第10章 能量方法(土木)

第10章能量方法外力功变形能利用功能原理计算位移四求位移的卡氏定理利用功能原理解决工程结构位移或杆件变形等有关问题的方法,称为能量法定义:

任何弹性体在外力作用下都要发生变形。弹性体在变形过程中,外力沿其作用线方向所作的功,称为外力功。§10.1外力功计算1、常力作功若体系上受到一个大小不变的常力P的作用,然后P力的作用点又沿着P力的作用方向上有了位移,

则该力所作的功为式中的P为广义力,为广义位移.高中物理中一般是常力２、变力作功线弹性体上的静荷载从零逐渐增加到最终值,即加载过程中的外力是一个变力。变力所作的功为PLLoBLPA材力通常是变力，静载。3、多个力作用下的外力功若线弹性体上作用着几个外力(P1,P2……,Pn)时,不论按何种方式加载，所有外力作的总功等于这些力分别与其相应位移乘积之和的一半;注意：外力功的最终值仅与各个外力的最终值有关,而与各个力的施加次序无关。也不符合叠加原理。克拉比隆定理例题:计算图示简支梁上的外力功BCAL/2L/2PEIEImo解:(1)位移计算梁在P和mo共同作用下C截面的位移和B截面的转角：BCAL/2L/2Pmo解:(2)外力功的计算分析与讨论若先加P，后加mo，则外力功为BCAL/2L/2Pmo分析与讨论若先加mo，后加P

，则外力功为分析与讨论比较计算结果，说明：即作用在弹性体上的所有外力作的总功W,等于这些力分别与其相应位移乘积之和的一半。而与各个力的施加次序无关。定义：变形能当弹性体受到外力作用而发生变形时，外力在相应的位移上所作的功全部以能量的形式储存在弹性体内，这种因变形而储存的能量称为变形能。§9.2变形能定义：功能原理外力功等于变形能（能量守恒及转换原理）1、杆件产生基本变形时的变形能（1）轴向拉伸或压缩PLLoBLPA式中——轴力，

A——截面面积

由拉压杆件组成的杆系的变形能：P12345受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的变形能qLxdx（2）圆截面杆的扭转mLmoBmA圆截面杆的变形能式中Mn——圆杆横截面上的扭矩；

——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。

受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量)

xdxLtAB（3）平面弯曲纯弯曲梁的变形能：式中M－梁横截面上的弯矩；

I－梁横截面对中性轴的惯性矩LmmoBAm横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的变形能：一般而言，剪切应变能与弯曲应变能相比比较小。Pm=PaACBaa式中一般实心截面的细长梁:剪切变形能远小于其弯曲变形能，通常忽略不计。

k由截面的几何形状决定:

矩形截面:k=1.2,

圆截面:k=10/9,圆环形截面:k=2。（4）剪切L2、产生组合变形时的变形能注意：变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在变形能计算中不能使用。3、关于变形能计算的讨论以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的变形能的计算。变形能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段的变形能，然后积分求得整个杆件上的变形能。变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在变形能计算中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。4变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。BlAmoEIx例题计算图示梁在集中力偶mo作用下的变形能(a)BlAPEIx例题计算图示梁在集中力P作用下的变形能(b)BlAPEIx例题计算图示梁在集中力偶mo、集中力P共同作用下的变形能(c)分析与讨论(1)从上述变形能计算结果可知：这是因为即变形能是力的二次函数,一般说来,变形能不可以简单的叠加分析与讨论

(2)为什么有时两种荷载单独作用时的变形能可以进行叠加,是因为其中一种荷载在另一种荷载引起的位移上不作功.

例如,一直杆同时承受弯曲与扭转作用时,就可以把扭转变形能和弯曲变形能叠加起来进行计算.因为扭转在弯曲引起的转角上不作功,弯矩在扭转引起的扭转角上也不作功.利用可以计算荷载作用点的位移,但是只限于单一荷载作用,而且所求位移只是荷载作用点(或作用面)沿着荷载作用方向与荷载相对应的位移。§9.3利用功能原理计算位移blaP例题图示变截面受拉杆，E、A为已知，求加力点C的水平位移lc2AA解：（1）变形能计算整根杆的变形能（2）位移计算所以得分析和讨论1若需要位移处无外力作用,如求b截面

,外力功表达式中无需求的位移项,因此无法求。2若在该杆上作用的外力多于一个,如在b截面上还作用一个P1力,这时.外力表达式无两个或两个以上的位移,显然也不能求位移的大小。blaPlc2AA例

求图示简支梁中点的挠度wC解：PEIL/2L/2正号表示wC

的方向与外力F的指向相同。所以，变形能不能叠加。从数学观点看：U不是F或者ΔL的线性函数，所以不能叠加。从力学观点看：§9.4互等定理——加载过程中F1在F2产生的位移上做的功——加载过程中F2在F1产生的位移上做的功变形能不能叠加的力学本质

——一种荷载在另一种荷载引起的位移上做了功。其中以梁为例推导：记号：荷载：Fi

i：“力”的作用位置位移：wij

j：位移发生的位置，位移发生的原因，

j点的“力”引起的现在梁上1、2两点加荷载F1，F2

，采用两种不同方式加:第一种加载方案：1、2两点同时加F1，F2

由叠加原理，1点总的位移为：2点总的位移为：第二种加载方案：先加F1，然后再加F2先加F1，F1做功为：再加F2，

F2做功为：在加F2

的过程中F1做功为：

线弹性结构，应变能只与力的终值有关，与加载方式无关。F2在F1引起的位移上所做的功=F1在F2引起的位移上所做的功。当F1和F2

在数值上相等时，由功的互等定理可得到：——功的互等定理注意：互等定理成立的条件：线弹性、小变形、叠加原理成立。——广义位移——广义力线位移集中力集中力偶角位移——位移互等定理第1点的荷载引起的第2点的位移在第2点作用同样大小的荷载引起的第1点的位移=——功互等当M1与F2数值上相等时：——位移互等（数值上相等）——功互等当M1与M2在数值上相等时：——位移互等（数值上相等）定义：余功余功无物理意义§9.5余能δΔlF*FFWCOdF*δ*W定义：余能对于线弹性材料，显然有：——数值相同，概念不同一般地，应变能总能表示为位移的函数，余能总能表示为荷载的函数。1卡式定理若弹性体上作用着多个外力(广义力),则该弹性体的变形能

,对于任一外力的偏导数,就等于该力作用处沿其作用方向的位移(广义位移),即§9.6卡式定理2卡式定理的证明设在某弹性体上作用有外力，在支承约束下，在相应的力方向产生的位移为，(i=1,2,…,n)。

可以证明：证明：再加增量，则变形能U的增量dU为梁的总变形能为：(a)考虑两种不同的加载次序。(1)先加，此时弹性体的变形能为U：(2)先加，然后再加，此时弹性体的变形能由三部分组成：梁的总变形能为：(b)(a)在相应的位移上所作的功

(b)在相应位移上所作的功：(c)原先作用在梁上的对位移所作的功根据弹性体的变形能只决定于外力的最终值，而与加载的次序无关。(a)(b)两式相等：略去二阶微量，化简后得：证毕。

3卡氏定理的应用应用卡氏定理计算位移时应注意:（1）卡氏定理中的应理解为广义力，应理解为广义位移。（2）只有当弹性系统为线性，即其位移与荷载成线性关系时，才能应用卡氏定理。应用卡氏定理计算位移时应注意:（3）当需利用卡氏定理来计算没有外力作用处的位移（或所需要的位移与加力方向不一致）时，可在需要位移处沿着所需求位移的方向任设一个力（等于零），写出所有力（包括）作用下的变形能U的表达式，并将其对求偏导数，然后再令等于零，便得所求位移。（4）先偏导后积分利用卡氏定理解位移时，一般遵循“先偏导后积分”的原则：①列出内力方程②先偏导，即求出的结果；③后积分，完成上述偏导后，再将其代入下列式中进行积分，从而求得需求位移。卡氏定理在各种受力情况下的表达式拉（压）杆：扭转杆：弯曲变形杆：组合变形杆：桁架：应用卡氏定理求出为正时，表示该广义位移与其相应的广义力作用方向一致；若为负值，则表示方向相反。例3图示简支梁，求中点C的挠度。解：FEIl/2l/2正号表示wC

的方向与F的指向一致。例4图示悬臂梁，求B截面的转角。解：因为在B截面没有与之相应的外力，所以要进行处理。在B截面加一与“相应”的假想外力M’。lFEIBxFEIM’（顺时针）注意：（1）负号表示的转向与M’的转向相反。（2）要求某点的“位移”，则必须在该点有与之相应的“力”，若没有，则必须在该处加上假想的附加“力”，求导后再令其为零。例5图示悬臂梁，求C截面的挠度wC

。F=F2EIl/2l/2F=F1BACxy解：（向下）例6图示结构，求A、B两点的相对位移。FEI2aaFDCBAx1x2x3解：例题试求图示梁自由端A截面的挠度和转角。BA解：1求：（1）列方程及对P的偏导数：（2）计算：结果为正，说明与P方向一致。2求：求，可A处无力偶作用，因此需在A处暂时加一个虚拟的力偶矩，如图所示：BA（1）列方程及对的偏导数：（2）求：结果为负，说明A处转角实际转向与

的转向相反。例题图示桁架，各杆E、A、L均相同，试用卡氏定理求。P123456解：桁架各杆均为二力杆，承受沿杆长不变的轴力。该桁架系统总的变形写成求和的形式显然各杆轴力为荷载P的函数。因此按卡氏定理计算：各杆的及分别列于下表：表中负号表示该杆受压将表中数值代入求位移的卡氏定理得:结果为正值,说明C点的铅垂位移向下(与P一致).例题求图示超静定梁A处的约束反力FAyBA应用卡氏定理解超静定问题1.虚位移虚位移——约束所允许的微小位移。注意：

（1）与结构上的荷载完全无关的原因导致的位移（如别的荷载、温度变化、纯假想原因）。（2）微小，并且符合约束条件。§9.7虚功原理2.虚功原理

对于处于平衡状态的弹性体，从平衡位置令其有一微小的虚位移，则作用在弹性体上的外力在虚位移上所作的功，等于弹性体内力在相应的虚位移上所做的功。前者称为外力虚功，后者称为内力虚功。即：

弹性体平衡另一方面，如果弹性体上的外力和内力在各自的虚位移上所作的功相等，则弹性体处于平衡状态，即：

弹性体平衡综合上述两方面，即为弹性体的虚功原理：弹性体平衡的充分必要条件是，外力虚功等于内力虚功，即：

弹性体平衡必要条件的简单证明，即证：

弹性体平衡以梁为例：（1）设图所示梁发生虚位移，可得：（2）设想：将处于平衡状态的梁分成无数个长度为dx的微段，考察其中任一微段，如图所示：MdxC·q(x)FNFNM变形前C·（刚体虚位移）变形后（虚变形）小微段上的虚位移可分解为：刚体虚位移（形心位移）和虚变形。质点系虚功原理：处于平衡状态下的力系在刚体虚位移上的虚功之和等于0。小微段上的虚功仅为力系在虚变形上做的功。所有微段上的虚功之和即为总的虚功。3.单位力法对应的单位力系统ABaa1求图示结构B点沿a-a方向的线位移ABaa（1）建立单位力系统：欲求结构上某点沿某方向的位移，就在该点沿该方向加相应的单位力，作为单位力系统。“相应”：线位移——集中力；角位移——集中力偶（2）将原荷载系统的位移（变形）作为单位力系统的虚位移。显然满足：①原荷载系统的变形与单位力系统的力完全无关。②微小且符合约束条件。（3）运用虚功原理：其中为单位力系统对应的内力。注意：上式既适用于线性系统，也适用于非线性系统。对于线性结构：莫尔积分法桁架轴梁以弯曲变形为主，可略去轴力、剪力、扭矩的影响上式中为实际荷载引起的内力；是个大于1的系数，是剪应力实际上不均匀并与截面形状有关的修正系数。例7求图示结构C点的竖直位移。aqEIaABCDEAaEIx3x2x11111x3x2x1q解：（1）建立单位力系统如图。（2）建立坐标系如图。荷载系统与单位力系统坐标系要一致。（3）求内力。荷载系统：x3x2x1qx3x2x11111单位力系统：单位力系统与荷载系统的内力符号规定必须一致。（4）利用单位力法求C点的竖直位移。符号为正表明的指向与单位力的指向相同。lAEIBxABx1解：（1）建立单位力系统和坐标系：例8求图示结构A截面的转角。无论实际结构中A点有无与相应的外力，都必须建立单位力系统。（2）求内力：（3）求：前的负号表示的转向与单位力的转向相反。七、计算莫尔积分的图乘法梁、刚架等线性结构，单位力法主要是计算莫尔积分：对于最常见的均质等直杆，EI为常数，可以提取到积分号的外面，莫尔积分变为：图乘法：将积分图形相乘。出发点：直杆在单位力作用下的内力图必定是直线段或者折线段。的计算转化为考察任一梁段AB，其上由荷载引起的弯矩可为任意图形，而由单位力引起的弯矩为斜直线。xOM0ABOxMFAB建立坐标系：以与x轴的交点O为坐标原点，设与x轴的夹角为。xOxMFAB·dxxxCOM0ABl——阴影部分面积阴影部分面积对

y

轴之矩————图对

y

轴之静矩图上对应

xC

的值——图的面积————图形心的横坐标——图上对应的值，简记为OxMFAB·dxxxCOM0ABl例9求图示悬臂梁在自由端的挠度。BA1BlAEIF