第03章 图像变换

第3章图像变换1内容提要主要介绍图像处理中常用的二维离散变换的定义、性质、实现方法及应用。经典变换——离散傅里叶变换（DFT）离散余弦变换（DCT）离散沃尔什-哈达玛变换（DWT）K-L变换（KLT）离散小波变换（DWT）及其应用2知识要点

余弦型变换：傅里叶变换和余弦变换。方波型变换：沃尔什-哈达玛变换。基于特征向量的变换：K-L变换。从哈尔变换、短时傅里叶变换到小波变换。各种变换的定义和有关快速算法及实现方法。33.1二维离散傅里叶变换（DFT）3.1.1二维连续傅里叶变换定义：设f(x,y)是独立变量x和y

的函数，且在±∞上绝对可积，则定义积分

为二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换，并定义

为F(u,v)的反变换。f(x,y)和F(u,v)

为傅里叶变换对。4【例3.1】求图3.1所示函数的傅里叶变换。

解：图3.1二维信号f(x,y)其幅度谱为5二维信号的频谱图（a）信号的频谱图（b）图（a）的灰度图图3.2信号的频谱图

63.1.2二维离散傅里叶变换尺寸为M×N的离散图像函数的DFT

反变换可以通过对F(u,v)求IDFT获得

7F(u,v)即为f(x,y)的频谱，通常是复数：幅度谱

相位谱

8DFT幅度谱的特点

①频谱的直流成分说明在频谱原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级。②幅度谱|F(u,v)|关于原点对称。③图像f(x,y)平移后，幅度谱不发生变化，仅有相位发生变化。93.1.3二维离散傅里叶变换的性质1．变换可分离性二维DFT可以用两个可分离的一维DFT之积表示：式中，结论：（1）二维变换可以通过先进行行变换再进行列变换的两次一维变换来实现。（2）也可以通过先求列变换再求行变换得到二维傅里叶变换。10图3.3用两次一维DFT计算二维DFT112．周期性、共轭对称性及频谱中心化周期性和共轭对称性来了许多方便。首先来看一维的情况。设有一矩形函数,求出它的傅里叶变换：12在进行DFT之前用输入信号乘以（-1）x，便可以在一个周期的变换中求得一个完整的频谱。（a）幅度谱（b）原点平移后的幅度谱图3.4频谱图13用(-1)x+y

乘以输入的图像函数，则有：原点F(0,0)被设置在u=M/2和v=N/2上。如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分。14（a）原始图像(b)中心化前的频谱图(c)中心化后的频谱图3.6图像频谱的中心化153．离散卷积定理设f(x,y)和g(x,y)是大小分别为A×B和C×D的两个数组，则它们的离散卷积定义为卷积定理16【例3.2】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。为了增强显示效果，用对数对频谱的幅度进行压缩，然后将频谱幅度的对数值用在0～10之间的值进行显示。【解】MATLAB程序如下：I=imread('pout.tif'); %读入图像imshow(I); %显示图像F1=fft2(I); %计算二维傅里叶变换figure,imshow(log(abs(F1)+1),[010]);%显示对数变换后的频谱图F2=fftshift(F1); %将直流分量移到频谱图的中心figure,imshow(log(abs(F2)+1),[010]);%显示对数变换后中心化的频谱图17

（a）原始图像（b）图像的频谱图（c）中心化的频谱图图3.7傅里叶变换183.2二维离散余弦变换（DCT）任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项，余弦变换是傅里叶变换的特例，余弦变换是简化DFT的重要方法。3.2.1一维离散余弦变换将一个信号通过对折延拓成实偶函数，然后进行傅里叶变换，我们就可用2N点的DFT来产生N点的DCT。

1．以x=-1/2为对称轴折叠原来的实序列f(n)得：19-N-10N-1NN+1f(n)图3.8延拓示意图2．以2N为周期将其周期延拓，其中f（0）＝f（－1），f（N－1）＝f（－N）fc(2N–n–1)=fc(n)

203．对0到2N－1的2N个点的离散周期序列作DFT，得＝＋＝令i＝2N－m－1，则上式为＝＋＝21

保证变换基的规范正交性，引入常量，定义：F(k)＝C(k)C(k)=其中DCT逆变换为223.2.2二维离散余弦变换

正变换：逆变换：233.2.3

二维DCT的应用典型应用是对静止图像和运动图像进行性能优良的有损数据压缩。在静止图像编码标准JPEG、运动图像编码标准MJPEG和MPEG等标准中都使用了8×8块的离散余弦变换，并将结果进行量化之后进行熵编码。DCT具有很强的能量集中在频谱的低频部分的特性，而且当信号具有接近马尔可夫过程的统计特性时，DCT的去相关性接近于具有最优去相关性的K-L变换的性能。24【例3.3】应用MATLAB实现图像的DCT变换。【解】MATLAB程序如下：I=imread('saturn.tif');subplot(1,2,1),imshow(I);%显示原图像C1=dct2(I);%对图像做DCT变换C2=fftshift(F1);%将直流分量移到频谱图的中心subplot(1,2,2),imshow(log(abs(C2))+1,[010]); %显示DCT变换结果25图3.10离散余弦变换

（a）原始图像（b）DCT系数263.3二维离散沃尔什-哈达玛变换（DHT）前面的变换是余弦型变换，基底函数选用的是余弦型。图像处理中有些变换常常选用方波信号或者它的变形。沃尔什（Walsh）变换。沃尔什函数是一组矩形波，其取值为1和-1，便于计算机运算。函数有三种排列或编号方式，以哈达玛排列最便于快速计算。采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什-哈达玛变换，简称WHT或直称哈达玛变换。273.3.1

沃尔什变换沃尔什函数系函数值仅取+1和–1两值的非正弦型的标准正交完备函数系。由于二值正交函数与数字逻辑中的两个状态相对应，所以非常便于计算机和数字信号处理器运算。28图3.11沃尔什函数系的前10个函数29沃尔什函数有三种排列或编号方式列率排列、佩利（Paley）排列和哈达玛（Hadamard）排列。沃尔什变换的排列方式为列率排列。与正弦波频率相对应，非正弦波形可用列率描述。列率表示某种函数在单位区间上函数值为零的零点个数之半。30一维沃尔什变换核g(x,u)设N=2n，变换核为bk(z)代表z的二进制表示的第k位值。核是一个对称阵列，其行和列是正交的。31一维沃尔什变换正变换：逆变换：32二维沃尔什变换正变换：逆变换：33【例3.5】求图像f的DWT，并反求f。【解】W=GfG，采用MATLAB程序求解W。f=[2552;3333;3333;2551];G=[1111;11-1-1;1-1-11;1-11-1];W=(1/16)*G*f*G34运行结果为W=3.1875 0.0625-0.8125 0.06250.0625-0.06250.0625-0.06250.1875 0.0625-0.8125 0.06250.0625-0.06250.0625-0.062535反求f的程序如下：W=[3.18750.0625-0.81250.0625;0.0625-0.06250.0625-0.0625;0.18750.0625-0.81250.0625;0.0625-0.06250.0625-0.0625]G=[1111;11-1-1;1-1-11;1-11-1];f=G*W*G36运行结果为f=2552333333332551373.3.2哈达玛变换哈达玛矩阵：元素仅由＋1和－1组成的正交方阵。正交方阵：指它的任意两行（或两列）都彼此正交，或者说它们对应元素之和为零。哈达玛变换要求图像的大小为N＝2n

。一维哈达玛变换核为其中，bk(z)

代表z的二进制表示的第k位值。38一维、二维哈达玛正、逆变换一维哈达玛正变换一维哈达玛逆变换二维哈达玛正变换二维哈达玛逆变换39二维哈达玛正、逆变换具有相同形式正反变换都可通过两个一维变换实现。高阶哈达玛矩阵可以通过如下方法求得：N＝8的哈达玛矩阵为403.4卡胡南-列夫变换（K-L变换）Kahunen-Loeve变换是在均方意义下的最佳变换。优点：能够完全去除原信号中的相关性，因而具有非常重要的理论意义。缺点：基函数取决于待变换图像的协方差矩阵，因而基函数的形式是不定的，且计算量很大。41设原图像为X，采用KLT恢复的图像，则和原图像X具有最小的均方误差ε，即对第i次获得的图像fi(x,y)可以用N2维向量Xi表示：42Cx是一个N2×N2的实对称矩阵。令i和ai（i=1,2,…,N2）分别为Cx的第i个特征值和特征向量，其特征向量构成的矩阵是一个正交矩阵43

ATCxA=A−1CxA=

（3.51）为Cx的特征值构成的对角线矩阵。K-L变换选取一个上述的正交变换A，使得变换后的图像Y满足

Y=A(X

－

mx)

（3.52）优点：能够完全去除原信号中的相关性，因而具有重要的理论意义。缺点：计算量很大。443.5二维离散小波变换小波分析是20世纪80年代开始逐渐发展成熟的应用数学的一个分支。主要特点：对时间（二维信号为空间）-频率的双重分析和多分辨率分析能力。被誉为“数学显微镜”，在信号和图像处理等领域具有重要的应用价值。453.5.1

小波分析的思想来源哈尔提出了一种正交归一化函数系，以其作为正交规范基的哈尔变换收敛均匀而迅速，在图像信息压缩和特征编码等方面获得应用。哈尔变换特点：（1）具有尺度和位移两个特性；（2）变换范围窄；（3）变换特性与图像边界的特性十分接近。46图3.12Haar函数系的前几个函数波形47窗口傅里叶变换（WFT）信号f(x)的窗口傅里叶变换定义为WFT的重构公式为常见的窗函数具有相对短的时间窗宽，例如可选为高斯函数，所以WFT也称为短时傅里叶变换（

STFT）。48WFT的不足窗口傅里叶变换是一种大小及形状均固定的时频化分析。实际信号进行时间和频率分析时，分辨率往往是相对的，即反映信号高频成分需要较高的时间分辨率，因此窗函数宽度应该窄一些，而反映低频成分则需要较高的频率分辨率，窗函数宽度应该宽一些。窗口傅里叶变换不能满足上述要求。493.5.2

连续小波变换小波变换的窗口具有大小（面积）固定但形状可改变的特点，能满足上述时-频局部化分析的要求。按如下方式生成的函数族为连续小波（分析小波）：

(x)称为基本小波或母波a称为伸缩因子，b为平移因子。母波可由平移与尺度变换构造小波基函数。

50图3.13小波函数的平移与扩展51信号的连续小波变换正变换：反变换：523.5.3

一维离散小波变换把连续小波变换离散化更有利于实际应用。对a和b按如下规律取样：其中；；，得离散小波：离散小波变换和逆变换为533.5.4

二维离散小波变换信号f(x,y)的连续小波变换Wf

(a,bx,by)为由Wf

(a,bx,by)重构f(x,y)的小波逆变换为定义二维离散小波变换逼近，并采用Mallat二维快速算法求解。与DFT类似，可分离二维小波变换最终可转化为两次一维小波变换。54图3.14可分离二维小波变换的频率域分解（a）1层分解（b）2层分解（c）3层分解55重构算法按相反的步骤进行这样就构成了2DDWT的金字塔结构。由于小波变换的理论和算法比较复杂，从应用的角度看，读者可以将注意力集中在用MATLAB对图像进行小波变换和重构的实现过程中。56【例3.6】对图像实现小波变换bior3.7是双正交样条小波对应的滤波器。图像：wbarb.mat。【解】MATLAB程序如下：loadwbarb;% %从磁盘调入磁盘文件wbarb.matimage(X); %将矩阵X显示为图像.colormap(map); %配合函数image()画出连续的灰度图[cA1,cH1,cV1,cD1]=dwt2(X,'bior3.7');%对X进行DWT，bior3.7是双正交样条小波对应的滤波器A1=upcoef2('a',cA1,'bior3.7',1);H1=upcoef2('h',cV1,'bior3.7',1);V1=upcoef2('v',cV1,'bior3.7',1);D1=upcoef2('d',cD1,'bior3.7