万有引力定律 人造卫星

考

纲

要

求三

年

考

情热

点

考

向考点要求2007年2008年2009年万有引力定律Ⅱ江苏物理(T10·选择)重庆理综(T19·选择)北京理综(T9·选择)宁夏理综(T14·选择)广东理科(T11·选择)宁夏理综(T23·计算)全国综理Ⅱ(T25·计算)四川理综(T20·选择)山东理综(T18·选择)广东物理(T12·选择)全国卷Ⅰ(T19·选择)天津卷(T12·计算)四川卷(T15·选择)江苏卷(T3·选择)福建卷(T14·选择)山东卷(T18·选择)重庆卷(T17·选择)浙江卷(T19·选择)北京卷(T22·计算)上海卷(T8·选择)天体运动的考查频率很高，

主要综合考查万有引力定律和圆周运动．经常结合航天技术、人造地球卫星等现代科技的重要领域．2007年我国“嫦娥一号”，2008年“神舟七号”相继成功发射．这些世人瞩目的成就使得本章内容在高考命题中的热点地位将会进一步增强.万有引力定律的应用Ⅱ人造地球卫星的运动(限于圆轨道)Ⅱ宇宙速度Ⅰ航天技术的发展和宇宙航行Ⅰ第4课时万有引力定律人造卫星1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m1

和m2的乘积成

，与它们之间的距离r的

成反比．2．公式：F＝

，其中G＝

N·m2/kg2叫引力常量．3．适用条件：公式适用于

间的相互作用．也适用于两个质量分布均匀的球体间的相互作用，但此时r是

间的距离，一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到

间的距离．6.67×10－11平方正比质点两球心质点1．对万有引力定律的理解

(1)普遍性：任何客观存在的物体间都存在着相互作用的吸引力，即“万有引力”．

(2)相互性：两物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，它们的大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上．

(3)宏观性：在通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的星体间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有实际的物理意义，故在分析地球表面的物体受力时，不考虑地面物体间的万有引力，只考虑地球对地面物体的万有引力．2．万有引力和重力的关系

万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg， 另一个是物体随地球自转需要的向心力F向，如图4－4－1所示，可知：

(1)地面上的物体的重力随纬度的增大而增大．故重力加速度g从赤道到 两极逐渐增加．

(2)在两极：重力等于万有引力，重力加速度最大．(3)在赤道：F万＝F向＋mg故mg＝

－mRω2(4)由于地球的自转角速度很小，地球的自转带来的影响很小，一般情况下认为：

＝mg，故GM＝gR2，这是万有引力定律应用中经常用到的“黄金代换”．(5)距地面越高，物体的重力加速度越小，距地面高度为h处的重力加速度为

g′＝

，其中R为地球半径，g为地球表面的重力加速度．1．假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增加到原来的2倍， 仍做圆周运动，则(

) A．根据公式v＝ωr可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍

B．根据公式F＝可知卫星所需的向心力将减小到原来的1/2 C．根据公式F＝

可知地球提供的向心力将减小到原来的1/4 D．根据上述B和C中给出的公式可知，卫星运行的线速度将减小到原来的解析：人造卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球对卫星的万有引力提供，有

，得v＝

，所以当轨道半径加倍时，引力变为原来的，速度变为原来的倍，故选项C、D正确．答案：CD1．应用万有引力定律分析天体运动的方法

把天体运动看成是

运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供．

应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算．匀速圆周2．关于同步卫星的五个“一定”

(1)轨道平面一定：轨道平面与

共面．

(2)周期一定：与地球自转周期

，即T＝24h. (3)角速度一定：与地球自转的角速度．

(4)高度一定：由

(R＋h)得同步卫星离地面的高度

h＝

≈3.6×107m. (5)速度一定：v＝

＝3.1×103

m/s.赤道平面相同相同1．三个近似

近地卫星贴近地球表面运行，可近似认为做匀速圆周运动的半径等于地球半径；在地球表面随地球一起自转的物体可近似认为其重力等于地球对它的万有引力；天体的运动轨道可近似看作圆轨道．2．两种加速度——卫星的向心加速度和随地球自转的向心加速度的比较卫星的向心加速度物体随地球自转的向心加速度产生万有引力万有引力的一个分力(另一分力为重力)方向指向地心垂直指向地轴大小

a＝g′＝(地面附近a近似为g)a＝

，其中r为地面上某点到地轴的距离变化随物体到地心距离r的增大而减小从赤道到两极逐渐减小3.两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的比较

卫星的轨道半径是天体的卫星绕天体做圆周运动的圆的半径， 所以r＝R＋h.当卫星贴近天体表面运动时，h≈0， 可近似认为轨道半径等于天体半径．4．两种周期——自转周期和公转周期的比较

自转周期是天体绕自身某轴线运动一周的时间，公转周期是卫星绕中心天体做圆周运动一周的时间．一般情况下天体的自转周期和公转周期是不等的，如：地球自转周期为24小时，公转周期为365天．但也有相等的，如月球，自转、公转周期都约为27天，所以地球上看到的都是月球固定的一面，在应用中要注意区别．2．(2009·安徽，15)2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙­2251”卫星和美国的

“铱­33”卫星在西伯利亚上空约805km处发生碰撞．这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件．碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境．假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运动速率比乙的大，则下列说法中正确的是(

) A．甲的运动周期一定比乙的长

B．甲距地面的高度一定比乙的高

C．甲的向心力一定比乙的小

D．甲的加速度一定比乙的大解析：根据公式T＝2π可知：A选项不对；再根据公式v＝

可知：B不对；由于甲离地球较近，故向心加速度较大，所以C不对，D对．答案：D宇宙速度数值(km/s)意义第一宇宙速度7.9这是发射绕地球做圆周运动卫星的最小发射速度，若7.9km/s≤v＜11.2km/s，物体绕

运行(环绕速度)第二宇宙速度11.2这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若11.2km/s≤v＜16.7km/s，物体绕

运行(脱离速度)第三宇宙速度16.7这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v≥16.7km/s，物体将脱离

在宇宙空间运行(逃逸速度)地球太阳太阳系(1)三种宇宙速度均指的是发射速度，不能理解为环绕速度．(2)第一宇宙速度既是最小发射速度，又是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度．1．第一宇宙速度的理解和推导

由于在人造卫星的发射过程中，火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最小发射速度对应将卫星发射到近地表面运行，此时发射时的动能全部转化为绕行的动能而不需要转化为重力势能．

根据论述可推导如下：

，v1＝

＝7.9km/s

或mg＝

，v1＝＝7.9km/s.2．其他天体的第一宇宙速度可参照此方法推导，v1＝

，

g′为该天体表面的重力加速度，R′为该天体的半径．3．(2009·北京，22)已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．

(1)推导第一宇宙速度v1的表达式；

(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h， 求卫星的运行周期T.解析：(1)设卫星的质量为m，地球的质量为M在地球表面附近满足

＝mg得GM＝R2g①卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力

②①式代入②式，得到v1＝

(2)考虑①式，卫星受到的万有引力为F＝

③由牛顿第二定律F＝

(R＋h)④③④式联立解得T＝

答案：(1)

(2)

【例1】

“嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月，从发射到撞月历时433天，标志我国一期探月工程圆满结束．其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行．若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的1/6，月球半径为地球半径的1/4，根据以上信息得(

)A．绕月与绕地飞行周期之比为

B．绕月与绕地飞行周期之比为

C．绕月与绕地飞行向心加速度之比为1∶6D．月球与地球质量之比为1∶96解析：由

＝mg可得月球与地球质量之比：D正确．由于在近地及近月轨道中，“嫦娥一号”运行的半径分别可近似为地球的半径与月球的半径，由

，可得： A正确．由

可得： C正确．答案：ACD利用万有引力定律解决天体运动的一般思路1．两条线索

(1)万有引力提供向心力F引＝F向．

(2)重力近似等于万有引力提供向心力．2．两组公式

(gr为轨道所在处重力加速度)1－1

近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数)(

) A．ρ＝

B．ρ＝kT C．ρ＝kT2 D．ρ＝解析：本题考查天体密度的计算问题．火星的近地卫星绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即

，则火星的密度为

，则ρ＝，故D选项正确．答案：D【例2】

火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g， 则火星表面的重力加速度约为(

) A．0.2gB．0.4gC．2.5gD．5g

解析：在星球表面有

，故火星表面的重力加速度 ＝0.4，故B正确． 答案：B星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法设天体表面的重力加速度为g，天体半径为R，则mg＝

即g＝(或GM＝gR2)若物体距星体表面高度为h，则重力mg′＝

，即g′＝2－1

(2009·江苏，3)英国《新科学家(NewScientist)》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650­500双星系统中发现的最小黑洞位列其中．若某黑洞的半径R约45km，质量M和半径R的关系满足

(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为(

) A．108m/s2 B．1010m/s2C．1012m/s2D．1014m/s2解析：星球表面的物体满足mg＝

，即GM＝R2g，由题中所给条件推出GM＝Rc2，则GM＝R2g＝Rc2，代入数据解得g＝1012m/s2，C正确．答案：C【例3】

我国成功发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”．设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的，月球的 半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s，则该探月卫 星绕月运行的速率约为(

) A．0.4km/s B．1.8km/s C．11km/sD．36km/s 解析：设地球质量、半径分别为M、R，月球质量、半径分别为M′、r，则M′＝，r＝R.在地球表面，物体的重力近似等于万有引力，若物体质量为m0，则： ，即GM＝gR2；在月球表面，满足GM′＝g′r2，由此可得：g′＝

，地球表面的第一宇宙速度

v1＝＝7.9km/s，在月球表面，有

v′＝ ≈1.8km/s.

答案：B1．解决此类题的关键：要明确卫星的第一宇宙速度等于最大环绕速度．2．解决万有引力定律的应用问题，尽管题目很多，但其基本方法是不变的，即把天体的运动看成圆周运动，万有引力提供向心力．3－1

北京时间2007年11月7号上午8点24分，在北京航天飞行控制中心的控制下，嫦娥一号卫星主发动机点火成功，工作10分钟后，发动机正常关机，嫦娥一号进入距月球表面约200公里的圆轨道．设月球半径约为地球半径的1/4，月球质量约为地球质量的1/81，不考虑月球自转的影响，据此完成下列问题．(地球表面处的重力加速度g取10m/s2)，地球半径R＝6400km， ＝1.4计算结果保留两位有效数字)(1)在月球上要发射一颗环月卫星，则最小发射速度多大？(2)嫦娥一号卫星在距月球表面约200公里绕月做匀速圆周运动的速度大小约为多少？解析：(1)设地球、月球质量分别为M、M1,半径分别为R、R1；卫星质量为m，在地球、月球上发射卫星的最小速度分别为v、v1；在地球附近由mg＝，得v＝＝8km/s①对地球近地卫星

②对月球近地卫星

③由①②③得v1＝

×8km/s＝1.8