第12章 压杆稳定的进一步研究

第十二章压杆稳定的进一步研究*§12-1具有初曲率的压杆和偏心压杆§12-2杆的纵横弯曲§12-3能量法求临界力§12-4压杆稳定问题有限差分解法§12-5其它弹性稳定问题简介小结ly11．推导具有初曲率两端铰支受压杆的挠曲线方程§12-1具有初曲率的压杆和偏心压杆一、具有初曲率的压杆1)设压件在最小抗弯刚度方向的微小初挠度为2)推导FFyxy0代入边界条件yx0Fy0+y1FM(x)=F(y0+y1)a0——最大初挠度挠曲线微分方程为微分方程的通解为2．讨论3)挠曲线方程为在初曲率很小的情况下，临界载荷可近似使用理想压杆的值。1．推导两端铰支偏心压杆的挠曲线方程二、偏心受压杆1)设压力的偏心为e§12-1具有初曲率的压杆和偏心压杆通解为：代入边界条件：2)推导得到挠曲线方程最大挠度为lexyl/2dxy挠曲线近似微分方程FF§12-1具有初曲率的压杆和偏心压杆2．最大弯矩和最大压应力均在杆中点2)若压件的抗弯刚度相当大，可以使用组合变形的叠加法近似求解，否则用上式。1)3．不同偏心距下的F—d曲线1)给定偏心距e1>e2>e3，作F—d曲线§12-1具有初曲率的压杆和偏心压杆1．具有初曲率或偏心受压杆的承载能力低于中心受压直杆，且初曲率和初始偏心距越大，压杆的承载力越低；三、讨论2．中心受压直杆的临界力是实际压杆承载能力的理论上限值。e3e2e1FOd2)时的F—d曲线：3)由于d增大到一定值，导致

s增大到s

s，压杆屈服，实际F—d曲线应为虚线所示。AB§12-1具有初曲率的压杆和偏心压杆1．纵横弯曲：§12-2杆的纵横弯曲一、纵横弯曲1)挠曲线方程同时考虑横向力和轴向力引起的弯曲变形2．纵横弯曲的最大挠度ylFyxFqx令：边界条件：挠曲线方程挠曲线微分方程最大挠度在中点处利用级数展开上式，并引入参数得到注意到上式右边第一项是均布载荷q在中点产生的弯曲挠度y0：2)最大挠度§12-2杆的纵横弯曲3)讨论上式由具体问题求出，但近似适用于其它的复杂纵横弯曲问题。具体使用时，y0为弯曲产生的最大挠度，为相应约束形式压杆的欧拉临界力。1)强度条件3．纵横弯曲问题的强度与稳定条件2)稳定条件按理想压杆进行§12-2杆的纵横弯曲二、例题例12-1压弯组合的细长悬臂杆，杆长l=1.5m，承受均布载荷q=22kN/m，

纵向力F=200kN，材料为Q235钢，弹性模量E=210GPa，许用应力[s]=160MPa，试对此杆作强度和稳定校核。AqlBFzyNo20b解：查型钢表，得1)强度校核A=39.5cm2，Iz=2500cm4，Wz=250cm3，iy=2.06cm在横向力作用下，截面绕z轴弯曲，故杆端B点挠度为最大弯矩发生在A端该截面上的最大正应力为§12-2杆的纵横弯曲2)稳定校核压杆失稳时将绕y轴转动，先求柔度查表10-3得j=0.323，故杆的工作压应力为3)从强度和稳定性两方面来看，杆件都是安全的。§12-2杆的纵横弯曲例12-1压弯组合的细长悬臂杆，杆长l=1.5m，承受均布载荷q=22kN/m，

纵向力F=200kN，材料为Q235钢，弹性模量E=210GPa，许用应力[s]=160MPa，试对此杆作强度和稳定校核。AqlBFzyNo20b§12-3能量法求临界力1．求临界力的能量法：一、求临界力的能量法1)假定压杆的可能失稳曲线——挠曲线试函数，该曲线必须满足位移边界条件，并且尽可能满足静力边界条件；瑞利—李兹法2．求解过程2)利用挠曲线试函数求出压杆相对于未受力状态的总势能V=U-We；3)利用最小势能原理求得临界力。应注意：求解结果的好坏与挠曲线试函数的选取直接相关，一般试函数都不是压杆的实际挠曲线，相当于给压件增加了约束，因此，用能量法求得的结果一般比理论结果要大。xyFF二、例题例12-2试利用虚功原理分析两端铰支压杆的稳定性。外力虚功：杆的应变能：xddsdyddldxqdxBAAB'FFq解：轴向位移d：虚功原理：得到：§12-3能量法求临界力1)假定失稳曲线为二次抛物线：解：方法一

例12-3应用瑞利—李兹法导出一端固定、一端自由压杆的临界力。dyyFlFFdxx该试解曲线对真实曲线是很差的近似，它不满足静力边界条件：2)系统的总势能为3)代入失稳曲线，并积分得4)利用得§12-3能量法求临界力1)重求应变能U，由任意截面弯矩M=F(d-y)2)系统的总势能为3)代入失稳曲线，并积分得4)利用得dyyFlFFdxx例12-3应用瑞利—李兹法导出一端固定、一端自由压杆的临界力。解：方法二

§12-3能量法求临界力5)与精确解相比，两种方法的误差分别是22%和1.3%，差别很大。因为方法一的挠曲线试函数不满足静力边界条件，而方法二尽管假定的形状试函数不变，但在求应变能时引入了静力边界条件，从而使误差大大减小。dyyFlFFdxx例12-3应用瑞利—李兹法导出一端固定、一端自由压杆的临界力。6)利用多项式可求解出满足位移和静力边界条件的试函数因此，无论使用哪种方法均可得到满意的结果。§12-3能量法求临界力例12-4用能量法求两端铰支等厚度锥形压杆的临界力。截面惯性矩由下式给定：，I1是时的惯性矩。FyFl/2xl/2解：1)选压杆挠曲线试函数：2)考虑对称性，计算应变能和外力虚功3)系统总势能4)利用得§12-3能量法求临界力§12-4压杆稳定问题有限差分解法1．差分法：一、有限差分法将函数的导数用差分表示，从而将微分方程转化为代数方程的数值计算方法。2．一阶和二阶导数的差分格式(等距离)yOxyiiyi-2i-2hyi-1i-1hyi+1i+1hyi+2i+2hy=f(x)3．有限差分法求解压杆的临界力1)在压杆上选取若干点，对每一点建立一个有限差分方程，得到一组以位移为未知量的代数方程组；2)代入位移边界条件，进行整理和简化；3)利用代数方程必须有非零解的条件可求得临界力。§12-4压杆稳定问题有限差分解法二、例题例12-5用差分法求图示两端铰支压杆的临界力。FyFl/2xl/2I1I1m=210(a)解：压杆的控制微分方程为建立相应的有限差分格式为代入I(x)得令得1)

m=2时，h=l/2，在x=l/2处使用差分方程，并代入边界条件x=0和x=l时，y=0，有因，故必有§12-4压杆稳定问题有限差分解法2)

m=3，h=l/3，在x=l/3处使用差分方程，根据对称性及边界条件y1=y2，y0=y3=0，有利用上式有非零解条件得到m=310(b)2m=420(c)133)取m=4，参照图c)可导出由上式有非零解的条件(即系数行列式的值为零)，求得4)同理可求得§12-4压杆稳定问题有限差分解法解：1)根据杆的对称性，选择差分节点h1h2h2h1例12-6用差分法导出两端铰支阶梯形压杆的临界力。yl/6Fl/6Fl/3xEI2=3EI1EI1EI1l/301210yOxyiiyi-1i-1hyi+1i+1hi+1y=f(x)2)由于差分节点间的间距不同，需使用二次差商的不等距差分公式令a=hi+1/h，代入上式并化简得两端铰支压杆挠曲线微分方程为§12-4压杆稳定问题有限差分解法3)代入挠曲线微分方程，得有限差分形式4)在1和2点使用有限差分方程(a1=2，a2=1)化简得5)方程组具有非零解的条件是系数行列式值为零，可求出

最小的F值即Fcr§12-4压杆稳定问题有限差分解法h1h2h2h1例12-6用差分法导出两端铰支阶梯形压杆的临界力。yl/6Fl/6Fl/3xEI2=3EI1EI1EI1l/301210yzlAx§12-5其它弹性稳定问题简介1．主要变形与次要变形一、梁的弹性稳定问题1)主要变形F沿y轴，梁在xy平面内的平面弯曲。T=FeFyzFzFnmyA'zyFFyFznm2)次要变形由于梁轴线不直或F偏离y轴，从而产生扭转和xz平面内的弯曲。3)由于次要变形过大使梁失去承载能力即为梁的失稳2．狭长矩形截面悬臂梁在梁端受集中力作用的临界力1．次要变形：二、薄平板的弹性稳定性问题沿板平面受压的薄平板，所发生的弯曲变形。2．四边简支两端受均匀压力的正方形平板的临界力FcrFcrbta1)单位宽度临界力D——单位宽度平板的抗弯刚度，b——平板宽度，t——平板厚度。2)临界应力§12-5其它弹性稳定问题简介三、薄壁圆柱筒壳受轴向压力的弹性稳定问题失稳临界应力Fcrl2rD——单位周长壳壁截面的抗弯刚度l——筒壳长度r——筒壳中面半径m——筒壳失稳时出现的半波个数§12-5其它弹性稳定问题简介四、细长薄壁圆管承受均布外压时的弹性稳定问题1．薄壁管受均布外压时的屈曲形状2．受均布外压的薄壁圆环(b)三叶p/3(c)四叶p/4(a)二叶p/2ABCD根据细长薄壁圆筒的试验结果，假定在最小临界压力作用下发生变形的形状符合二叶屈曲，同时在变形时的压力仍垂直于环的中心线，临界压应力为h——圆环的厚度d——圆环的平均直径§12-5其它弹性稳定问题简介3．细长薄壁管受均匀外压作用1)细长薄壁管与薄壁圆环的区别在于薄壁管沿宽度方向曲率变化受到相邻管阻止，即由于有相邻材料的约束而引起了横向弯矩的变化，这种效应可用平板弯曲比拟法确定。2)细长薄壁管临界压应力为圆管上的周向临界应力为§12-5其它弹性稳定问题简介a)对的薄壁管(单位MPa)b)对的薄壁管(单位MPa)3)对各类薄壁管承受均布外压的实验表明，使用如下经验公式是可行的。§12-5其它弹性稳定问题简介解：1)细长薄壁圆管临界失稳压应力为例12-7某油井套管采用细长薄壁圆管，外径d=200mm，壁厚为h=6mm，管在使用中承受均布外压，管材料的ss=350MPa，E=200GPa，n=0.29，试确定