静电场的边值问题-03-1

FieldandWaveElectromagnetic电磁场与电磁波2011.10.10作业情况1班：人2班：人合计：人情况:1.

电场强度2.

真空中的静电场点电荷复习电偶极子的电矩xPzyrO3.

电位电位的数学表示电位差的数学表示电荷q有P1点移至P2点时，电场力作的总功为4.介质极化6.and7.边界条件

5.介质中的静电场方程

9.电场能量

8.电容若电荷分布已知，计算静电场的三种方法是，直接根据电荷分布计算电场强度通过电位求出电场强度利用高斯定律计算电场强度点电荷xPzyrOabqabq第三章静电场的边值问题

主要内容电位微分方程，镜像法，分离变量法。1.电位微分方程

2.镜像法

3.直角坐标系中的分离变量法4.圆柱坐标系中的分离变量法

5.球坐标系中的分离变量法

1.电位微分方程已知电位

与电场强度E

的关系为

对上式两边取散度，得对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E

的散度为

那么，电位满足的微分方程式为

泊松方程

InCartesiancoordinates:Insphericalcoordinates:Incylindricalcoordinates:拉普拉斯方程对于无源区，，上式变为

已知分布在V

中的电荷在无限大的自由空间产生的电位为上式为泊松方程在自由空间的特解。

利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解。

静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。定解条件初始条件边界条件数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。根据已知区域边界条件（定解条件）的不同，电位边值问题分为三类：第一类是给定区域边界上的电位值，这类问题又称为狄里赫利(Dirichlet)问题第二类是给定区域边界上的电位的法向导数值，又称为纽曼(Neumann)问题第三类是混合边值问题，在区域的一部分边界上给定电位值，另一部分边界上给定电位的法向导数值。

表明:

在介质分界面上，电位是连续的。用电位函数

表示分界面上的衔接条件

设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d，d→0,则电位的衔接条件在分界面两侧：电位法向导数发生跃变边值问题研究方法计算法解析法积分变换法分离变量法镜像法（电轴法）微分方程法保角变换法实验法作图法实测法模拟法定性定量数学模拟法物理模拟法数值法有限差分法有限元法边界元法矩量法半解析法/半数值法格林函数法Example1.一维泊松方程的解ThetwometalplateshavinganareaAandaseparationdformaparallel-platecapacitor.TheupperplateisheldatpotentialofV0

,andthelowerplateisgrounded.Determine(a)thepotentialdistribution(b)theelectricfieldintensity(c)thechargedistributiononeachplate(d)the

capacitanceoftheparallel-platecapacitorSolution:Choose

anappropriate

coordinatesystem

forthegivengeometry2.Governingequation

forproblemsand

boundarycondition.匀强电场，电位V只是随高度z的变化而变化4.特解（带入边界条件求解未知系数）3.方程的通解Example2.

The

inner

conductorofradius

a

ofa

coaxialcable

isheldatapotentialof

V0whiletheouterconductorofradius

b

isgroundedDetermine(a)the

potentialdistributionbetweentheconductors

(b)the

electricfieldintensity(c)the

chargedensity

ontheinnerconductor

(d)the

capacitanceofthe

perunitlengthChoose

anappropriate

coordinatesystem

forthegivengeometry2.Governingequation

forproblemsand

boundarycondition.Solution:4.特解（带入边界条件求解未知系数）

3.方程的通解Example3

Theupperandlowerconductingplatesofalargeparallel-platecapacitorareseparatedbyadistancedandmaintainedatpotentialsV0and

0respectively.Adielectricslabofdielectricconstantanduniformthickness

0.8d

isplacedoverthelowerplate.?EandD

yxD2D1E2E1(1)

求解区域：平行板电容器之间的区域(2)

分区：由于填充两种介质，因此场量在分界面上会发生突变，因此，分成两个子区域(3)

建立坐标系：竖直向上为y轴方向，建立坐标系(4)

场分布分析：在两种介质中都是匀强电场，电位V只是随高度y的变化而变化V(y)，而与x，z无关，(5)

写出场方程与边界条件：待求量是两个区域的电位V1

、V2，场方程：泊松方程（有源）or拉普拉斯方程（无源）

yxD2D1E2E1区域1：区域2：yxD2D1E2E1

写出通解：一维边值问题电位的边界条件，两个介质的衔接条件：yxD2D1E2E1yxD2D1E2E1yxD2D1E2E1yQdHalf－spaceproblemExample.

Considerthecaseofa

positivepointcharge

Q,locatedatadistancedabovealarge

grounded(zero-potential)conductingplane.

Theproblemistofindthepotentialateverypointabovetheconductingplane(y>0).(1)chap2：感应电荷很难求(2)直接解方程:yQdHalf－spaceproblem点电荷＆感应电荷产生的场，静态平衡后，导体表面是等势面，电力线与其正交。而这种电力线的分布与以xoz平面为对称面，在（0，d，0）处点电荷Q，（0，－d，0）处有－Q的一对点电荷在x>0空间的电力线分布相似。(3)另辟蹊径：(等效原理)感应（极化）电荷产生的场，由假想的简单电荷（像点电荷线电荷等）分布产生的场来等效(4)问题：引入像电荷后求得的场，是不是原问题的场？判断的依据

（静电场的唯一性定理）是不是满足原问题的场方程＆边界条件？uniquenesstheorem：meansthatasolutionofPoisson’sequation(ofwhichLaplace’sequationisaspecialcase)thatsatisfiesthegivenboundaryconditionsisauniquesolution.(满足边界条件的泊松方程的解是惟一的)

Itdoesnotmeanthatonlyonemethodcanbeusedtoobtainthesolutionoftheelectrostaticproblem.(不止一种方法求解)Theimplicationoftheuniquenesstheoremisthatasolutionofanelectrostaticproblemwithitsboundaryconditionsistheonlypossiblesolution

irrespectiveofthemethodbywhichthesolutionisobtained.(不管用什么方法得到的利用边界条件求的方程的解都是正确的惟一解)Asolutionobtainedevenbyintelligentguessingistheonlycorrectsolution(甚至猜测得到的解也是正确的惟一解)

静电场的惟一性定理电位满足的泊松方程在给定第一类边界条件或第二类边界条件时，也就是边界上的电位或者电位的法向导数值给定时，其解是唯一的。对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷分布给定时，空间的静电场被惟一性地确定，这个结论称为静电场惟一性定理。ImageChargeImagemethod

V(x,0,z)=0yQ–Q根据场叠加原理，写出点电荷和像电荷在上半空间任意一点P处产生的场的表达式判断的条件：等效问题的场就是原问题的场2.镜像法

实质:以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。

这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原来的边界条件。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。

局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电荷分布才有可能确定其镜像电荷。

（1）点电荷与无限大的导体平面

介质

导体

qrP

介质q

rP

hh

介质

以一个镜像点电荷q'代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为的空间，则空间任一点P的电位由q

及q'

共同产生，即

无限大导体平面的电位为零

电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分完全相同。电场线等位线z*根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电荷量应该等于导体表面上感应电荷的总电荷量。*上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。

介质

导体

qrP

介质q

rP

hh

介质

q

对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如，夹角为的导电劈需引入

5

个镜像电荷。

/3/3q3.直角坐标系中的分离变量法

在直角坐标系中，拉普拉斯方程展开式为

令式中左边各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量x

求导，第二项及第三项均为零，求得第一项对x

的导数为零，说明了第一项等于常数。代入上式，两边再除以，得

同理，再分别对变量y

及z

求导，得知第二项及第三项也分别等于常数。令各项的常数分别为，求得式中kx

，ky

，kz

称为分离常数，它们可以是实数或虚数。三个分离常数不是独立的，必须满足下列方程由上可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简化为三个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且三个常微分方程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。或者式中A,B,C,D为待定常数。例如，含变量x

的常微分方程的通解为当kx为虚数时，令，则上述通解变为

或者含变量x

或y

的常微分方程的解完全相同。解中待定常数也取决于给定的边界条件。解的形式的选择决取于给定的边界条件。

这些解的线性组合仍然是方程的解。通常为了满足给定的边界条件，必须取其线性组合作为方程的解。例两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为d

，其有限端被电位为0

的导电平面封闭，且与半无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。Odxy

=0

=0

=0电位满足的拉普拉斯方程变为解选取直角坐标系。槽中电位分布与z无关，这是一个二维场的问题。应用分离变量法，令为了满足及，Y(y)

的解应为