第4章 动能和势

§4.1能量—又一个守恒量第四章动能和势§4.1能量—又一个守恒量第四章动能和势能量概念发展史简介(1)伽利略对摆的论证——为后人认识机械能守恒开辟一途径.(2)莱布尼兹提出的物体运动的量与物体速度平方成正比被科里奥利称为“活力”.(3)英国物理学家杨（T.Young）(在光的干涉方面作出贡献)将mv2/2称作能量.(4)热学中永动机不可能实现的确认和各种物理现象之间的普遍联系的发现，导致了能量守恒定律的最终确立.(5)能量守恒定律的发现最重要的贡献者当推迈耶（M.Meyer）、焦耳（J.P.Joule）和亥姆霍兹（H.von.helmholtz）三位伟大的科学家.(6)能量守恒是自然界的基本规律.自然界的一切过程都必须满足能量守恒，但满足能量守恒定律的过程不一定都能实现.(7)经典物理认为物体的能量是连续值.量子物理中物体的能量是不连续的.

(8)在相对论中,将学到能量和质量是等价的E=mc2

称质能关系.§4.2力的功·用线积分表示功§4.2.1力的元功和功率§4.2.2利用不同坐标系表示元功§4.2.3力在有限路径上的功§4.2力的功·用线积分表示功§4.2.1力的元功和功率1.恒力的功功——力对空间的积累作用.

若即合力所做的功等于各分力所做功的代数和.在SI中功的单位为焦耳量纲2.变力的功m力在元位移上的元功.3.功率平均功率瞬时功率功率——力在单位时间内所做的功.额定功率——最大输出功率.量纲：若力沿直线位移做功，令x轴与位移重合，则有1.平面直角坐标系§4.2.2利用不同坐标系表示元功xyxyr0r1Os0s12.平面自然坐标OA(r,)

3.平面极坐标§4.2.3力在有限路径上的功xyxyr0r1质点r0

r1

质点受n个力共同作用时合力(1)功是标量,但有正负,与力和位移的夹角有关.(2)功是力对空间的积累,是过程量,与路径有关.说明xOxOxab[例题1]弹簧一端固定，另一端与质点相连.弹簧劲度系数为k求质点由x0运动至x1时弹簧弹性力所做的功.Ox

坐标系原点位于弹簧自由伸展时质点所在位置.[解]弹性力x0

x1为任意起始位置，与路径无关.[例题2]马拉雪橇水平前进，自起点

A

沿某一长为L

的曲线路径拉至终点B.雪橇与雪地间的正压力为FN

，摩擦因数为

.求摩擦力的功.[解]沿雪橇轨迹取自然坐标，雪橇前进方向为自然坐标增加的方向摩擦力的功摩擦力的功与路径有关.OA(r,)

[例题3]

从10m深的井中把10kg的水匀速上提,若每升高1m漏去0.2kg的水.(1)画出示意图,设置坐标轴后,写出力所做元功的表达式.(2)计算把水从井下匀速提到井口外力所做的功.[解](1)建立坐标并作示意图如右,(2)§4.3质点和质点系动能定理§4.3.1质点的动能定理§4.3.2质点系内力的功§4.3.3质点系的动能定理ab§4.3质点和质点系动能定理§4.3.1质点的动能定理物体在合力作用下,由ab1.质点的动能定理定义单位和量纲与功同.——物体的动能即：合力对质点所做的功等于质点动能的增量，是动力学基本定理之一.——动能定理则：或：(2)Ek是状态量Ek,A>0;Ek,A<0，

动能是物体因具有速度而具有的作功的本领

与过程无关.而功与过程有关.(3)动能定理只适用于惯性系.(1)质点的动能定理中的功永远是合力的功.2.说明:(4)动能定理对于物体运动所能提供的信息比牛顿运动定律少.[例题1]如图,物块质量m置于粗糙水平面上,用橡皮绳系于墙上,橡皮绳原长a，拉伸时相当于劲度系数为k的弹簧,现将物块向后拉伸至橡皮绳长为b后再由静止释放.求物块击墙的速度.物块与水平面间的摩擦系数为..[解]弹力只存在于ba过程，摩擦力始终存在，由动能定理有：(

v0=0)Oxxabm§4.3.2质点系内力的功以两质点系m1

和m2

为例Oxyz一对内力元功之和：质点2相对质点1的元位移1.内力的功(1)内力的总功一般不为零.F只与1、2质点相对距离变化有关，而二质点距离变化与参照系的选择无关.(2)内力的总功与参考系无关(3)一对内力所做的功,只决定于两质点的相对路径.对非惯性系同样成立.2.说明§4.3.3质点系的动能定理n个质点组成的系统，对第i个质点用动能定理即：所有外力对质点系做的功和内力对质点系作的功之和等于质点系总动能的增加——质点系动能定理.n个质点省去脚标i[例题2]如图，质量为m0的卡车载一质量为m的木箱，以速率v

沿水平路面行驶.因故突然刹车，车轮立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在卡车上相对于卡车滑行了l

距离.卡车滑行了L距离.求L和l.已知木箱与卡车间的摩擦系数为

1,卡车与地面的动摩擦因数为

2.lL[解]1.用质点动能定理求解受力分析如图，只有力,和做功根据质点动能定理得2.用质点系运动定理求解视卡车与木箱为一质点系按质点系运动定理，有(2)(3)联立得与上法相同结果.§4.4保守力与非保守力·势能§4.4.1力场§4.4.2保守力与非保守力§4.4.3势能§4.4.4势能是物体相对位置的函数§4.4保守力与非保守力·势能§4.4.1力场均匀力场中场力的分布场力——质点所受到的力仅与质点的位置有关.力场——存在场力的空间.有心力——质点所受作用力的作用线总通过某一点的力.该点称力心.正点电荷周围引入另一正点电荷受到的场力.OA弹簧固定于O点，运动质点A受到的弹性场力；蓝色点处表示弹性力为零.§4.4.2保守力与非保守力1.几种力的功(1)重力的功在重力作用下,质点m经任一路径由a到babxy质点由r0

运动至r

时弹力做功

r0,r为任意起始位置，与路径无关.弹力(2)弹力的功l——弹簧原长(3)静电场力的功在静电荷q0电场中，电荷q自r0处运动至r处静电力之功为

共同特点：力所作的功与路径无关，仅与始末位置有关.保守力——做功与路径无关,只与相互作用的相对位置有关的力.2.保守力与非保守力数学式即：力沿闭合路径的功等于零.非保守力——力所做的功与质点所经路径有关.§4.4.3势能功是能量变化的量度.定义势能——是物体相对位置的函数.用Ep表示，势能的减少等于保守力的功，或势能的增加等于保守力的负功.即保守力做功与路径无关,只与相互作用的相对位置有关.1.势能定义(1)只有保守力才能引进势能的概念.(2)势能的定义是其差值.若选Ep0=0终点(3)势能与零点选择有关2.几点说明但势能增量对静电能常取Ep()=0(4)势能属于保守力相互作用着的整个系统，是一种相互作用能.弹簧弹性势能，取原长处Ep=0，(5)保守力与势能的微分关系又§4.4.4势能是物体相对位置的函数若一个系统中的所有非保守力都不做功，该系统就被称为保守系.势能是保守体系与相对位置相联系的的做功本领.多质点体系中,各质点在空间由初始位置分布形变到末了位置分布的过程中,体系势能的减少等于体系内所有保守内力所做的总功.总功与路径无关,只与始末质点位置分布有关,总功一定时,势能差一定.[例题]质点在力的作用下由位置运动到,经过的路程为s,

如果力函数分别为,其中k为常数,

分别是沿矢径和速度方向的单位矢量(1)分别求两种力在该过程所做的功.(2)说明哪个是保守力.[解]abO保守力非保守力§4.4保守力与非保守力·势能§4.4.1力场§4.4.2保守力与非保守力§4.4.3势能§4.4.4势能是物体相对位置的函数§4.4保守力与非保守力·势能§4.4.1力场均匀力场中场力的分布场力——质点所受到的力仅与质点的位置有关.力场——存在场力的空间.有心力——质点所受作用力的作用线总通过某一点的力.该点称力心.正点电荷周围引入另一正点电荷受到的场力.OA弹簧固定于O点，运动质点A受到的弹性场力；蓝色点处表示弹性力为零.§4.4.2保守力与非保守力1.几种力的功(1)重力的功在重力作用下,质点m经任一路径由a到babxy质点由r0

运动至r

时弹力做功

r0,r为任意起始位置，与路径无关.弹力(2)弹力的功l——弹簧原长(3)静电场力的功在静电荷q0电场中，电荷q自r0处运动至r处静电力之功为

共同特点：力所作的功与路径无关，仅与始末位置有关.保守力——做功与路径无关,只与相互作用的相对位置有关的力.2.保守力与非保守力数学式即：力沿闭合路径的功等于零.非保守力——力所做的功与质点所经路径有关.§4.4.3势能功是能量变化的量度.定义势能——是物体相对位置的函数.用Ep表示，势能的减少等于保守力的功，或势能的增加等于保守力的负功.即保守力做功与路径无关,只与相互作用的相对位置有关.1.势能定义(1)只有保守力才能引进势能的概念.(2)势能的定义是其差值.若选Ep0=0终点(3)势能与零点选择有关2.几点说明但势能增量对静电能常取Ep()=0(4)势能属于保守力相互作用着的整个系统，是一种相互作用能.弹簧弹性势能，取原长处Ep=0，(5)保守力与势能的微分关系又§4.4.4势能是物体相对位置的函数若一个系统中的所有非保守力都不做功，该系统就被称为保守系.势能是保守体系与相对位置相联系的的做功本领.多质点体系中,各质点在空间由初始位置分布形变到末了位置分布的过程中,体系势能的减少等于体系内所有保守内力所做的总功.总功与路径无关,只与始末质点位置分布有关,总功一定时,势能差一定.[例题]质点在力的作用下由位置运动到,经过的路程为s,

如果力函数分别为,其中k为常数,

分别是沿矢径和速度方向的单位矢量(1)分别求两种力在该过程所做的功.(2)说明哪个是保守力.[解]abO保守力非保守力§4.5保守力与非保守力·势能§4.5.1质点系功能原理§4.5.2质点系的机械能守恒定律§4.5保守力与非保守力·势能§4.5.1质点系功能原理质点系的动能定理一般机械能外力的功和非保守内力的功之和等于体系机械能的增量——功能原理§4.5.2质点系的机械能守恒定律1.当A外=0时，若

A内非

>0，则

E

增加.例如爆炸.是其它形式的能量（化学能、生物能）向机械能的转化.2.当A外=0时，若

A内非

<0，则

E减少,力为耗散力.机械能向其它形式能量转换.功能原理3.若A外+

A内非保

=0

即体系只有保守力作功——机械能守恒定律(3)传递和转换是通过保守内力作功来完成的.(1)动能的增量等于势能的减少量.(2)动能与势能可以相互转换.——机械能守恒定律的条件或[例题1]一轻弹簧与质量为和的两个物体相联结，如图所示.至少用多大的力向下压才能在此力撤除后弹簧把下面的物体带离地面？（弹簧质量不计.）m1m2m1m2m2m1y1y2y3Oy

m1m2[解]受力分析如图m2刚能被提起的条件为即(1)m1平衡时即(2)将坐标原点视作弹性势能和重力势能的零点(3)联立求得[例题2]制作半导体时，需向单晶硅或其它晶体中搀入杂质.单晶硅内的原子是规则排列的.在两层原子间有一定间隙，形成沟道.假设注入的杂质是硼的正离子.若硼离子能沿沟道射入晶体内，就叫沟道离子.射入的离子不可能与沟道的纵轴完全平行.若偏离一定角度.例如，如图(a)那样进入沟道时向上偏转，则离子将受到原子层原子核向下的斥力.这时斥力做负功，使离子一部分动能转化为电磁能.一旦离子失去向上运动的速度，便在斥力作用下朝反方向偏离；同样道理，当离子接近下面原子核时，又在斥力作用下向上偏转.于是入射离子在沟道内沿曲线前进.显然，入射角越大，上下摆动的幅度越大.不难判断，对于一定能量的离子，存在一个临界角，一旦入射角大于，入射离子将冲出沟道，不能成为沟道离子.计算时常用下述方法处理：如图(a)在离原子层一定距离处各划一条平行于原子层的虚线，在两条虚线范围内的空间，可以认为电磁场沿沟道轴线方向上的分布是均匀的.已知入射硼离子的能量为，离子接近上下晶面的最大电磁能为，求临界角.(a)(b)Oxy[解]选坐标系如图(b)所示。离子受到的斥力与x轴垂直离子入射总动能不变,将逐步转变为电磁能.得故即临界角为2.4°.即将代入§4.6对心碰撞§4.6.1关于对心碰撞的基本公式§4.6.2完全弹性碰撞·查德威克发现中子§4.6.3完全非弹性碰撞§4.6.3非完全弹性碰撞§4.6对心碰撞碰撞——两个或两个以上物体相遇(相互接近),在极短的时间内发生较强的相互作用.F外

<<F内,相碰撞物体可视为系统.可用动量守恒.定义正碰(对心碰撞)——碰前速度沿两球中心连线，碰后冲力及两球速度也沿这一直线,所以正碰的矢量问题简化为标量问题.种类接触碰撞——两个物体直接接触.接触前后没有相互作用,接触时相互作用极为强烈,接触时间极短.非接触碰撞——两个物体没有直接接触.接触前、“中”、后均有相互作用如：微观粒子间的散射.

设两球碰前速度v10v20,碰后v1v2,以球心连线为坐标轴,以v10的正方向为轴的正方向.则定义恢复系数

恢复系数由实验测得.只与两物体质料有关.§4.6.1关于对心碰撞的基本公式联立得形变为弹性形变，无机械能损失tOvv10v20v1v2FtOF12F21§4.6.2完全弹性碰撞·查德威克发现中子1.完全弹性碰撞（e=1）

(或用

)两球碰后交换速度.(1)m1=m2即大球几乎以原速继续前进,而小球以两倍于大球的速率前进.

(2)m1<<m2，且v20=0(m2静止)小球以相等的速率返回.

(3)m1>>m2，且v20=0(m2静止)动画演示2.查德威克发现中子1932年，查德威克用碰撞法测量了中子的质量.放射性钋源粒子铍靶中子石蜡质子检测器关于发现中子实验的示意图中子——中性粒子,中子质量为质子的1.005~1.008倍.测得碰后质子令中子以速率v0分别与质子和氮核碰撞，碰前质子和氮核静止.中子与它们碰后的速率分别为v1和v2求中子质量m.氮核对中子质子质点系对中子氮原子质点系现代精确测量表明,m=1.01mp

已知mN=14mp[例题1]用m1

表示中子质量,m2表示某原子核质量,求：(1)中子与静止的原子核发生对心的完全弹性碰撞后，中子动能损失的比率；(2)铅、碳和氢的原子核质量分别为中子质量的206倍、12倍和1倍，求中子与它们发生对心的完全碰撞后动能损失的比率.[解]把中子及铅、碳和氢的原子核都视作质点.1.用v10

和v1

表示中子碰撞前后的速度，则动能损失的比率为：而2.求中子和铅、碳和氢原子核碰撞能量损失的比率对于铅，对于碳，对于氢，即中子与氢碰撞时能量损失最多.§4.6.3完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞——两物体碰后不再分开.打铁时，要求Ek大.即要求m2>>m1

即汽锤的质量m1

应远小于锻件（包括铁砧）质量m2.打桩时,要求Ek0,即m1>>m2.0.51.0210m1/m2468即[例题2]冲击摆可用于测子弹速率.长度为l的线绳悬挂质量为m的木块，子弹质量为m0，沿水平方向射入木块，子弹最后嵌在木块内一定位置，且测得木块摆过角度，求子弹射入的速率v.lmm0(a)(c)(b)Ox（1）第一阶段：木块与子弹发生完全非弹性碰撞.在碰撞瞬间绳的拉力在水平方向的分力，远小于子弹与木块相互内力，水平方向动量近似守恒.取Ox为水平轴,用表示木块与子弹共同运动的初速度，有（2）第二阶段：摆动过程机械能守恒.根据[解]子弹自接触木块至最高点全过程分为二个阶段非完全弹性碰撞(0<e<1)——小球碰撞后彼此分开，而机械能又有一定损失的碰撞.§4.6.3非完全弹性碰撞[例题3]

如图所示，将一种材料制成小球，另一种材料制成平板，并水平放置。令小球从一定高度H自由下落，测得其反跳高度为h。试求这两种材料之间的恢复系数e.[解]质量为m1的小球与平板相撞，可看成是与质