以是已付的，已发生的，或者预测的最终损失。保费可以是承保或承担保费。费率厘定的目标供足够的资金去支付预期的损失和费用，并且能给投资者产生一个合理的回报提供足够的准备金，以应付突发事件和不利的偏差。费率一般要经过监管机构的审核。审核通常是基于这样一个监管标准，即类型和特性相似的风险，他们之间的费率不应该有不适当，过分，或不公平的差别。费率厘定系统费率厘定系统(ratingplan)：在为某个危险单位厘定费率时，综合所考虑的各种因素而形成的结构。其中的各个因素通常称为费率因子(ratingfactor)。没有被考虑对损失有影响的费率因子将导致的两种不同情况：当费率厘定系统没有考虑某个含有倾向于减少损失趋势有利特征的费率因子，厘定的费率太高了。如果没有考虑某个含有不利特征的费率因子，将导致使用过低的费率。费率因子的风险特征：主要影响索赔频率的特征和主要影响索赔强度的特征。4.2费率厘定过程费率厘定所根据的保费计算原理有许多。这里的方法是基于期望值原理的费率厘定的两个基本的方法：（1）纯保费法（2）损失率法（1）纯保费法纯保费法确定的费率预期能够满足期望损失与费用的需要，并提供预期的利润水平。

，这里的损失L除了保险公司已付和应付给索赔人的损失外，还要加上损失调整费用。(2)损失率法损失率法来源于纯保费法,纯保费法厘定费率为EF刚好是在经验期的总的固定费用,记G=EF/L,它表示经验期的总的固定费用与损失之比。令R0为当前费率，则ER0是经验期里总的承担保费,则令：经验损失率。目标损失率：公司希望得到的目标保费损失损失率法由下面的公式厘定费率：

：调整因子，经验损失率/目标损失率损失率法直接来源于纯保费法，它们只是表现的形式不同。损失率方法得到的公式

实际上给出了一个逐步改进的费率估计公式。（3）如何选择合适的方法纯保费法损失率法基于危险单位基于保费不需要当前费率需要当前费率不需要使用当前水平承担保费使用当前水平承担保费得到新费率得到新费率关于当前费率的比值纯保费法是建立在每个危险单位的损失基础上的，它需要严格定义的危险单位。若危险单位不知道或各危险单位间有差异，比如在火灾险的情形，则纯保费法不适用。因为损失率法得到的是当前费率的变化，所以它需要当前的费率和保费的历史记录。而新业务的费率厘定，我们只能利用相关公司或相关险种的损失数据，没有历史记录，那么只能使用纯保费法。损失率法不适用于新业务的费率厘定。当然，如果没有任何的统计数据可用，则这两种方法都不适用。损失率法需要的是当前水平承担保费，所以在当前水平承担保费难以计算时，纯保费法更为适用。在某些险种中，对保单需要进行个体风险的费率调整，此时就很难确定损失率法中需要的当前水平承担保费，在这种情况下若采用纯保费法更为合适。关于历史数据中的不同费率调整到一个统一费率的问题，下面会专门论述。注意事项（1）经验期的选择使用可以获得的最近期的损失经验数据，而同时这样的损失经验数据很可能比成熟期（指具有较多的已经结案的保单的经验期）包含了更高比例的未付损失，因此更有可能会在对损失进行预测时带来误差。当所涉及的业务会有灾害性的损失时，比如在易出现龙卷风地区的风暴险项目，经验期必须足够长，以致于能代表灾害的平均发生率。经验期必须包含足够的损失经验数据以使最后的结果具有统计的可信性。（2）再保险的影响费率的分析要基于再保险之前的保费和损失数据。当再保险的成本很大时，再保险费经常作为费用准备的一个独立的部分。（3）保险项目的差异一个保险业务中各个主要的保险项目应该分别处理。不仅各项目的经验损失数据要分开考察，而且保费和危险单位数据也要分离。（4）提高限额时的处理方法限额(Limit)：当索赔发生时，保险公司的赔付不超过限额。保险公司的赔付为Min(X,u)，费率为E[Min(X,u)]。在实践中，保险公司通常会对同样的标的提供不同的限额，供投保人选择。最低的限额叫基本限额(BasicLimit)，其他限额叫提高限额(IncreasedLimit)。责任险费率的厘定首先确定基本责任限额的费率，然后厘定出提高限额因子。更高的限额的费率等于基本限额费率乘以提高限额因子(IncreasedLimitFactor)。例如，某保险公司提供两种限额，u1和u2，u1<u2，u1称为基本限额，而u2称为提高限额，基本责任限额的费率为E[Min(X,u1)]，而提高限额的费率为E[Min(X,u2)]。若记提高限额因子为IFL，则有所以，若基础限额的费率为R1，则提高限额的费率为R2=R1×IFL。这些提高限额因子会随时间变化。另外，当通货膨胀影响购买力时，投保人一般会倾向于购买有更高限额的保险产品。在费率厘定过程中，应该将不同限额下的保费和损失调整到基本限额的基础上。(5)均衡保费均衡保费(On-levelPremium)：根据当前费率水平算得的保费称为均衡保费。危险扩展法（ExtensionofExposureTechnique）：如果时间和能力上允许，我们可以对每份保单都使用当前费率重新计算。(5)均衡保费平行四边形法：假定危险单位在经验期内均匀分布。假设考察的损失经验期包括2000年、2001年、2002年，并假定各个保单的保险期限为12个月，最后设费率增长情况如下：经验期的第一年（2000）的承担危险：有1997/7/1费率水平上承保的，有的是1999/7/1费率水平上承保的。生效1997/7/11999/7/12001/7/1费率增长（%）17.812.510若假设7/1/1997费率水平相对值为1.000，则7/1/1999费率水平相对值是1.125，7/1/2001费率水平的相对值为1.1251.100=1.2375。图4.2.1提供了一种平行四边形法下的数据表示。X—轴代表保单生效日，Y—轴表示承担危险比例。图4.2.1图4.2.2：对2000年的承担危险进行这种处理的结果。图4.2.22000年中分别在1.000和1.125相对水平上承保的承担危险的比例，如图4.2.3所示。图4.2.3根据平行四边形模型，2000的承担危险中的0.125（=0.5×0.5/2，即图4.2.3中A的面积）是在1/1/1999和7/1/1999之间承保的。它们的相对费率水平是1.000。而承担危险中的0.875(=1-0.125，即图4.2.3中B的面积)是在1.125的相对费率水平上承保的。2000年相对费率的平均水平为:（0.1251.000）+（0.8751.125）=1.1094。等费率因子（均衡保费因子，On-levelfactor）：1.2375/1.1094=1.1155对2001年和2002年重复上述方法计算，可得如下结果：日历年在相对水平下承担危险的比例等费率因子1.0001.1251.237520000.1250.8750.0001.115520010.0000.8750.1251.086420020.0000.1250.8751.0115各年的等费率因子分别乘以各日历年的承担保费就可近似得到当前等费率承担保费，即均衡保费日历年日历年承担保费当前费率因子均衡保费（近似）2000$1,926,9811.1155$2,149,5472001$2,299,8651.0864$2,498,5732002$2,562,9961.0115$2,592,470合计$6,789,842$7,240,5904.3最终损失的预测及其趋势分析4.3.1最终损失(L)的预测—损失进展法损失进展法：假设赔案发生之后，索赔以某种模式经历“未报告已报告未赔付赔付完毕”这一过程，并且这样的模式是平稳的,和赔案何时发生没有关系。流量三角形：将观测数据中的索赔次数或索赔损失都分别按事故年（或报告年，或其他原则）与事故年年龄（进展年）排列。损失进展的预测－流量三角形法步骤：（1）建立流量三角形；（2）计算同一个发生年的赔案相邻年龄进展因子；（3）选定相邻年的进展因子；（4）将各发生年的选定进展因子连乘得到最终进展因子;（5）将最终进展因子乘以最近一个评价日记录已发生的赔款可得到各发生年的最终索赔预测值。

（1）建立流量三角形事故年年龄(进展年)12(0)24(1)36(2)48(3)60(4)72(5)19971,8042,1732,3742,4162,4162,41619981,9352,3792,4242,5522,55219992,1032,3842,5142,64620002,1692,5802,72220012,3462,78320022,337表4.3.1流量三角形横向运动：表示同一个事故年发生的赔案已报告索赔次数的进展情况。流量三角形纵向运动：代表同一个事故年年龄的已报告索赔次数的变化情况。由左下至右上的对角线则代表了同一个会计年度末的记录。最下面的对角线代表最近一个会计年度末，即12/31/2002各个事故年的累积索赔次数的情况。12/31/2002各个事故年的累积索赔次数事故年年龄12243648607219972,41619982,55219992,64620002,72220012,78320022,337索赔次数流量三角形的一般形式：下表（表4.3.2）的事故年年龄以12个月，即以年为单位。Ni,j：发生在第i个事故年的赔案，事故年年龄j年底（即在第i+j–1年年底）累积已报告的索赔次数。年龄（j）事故年（i）12…k-1k1N1,1N1,2…N1,k-1N1,k2N2,1N2,2…N2,k-1k-1Nk-1,1Nk-1,2kNk,1最终损失的预测：填满表4.3.2的右下角的空白部分令nij表示发生在第i个事故年的赔案，事故年年龄j年间（即在第i+j–1年间）已报告的索赔次数，则有假设可以分离事故年以及事故年年龄对nij的影响，存在αi和βj，使得nij的均值为：E(nij)=αiβj。假设nij~Poisson(αiβj)，则从而有：流量三角形横向自左向右每一步增加的比例，

都仅和事故年年龄j有关，而和赔案发生在哪一年没有关系，即与事故年i没有关系。模式是平稳的：流量三角形横向自左向右增加的比例和赔案在哪一年发生没有关系。记为相邻年龄（j—（j+1））进展因子：在

时，我们有如果所有的进展因子

都被估计出来了，其估计分别为

（

），则我们取未来的索赔次数,的估计为相邻进展因子的估计：极大似然估计法似然函数和对数似然函数：对数似然函数对未知参数求偏导数：似然方程组：该似然方程组共有2k个方程，它们分别为求解上述方程组，得相邻年(j—(j+1))的进展因子的估计为*事故年年龄j+1列前k-j个数的和除以事故年年龄j+1列前k-j个数的和。（2）计算同一个发生年的赔案相邻年龄进展因子

接表4.3.1为例：将表4.3.1自第2列起的每一个数分别除以同一个事故年的前一个数。得到的比值称为同一个事故年的赔案相邻年龄进展因子。事故年12-2424-3636-4848-6060-7219971.20451.09251.01771.00001.000019981.22951.01891.05281.000019991.13361.05451.052520001.18951.055020011.1863估计1.18751.05441.04131.00001.0000（3）预测最终损失（索赔数）的值

最终年龄的进展因子的估计值：将相邻年龄进展因子的估计值连乘1-62-63-64-65-6进展因子1.30381.09791.04131.00001.0000例如，年龄（2—6）进展因子的估计值为1.0979=1.0544×1.0413×1×1（3）预测最终损失（索赔数）的值

最终损失（索赔）的预测值事故年事故年年龄相邻年龄进展因子至最终年龄进展因子12/31/2002已报告索赔最终索赔预测值199772—1.00002,4162,4161998601.00001.00002,5522,5521999481.00001.00002,6462,6462000361.04131.04132,7222,8342001241.05441.09792,7833,0552002121.18751.30382,3373,047表4.3.34.3.2趋势的识别新费率将什么时候开始实施？该费率预计将应用多长时间？在新费率实施之和，预计从何时开始将发生索赔？索赔经验中是否存在一定趋势？4.3.2趋势的识别表4.3.3最终索赔次数的预测值分别表示在1997、1998，…，2002年发生的损失。各事故年的索赔频率预测值=最终索赔次数的预测值/各年的承保危险索赔强度=损失/最终索赔次数的预测值如果这些预测值具有随时间（事故年）发展的趋势，那么根据此潜在的趋势可以预测未来事故年的损失。——有助于新费率的厘定。4.3.2趋势的识别分析基于2000事故年的损失数据新的费率在1/7/2003开始使用，假定新费率有效期为12个月（1/7/2003——6/30/2004），并且假定保险期限为一年。新费率保单的平均有效期从1/1/2004（1/7/2003承保的保单）到12/31/2004（31/6/2004承保的保单）。则新费率保单损失发生的中点是1/7/2004。基于2000事故年数据预测的最终损失仅代表了大约到1/7/2000（事故年中点）为止的损失，而根据新费率收的保费必须覆盖大约到1/7/2004为止的损失。如果损失数据有可识别的趋势，则那些趋势的影响一定会在从1/7/2000到1/7/2004的48个月中被反映出来。4.3.2趋势的识别1/1/200031/12/20001/7/2003新费率生效30/6/2004经验期31/6/20051/1/200412/31/2004经验期计算日期新费率生效日期期望有效期4.3.2趋势的识别4.3.2趋势的识别索赔强度的趋势变化显著影响费率厘定：索赔强度会随时间而增加（通货膨胀、诉讼费的增加以及医疗费用的上涨等）。索赔频率也会具有某种趋势。索赔频率和索赔强度的趋势常是分开分析的，但有时也宁可考察纯保费的变化趋势,即将索赔频率与索赔强度的影响结合起来考虑。例：考察下面事故年索赔强度的预测数据：

事故年19951996199719981999200020012002预测的索赔强度（元）3095327639961225144416471828其中x＝发生年－1994用下面曲线去拟合4.3.2趋势的识别延长x轴发现，尽管此三次多项式对观察数据拟合得非常好，但它并不是预测索赔强度趋势变化的合理的模型。4.3.2趋势的识别常用的两种模型：线性模型：指数模型：由于指数模型能表示成：故作变换

和

，从而得：几点注意索赔频率和索赔强度的趋势常是分开分析。模型的选择对线性模型来说，x每增加一个单位，预测值y将增加一个常量a。对指数模型来说，x每增加一个单位，预测值y将增加一个常数倍，预测值是它前面的一个预测值的ea－1倍。我们所预测的趋势化的最终索赔强度就是损失率法和纯保费法中经验损失。例：假设已知发生年1994－1999年的最终赔款损失、最终索赔数和风险单位数，如表3。假设新修订的保单费率将从2000年1月1日开始施行。请用趋势预测事故平均发生日期为2001年7月1日的最终赔款损失。发生年最终赔款损失最终索赔数承保风险单位19943,928,8052,41637,84619954,425,5402,55239,77119965,081,6682,64642,13519975,790,0942,84445,23119986,760,2073,06848,58319997,288,3513,06652,267首先我们对索赔强度进行趋势预测。采用一元线性回归方程，

x＝发生年－1993进行拟合，应用最小二乘法得到

a＝1455.13，b＝150.77，

从而得到各发生年的索赔强度的线性拟合值如下。发生年索赔强度索赔强度的线性拟合值19941,6261,605.9019951,7341,756.6819961,9211,907.4519972,0362,058.2219982,2032,208.9919992,3772,359.76表4对此回归方程进行显著性检验，F统计量的值829.26，大于1％的显著水平，说明方程整体显著。再将1999年的拟合值2359.91除以1998年的拟合值2209.1得到索赔强度的趋势因子为1.0683。

类似的，使用模型，x＝发生年－1993对索赔频率进行拟合得到索赔频率的趋势因子等于0.0605÷0.0613＝0.9869.将索赔强度和索赔频率的趋势因子相乘就得到相邻发生年的最终损失的趋势因子，表5给出了2001年最终损失的趋势化预测值。

发生年最终损失（元）平均事故日期索赔强度趋势因子索赔频率趋势因子2001年的趋势化最终损失（元）19975,790,0947/1/971.30250.94797,148,68019986,760,2077/1/981.21920.96067,917,30819997,288,3517/1/991.14130.97358,097,763例如，如果用1997年的最终损失预测得到2001年趋势化最终损失等于最后将1997、1998、1999年计算得到的预测值取平均即得2001年的趋势化最终损失的预测值。

4.4费用分析假设在过去一年里，某个险种的收入和支出的费用如下——损失率法承保保费11,540,000承担保费10,832,000已发生损失和分摊损失调整费用7,538,000非分摊损失调整费用484,000佣金1,731,000税收、执照及其他费用260,000其他承保费用(展业费用)646,000一般管理费用737,000总的损失和费用11,396,000当前正在使用的费率是否合适？目标损失率：T=(1-V-Q)/(1+G)V：与保费相关的费用因子V的计算方法：

佣金与承保保费的比1731/11540=0.1500

税收、执照费用与承保保费的比260/11540=0.0225

其他承保费用与承保保费的之比646/11540=0.0560

一般管理费用承担保费的之比737/10832=0.0680

与保费有关的费用因子合计V=0.2965G：与保费无关的费用与损失之比G=484/7538=0.0624Q：利润因子,利润因子为0目标损失率为：4.5利润与安全附加保险利润的来源：保险利润来源于承保利润和投资利润。费率中的利润分析：宏观环境的变化，保险公司比以往更加重视从财务分析其经营决策，从而下调了传统的5%的利润因子。风险因素:利润因子中的一部分是用来为不利偏差做准备的，称为风险附加。在费率厘定的过程中有两个不同类型的风险，被称为参数风险和过程风险。他们都可能产生不利偏差。参数风险是与参数的选择相联系的风险,这些参数用来构成费率厘定过程中使用的模型。过程风险是与对未来的随机事件，例如损失的预测相联系的风险。过程风险是客观存在着的。保费计算原理期望值原理方差原理

标准差原理

零效用原理R为保险公司的风险准备金P为承保随机风险S所要求的保费。U(.)为保险公司的效用函数4.6分类费率在为某个危险单位厘定费率时，我们必须考虑各种因素，甚至考虑该危险单位所在的区域位置。不同水平的因素和不同的地域位置，通常有不同的费率水平，这种情况称为费率分类。本节将说明费率中的两个基本问题，基础费率问题和其它类别的费率关于基础费率的相对程度的度量问题。4.6分类费率费率因子(ratingfactor)：对个体风险进行分类的特征。如汽车保险中被保险人的性别、年龄、驾龄和索赔经验等。风险因子(riskfactor)：对索赔频率或索赔强度有直接影响，但有时不易度量，通常用费率因子代替。如交通密度，可用保单持有人的地址或汽车的用途来代替。在一个风险体系中，各个类别的费率通常被表示为相对关系的形式，包括相加关系（假设基础类别费率为0）和相乘关系（假设基础类别费率为1）。4.6分类费率假设只有两个费率因子（AandB)，其中A有I个水平Ai(i=1,….,I),其对应的相对费率为；费率因子B有J个水平Bj(j=1,….,J)，其对应的相对费率分别表示为。对于风险类别，用表示该类别的风险单位数，用表示每个风险单位的损失，用表示每个风险单位的纯保费（期望损失），则乘法模型：加法模型：估计上述参数的方法：单项分类法、迭代法、广义线性模型。4.6.1单项分析法单项分析法(one-wayanalysis)：每次仅计算一个分类变量的不同水平所对应的相对费率。假设一组汽车保单根据车型和地区两个变量进行分类，每个类别的风险单位数和赔付率如表6-1。车型1车型2合计风险单位数赔付率风险单位数赔付率风险单位数赔付率地区A200040%800080%1000072%地区B800040%200080%1000048%合计1000040%1000080%2000060%表6-1应用单项分类法计算的相对费率分析：地区相对赔付率，以地区A为基础费率，则地区B的相对赔付率。车型相对赔付率，以车型1为基础费率，则车型2的相对赔付率为。车型1车型2地区A12地区B0.66671.3334表6-2单项分类法的应用1、赔付率法例1：假设汽车保险中使用两个分类变量，即车型和地区，其中车型分为A,B和C三个水平，地区分为甲和乙两个水平。根据车型进行分析：可获得数据为过去两年的已赚保费和最终赔款。有关数据见表6-3.车型A车型B车型C合计或平均（1）第一年的已赚保费750002500015000115000（2）第一年的费率1008060（3）第二年的已赚保费850002600024000135000（4）第二年的费率1209070（5）当前业务的已赚保费880002900027000144000（6）当前的费率1309080（7）当前费率水平下前两年的已赚保费（=（1）*（6）/（2）+（3）*(6)/(4))1895835412547428.57291136.9表6-3车型的相对费率单项分类法的应用（1）对过去两年的已赚保费按当前费率水平进行调整，计算当前费率水平下的已赚保费（表6-3的（7））和经验赔付率（表6-3的（10））（2）根据经验赔付率计算初步的费率调整系数，等于各车型的经验赔付率除以所有车型平均的经验赔付率。（3）计算经验数据的可信度（平方根原则计算，表6-3的（12）），并应用可信度对上述的调整系数进行修正（表6-3的（13）），例:对于车型B，初步调整系数表面费率应提高2.93%，但可信度为0.2171，因此经可信度修正后的提高幅度为0.2171*0.0293=0.64%，即可信度调整系数应为1.0064.单项分类法的应用（4）对可信调整系数进行平衡处理，以保证当前费率总水平保持不变（表6-3的（15）行）。（5）用平衡处理以后的可信调整系数乘以当前的相对费率（（16）行），再把车型A的相对费率调整为1，即可得到新的相对费率（（18）行）。同理，可以根据地区对该例进行分析，参加表6-4.经过调整后，各个风险类别的相对费率为表6-5：获得调整以后的相对费率后，即可计算各个风险类别的实际费率。例：如需将总平均保费水平上调5%，首先应用调整后的相对费率（表6-3，6-4中第（17）行）把基础类别的费率从当前的130调整为130*0.9984*1.038=134.7241，然后再上调5%为：134.7241*1.05=141.4603.其它类别的新费率可根据表6-5得到，如车型A在乙地区的费率为141.4603*1.0093=142.7759.单项分类法的应用车型A车型B车型C地区甲10.6980833050.615009585地区乙1.0093410550.704604140.620754424表6-5单项分类法的应用赔付率的应用步骤：预测经验期的最终赔款，并计算经验期在当前费率水平下的已赚保费。计算经验赔付率，等于最终赔款与当前费率水平下的已赚保费之比。计算初步的费率调整系数，等于各类别的经验赔付率除以总水平的经验赔付率。计算经验数据的可信度。用可信度对初步的费率调整系数进行修正。进行平衡处理，得到平衡后的调整系数。用平衡后的费率调整系数对当前的相对费率进行调整，得到新的相对费率。如果需要调整保费的总体水平，则只需要调整基础类别的费率水平即可。单项分类法的应用2、纯保费法赔付率法基于最终赔款与已赚保费之比计算相对费率，而纯保费法基于最终赔款与风险单位数之比计算相对率。基本风险单位数：保险公司承保的自然风险单位数（如车年数）乘以每个分类变量的相对费率。——消除业务构成的影响，从而为纯保费在同一个数量级上进行比较创造条件。赔付率法中，初步的调整系数是根据赔付率的相对大小确定的；纯保费法中，初步的调整系数是根据纯保费的相对大小确定的，纯保费是最终赔款与基本风险单位数的比率。单项分类法的应用表6-7和表6-8是用纯保费法对车型和地区的相对费率进行调整的结果。在纯保费法中，如果用第一次迭代求得的相对费率代替当前的相对费率，并重新计算基本风险单位数，则可获得有一个新的相对费率。不断重复上述过程，最终可得一个收敛的相对费率，与第一次迭代获得的结果相比这个相对费率将是一个更加精确的结果。如此不断交叉进行，初步的调整系数、可信调整系数和平衡后的可信调整系数都将接近于1——调整后的相对费率最终将收敛于一个确定值。单项分类法的应用纯保费法的应用过程：预测经验期的最终赔款，并计算经验期的基本风险单位数。计算经验纯保费，等于最终赔款与基本风险单位数之比。计算经验数据的可信度用可信度对初步的费率调整系数进行修正，得到可信调整系数用可信度对初步的费率调整系数进行修正，得到可信调整系数。进行平衡处理，得到平衡后的调整系数。用平衡后的费率调整系数对当前的相对费率进行调整，得到新的相对费率。如果需要调整保费的总体水平，则只需要调整基础类别的费率水平即可。4.6.2迭代法各个类别间的相对关系：相乘关系、相加关系相乘关系：假设一个基础类别的费率为1，其他类别的费率是基础类别的若干倍。——乘法模型相加关系：假设一个基础类别的费率为0，其他类别的费率在此基础上增加一定数量。——加法模型分类费率（相对费率）可以使得费率的表现形式更加简洁。如汽车保险的被保险人可以根据地区（10个水平）和车型（10个）分成100类，如果给每个类别厘定保费需要制定100各不同的费率，但通过基础费率和相对费率的形式，只需要确定一个基础费率和20各相对费率即可（2各费率因子，每个因子有10个水平，给每个水平确定一个相对费率），从而大大简化了费率的表现形式。4.6.2迭代法假设只有两个费率因子（分别用A和B表示)，其中费率因子A有I个水平Ai(i=1,2,.......,I)，其对应的相对费率分布表示为

；费率因子B有I个水平Bj(j=1,2,.......,J)，其对应的相对费率分布表示为

。

：风险类别

的风险单位数。

：每个风险单位的损失。

：每个风险单位的纯保费。乘法模型：加法模型：Majorissue：估计模型中的参数。4.6.2迭代法迭代法(iterationmethod)：最早由RobertBailey和LeRoySimon于1960年提出，当时被称作最小偏差法(minimumbiasmethod)，用于同时确定两个或两个以上分类变量的相对费率。这种方法后来有了各种变形和发展，形成了一类特定的分类费率厘定方法。这类方法的一个共同特点是通过迭代公式求解相对费率。确定迭代公式：平衡法（边际总和法）、最小二乘法、最小χ2法和极大似然法。4.6.2迭代法（1）边际总和法(marginaltotalmethod)：根据保费和赔款的边际总和相等的原则厘定相对费率的方法。也称为平衡法(balanceprinciplemethod)。

：各个类别的经验赔款各个类别的经验保费：各个类别的纯保费（期望赔款）：4.6.2迭代法（1）边际总和法(marginaltotalmethod)：（1）（2）由迭代公式（1）（2）估计参数的过程：令一个分类变量的初始值为1，如，并将其带入（2）求解。把得到的代入（1），可以求得一组新的。重复前面两步，如此不断循环直到收敛，便可得到参数的估计。（2）

最小χ2法最小χ2法在下述目标函数最小化的条件下估计相对费率：上述目标函数与χ2

统计量具有完全相同的形式。上式关于参数分别求偏导数，并令其等于零，即得：（3）

最小二乘法最小二乘法在下述目标函数最小化的条件下估计相对费率：使上述目标函数得到最小的参数估计为：（4）

极大似然法极大似然法的参数估计取决于具体的分布假设，因此没有一般形式的迭代公式。假设风险类别（i,j）的损失服从指数分布，均值为似然函数：求解得：4.6.3广义线性模型单项法：会产生较大偏差，且缺乏统计理论的支持。最小偏差法：比单项法有了很大进步，但仍然不能提供一个完整的统计分析框架。20世纪末开始，广义线性模型在分类费率厘定中的应用得到了迅速发展，在某些国家已经成为厘定分类费率的行业标准，尤其是在个人保险业务中，广义线性模型得到了精算师的广泛认可和接受。4.6.3广义线性模型（1）古典线性回归模型

：表示为其均值和一个随机变量之和，即古典线性回归模型的假设：4.6.3广义线性模型（1）古典线性回归模型假设汽车保险的风险分类系统包括两个变量：行驶区域和驾驶员性别。行驶区域取值为城市和乡村两个水平，驾驶员性别的取值为男和女两个水平。假设实际观察到的索赔次数如表4-21所示。城市乡村男40002500女20001000表4-21索赔次数的观察值4.6.3广义线性模型四个解释变量：男性、女性、城市、乡村，取值为1或0.古典线性回归模型：该模型存在线性关系：因此，可以删除一个变量，改写为：4.6.3广义线性模型将表4-21中的观测数据带入模型得：最小二乘法可得：索赔次数的拟合值：表4-22城市乡村男38752625女2125875（1）古典线性回归模型是建立在下列假设之上：因变量的每个观测值相互独立且服从正态分布解释变量的一个线性组合可以估计因变量的期望值精算应用中，上述假设很难得到满足：要求因变量服从正态分布且具有相同方差在很多情况下是不现实的.在保险实际中，因变量的取值通常是非负的。如果因变量是严格非负的，那么从直观上看，当因变量的均值趋于零时，其方差也应该趋于零。（因变量是均值的函数）古典线性模型中，假设解释变量通过加法关系对因变量产生影响，但在某些情况下，解释变量之间可能存在乘法关系。4.6.3广义线性模型（2）广义线性模型(Generalizedlinearmodels,GLM)简介GLM假设因变量来自指数分布族，其方差随着均值而变化，解释变量通过线性相加关系对因变量的期望值的某种变换产生影响。GLM的假设可以归纳如下：随机成分，即因变量或误差项的概率分布属于指数分布族。系统成分，即解释变量的线性组合表示为联结函数：

或4.6.3广义线性模型指数分布族：其概率密度函数可以表示为

为已知函数，且

大于零，且为联系函数，通常的形式为。

的二阶导数存在且大于零，且。

与参数无关。

：自然参数(naturalparameter)，与均值有关；

：离散参数(dispersionparameter)，与方差有关，其方差为常见的指数分布族：正态分布、泊松分布、二项分布、伽马分布、逆高斯分布。常见的联结函数：恒等：对数：倒数：Logit：非寿险精算中，常用的联结函数是对数函数、Logit函数和倒数函数。对数函数：

即认为解释变量对因变量的影响不是简单的线性相加关系，而是相乘关系。Logit函数：因变量的预测值落在0~1之间，适合续保率或新单签约率的拟合。倒数函数可以表示成一种比例关系：保险费通常表示为每年多少元，因此其倒数的含义就是美元的保险费可以承保多长时间。4.6.3广义线性模型（3）典型广义线性模型广义线性模型的应用中，可以根据保险数据的先验信息选择误差项的分布类型。如：如果因变量的方差为常数，可以选择正态分布；如果因变量的方差等于其均值，可以选择泊松分布；如果因变量的方差等于其均值的平方，可以选择伽马分布；如果因变量的方差等于其均值的三次方，可以选择逆高斯分布。4.6.3广义线性模型非寿险费率厘定中，通常需要估计索赔次数、索赔频率、索赔强度和续保率等，根据这些数据的特征，各类典型的广义线性模型分别是：估计索赔次数或索赔频率时，典型的广义线性模型是泊松乘法模型，即使用对数联结函数和泊松分布的误差项。估计索赔强度时，典型的广义线性模型是伽马乘法模型，即使用对数联结函数和伽马分布的误差项。估计续保费率和新业务转换率时，典型的广义线性模型是Logistic模型，即采用Logit联结函数和二项分布的误差项。例：假设汽车保险的索赔次数观测值如下表，下面用广义线性模型拟合各个类别的期望索赔次数。城市乡村男40002500女20001000本例中，给类别的索赔次数观测值可以表示为：本例有四个解释变量，与前述的古典线性回归模型一样，去掉一个参数，则各个类别的期望索赔次数为：本例的设计矩阵为：选用对数联结函数，则各个类别的期望索赔次数（泊松分布参数）为：参数为泊松随机变量发生次索赔的概率为：对数似然函数为：将各均值代入上式可得本例的似然函数，最大化似然函数便可得到本例的参数估计。参数估计值：索赔次数的拟合值为：城市乡村男4105.22394.7女1894.71105.2混合泊松回归与索赔频率预测非负离散非常数方差方差>均值：过离散（over-dispersion）大量保单没有索赔发生：零膨胀（zero-inflation）分层（组内相关）索赔频率数据的特点索赔频率预测模型传统的线性回归模型最小偏差模型（minimumbiasprocedure)广义线性模型及其推广泊松回归模型过离散回归模型零膨胀回归模型分层（多层）回归模型传统线性回归模型的问题：正态，同方差。索赔频率：非负，离散，均值越大，方差越大。最小偏差模型的问题：统计检验广义线性模型：解决上述问题泊松分布：方差等于均值实际索赔次数：方差大于均值（过离散）风险防范意识增强，大多数保单不会发生事故；应用了免赔额或无赔款折扣等条款，许多被保险人在发生轻微事故时不会提出索赔；个别被保险人的风险太大，远远高于总体平均水平。问题：低估标准误，高估显著性水平，保留多余的解释变量，最终导致不合理的费率厘定结果泊松回归模型假设泊松分布的概率函数为结构函数为混合泊松分布的概率函数可以表示为混合泊松回归:假设Yi服从混合泊松分布过离散：混合泊松回归模型结构函数与混合泊松分布：伽玛结构——负二项分布逆高斯结构——泊松-逆高斯分布对数正态结构——泊松-对数正态分布。广义泊松分布：结构函数没有显式表达（JoeandZhu,2005）。结构函数的尾部越厚，混合泊松分布的尾部将会越长：泊松-对数正态

》泊松-逆高斯》负二项双泊松分布：方差可以大于均值。负二项回归模型:索赔频率预测模型的比较泊松-逆高斯回归模型：泊松-对数正态回归模型：广义泊松回归模型：双泊松回归模型：

当q

在区间（0，1）之间变化时，q越小，双泊松的过离散程度越严重。当q

1时，双泊松分布退化为泊松分布。实际应用序号费率因子因子水平1保单类型（Coveragetype）综合险（Comprehensive）非综合险(Non-comprehensive)2驾驶员性别（Driver'sgender）男性（Male）女性（Female）3车辆用途（Vehicleuse）个人（Private）商业（Business）4车辆品牌和年限（VehiclemakeandVehicleyear）国产，0-1年（Local，0-1year）国产，2-3年（Local，2-3year）国产，4-5年（Local，4-5year）国产，6年以上（Local，6+year）进口，0-1年（Foreign，0-1year）进口，2-3年（Foreign，2-3year）进口，4-5年（Foreign，4-5year）进口，6年以上（Foreign，6+year）5行驶区域（Location）其他地区（Otherplace）北部（North）东部（East）东马来西亚（EastMalaysia）

费率因子及其水平

回归模型的参数估计值

参数因子水平泊松回归负二项回归泊松