第19课 概率的应用

第19课概率的应用基础知识题型分类要点梳理题型一计算等可能事件的概率助学微博基础自测题型二应用统计频率的方法估计概率题型三概率与统计综合题题型四概率与方程、函数综合题易错警示12.不能准确用列表法或树状图法求等

可能事件的概率要点梳理

1．概率表示事件发生的可能性的大小，不能说明某种肯定的结果．

2．概率这一概念就是建立在频率这一统计量稳定性的基础之上的，在大量重复进行同一试验时，可以用某一事件发生的频率近似地作为该事件发生的概率．

3．模拟试验：由于有时手边恰好没有相关的实物或者用实物进行试验的难度很大，这时可用替代物进行模拟试验，但必须保证试验在相同的条件下进行，否则会影响其结果．首页助学微博频率与概率概率被我们用来表示一个事件发生的可能性的大小．如果一个事件是必然事件，它发生的概率就是1；如果一个事件是不可能事件，它发生的概率就是0；随机事件发生的概率通常大于0且小于1.

对事件可能性大小的感觉通常来自观察这个事件发生的频率，即该事件实际发生的次数与试验总次数的比值，由于观察的时间有长短，随机事件的发生与否也有随机性，所以在不同的试验中，同一个随机事件发生的频率可以彼此不相等．首页助学微博比如抛掷一枚普通硬币，硬币落地后“正面朝上”的概率是.当试验次数少的时候，“正面朝上”的频率有可能是0，有可能是1或者是其他数，但是，经过大量的重复试验，“正面朝上”的频率会稳定在处．首页助学微博用频率估计概率谁也无法预测随机事件在每次试验中是否会发生，但是，在相同条件下，进行大量的试验后，事件出现的频率会逐渐稳定，稳定后的频率可以作为概率的估计值．反之，如果知道一个事件发生的概率，就可以由此推断：大量试验后该事件发生的频率接近其概率．需要注意的是：用试验的方法得出的频率只是概率估计值，要想得到近似程度比较高的概率估计值，通常需要大量的重复试验．首页助学微博概率的预测求一个事件的概率途径一般有三种：

(1)是主观经验估计(又称主观概率)；

(2)是实验估计(又称实验概率)；

(3)是根据树状图或列表法分析预测概率(又称理论概率)．首页基础自测1．(2013·宜昌)2012～2013NBA整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是(

)A．科比罚球投篮2次，一定全部命中

B．科比罚球投篮2次，不一定全部命中

C．科比罚球投篮1次，命中的可能性较大

D．科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小

解析概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解．

A．科比罚球投篮2次，一定全部命中，错误，故本选项正确；首页基础自测1．(2013·宜昌)2012～2013NBA整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是(

)A．科比罚球投篮2次，一定全部命中

B．科比罚球投篮2次，不一定全部命中

C．科比罚球投篮1次，命中的可能性较大

D．科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小

B．科比罚球投篮2次，不一定全部命中，正确，故本选项错误；

C．∵科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，∴科比罚球投篮1次，命中的可能性较大，正确，故本选项错误；

D．科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小，正确，故本选项错误．故选A.A首页基础自测2．(2013·福州)袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是(

)A．3个B．不足3个

C．4个D．5个或5个以上解析本题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．∵袋中有红球4个，取到白球的可能性较大，∴袋中的白球数量大于红球数量，即袋中白球的个数可能是5个或5个以上．故选D.D首页基础自测3．(2013·滨州)若从长度分别为3、5、6、9的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为(

)解析∵从长度分别为3、5、6、9的四条线段中任取三条的可能结果有：3、5、6，3、5、9，3、6、9，5、6、9，能组成三角形的有：3、5、6，5、6、9，A首页基础自测4．(2013·资阳)在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球(

)A．12个B．16个C．20个D．30个

解析根据共摸球40次，其中10次摸到黑球，则摸到黑球与摸到白球的次数之比为1∶3，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1∶3，即可计算出白球数．首页基础自测4．(2013·资阳)在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球(

)A．12个B．16个C．20个D．30个

∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，∴有30次摸到白球，∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1∶3，A故选A.首页基础自测5．(2013·咸宁)如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为(

)解析求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率．设正方形ABCD的边长为a，首页基础自测5．(2013·咸宁)如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为(

)C首页题型分类

题型一计算等可能事件的概率【例1】

(2013·安徽)如图，随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为(

)解析首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．首页题型分类

题型一计算等可能事件的概率【例1】

(2013·安徽)如图，随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为(

)画树状图如下：首页题型分类

题型一计算等可能事件的概率【例1】

(2013·安徽)如图，随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为(

)∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的是闭合开关K1、K3与K3、K1，∴能让两盏灯泡同时发光的概率为：故选B.

B首页探究提高本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．首页知能迁移1

(2013·河北)如图，A是正方体小木块(质地均匀)的一顶点，将木块随机投掷在水平桌面上，则A与桌面接触的概率是________．解析正方体小木块随机投掷在水平桌面上，六个面与桌面接触的可能性相同，顶点A在三个面上，故A与桌面接触的概率是题型分类

题型一计算等可能事件的概率首页题型分类

题型二用统计频率的方法估计概率【例2】

(2013·连云港)在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…如此大量摸球实验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于30%；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是

(

)A．①②③B．①②C．①③D．②③首页解析根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，分别分析得出即可．∵在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，∴①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于：

1－20%－50%＝30%，故此选项正确；∵摸出黑球的频率稳定于50%，大于其它频率，∴②从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大，故此选项正确；③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是红球，故此选项错误．故正确的有①②.故选B.首页题型分类

题型二用统计频率的方法估计概率【例2】

(2013·连云港)在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…如此大量摸球实验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于30%；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是

(

)A．①②③B．①②C．①③D．②③B首页探究提高此题主要考查了利用频率估计概率，根据频率与概率的关系得出结果是解题关键．首页移植总数(n)400750150035007000900014000成活数(m)369662133532036335807312628成活的频率0.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902知能迁移2

(2013·大连)某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示：根据表中数据，估计这种幼树移植成活率的概率为________(精确到0.1)．

解析

x＝(0.923＋0.883＋0.890＋0.915＋0.905＋0.897＋

0.902)÷7≈0.9，∴这种幼树移植成活率的概率约为0.9.0.9首页题型分类

题型三概率与统计综合题【例3】

(2013·广州)在某项针对18～35岁的青年人每天发微博数量的调查中，设一个人的“日均发微博条数”为

m，规定：当m≥10时为A级，当5≤m＜10时为B级，当0≤m

＜5时为C级．现随机抽取30个符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查，所抽青年人的“日均发微博条数”的数据如下：

11

10

6

15

9

16

13

12

0

82

8

10176137

5

7

3121071136

8

141512首页(1)求样本数据中为A级的频率；(2)试估计1000个18～35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数；(3)从样本数据为C级的人中随机抽取2人，用列举法求抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率．解

(1)∵抽取30个符合年龄条件的青年人中A级的有15人，(2)1000个18～35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数为：首页(3)C级的有：0，2，3，3四人，画树状图如下：∵共有12种等可能的结果，抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的有2种情况，∴抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率为：首页城市项目北京太原杭州沈阳广州深圳上海桂林上班花费时间(分钟)5233343448464723上班堵车时间(分钟)141212121211117城市项目南能海口南京温州威海兰州中山上班花费时间(分钟)24243725242518上班堵车时间(分钟)7665550知能迁移3

(2013·潍坊)随着我国汽车产业的发展，城市道路拥堵问题日益严峻．某部门对15个城市的交通状况进行了调查，得到的数据如下表所示：首页(1)根据上班花费时间，将下面的频数分布直方图补充完整；(2)求15个城市的平均上班堵车时间(计算结果保留一位小数)；某人欲从北京、沈阳、上海、温州四个城市中任意选取两个作为出发目的地，求选取的两个城市的堵车率都超过30%的概率．首页解

(1)补全的统计图如图所示：(2)平均上班堵车时间＝(14＋12×4＋11×2＋7×2＋6×2＋5×3＋0)÷15≈8.3(分钟)．首页则堵车率超过30%的城市有北京、沈阳和上海．从四个城市中选两个的方法共有6种(北京，沈阳)，(北京，上海)，(北京，温州)，(沈阳，上海)，(沈阳，温州)，(上海，温州).∵两个城市堵车率均超过30%的情况有3种：(北京，沈阳)，(北京，上海)，(沈阳，上海)，∴选取的两个城市堵车率都超过30%的概率为：首页题型分类

题型四概率与方程、函数综合题【例4】

(2013·恩施)一个不透明的袋子里装有编号分别为1、2、3的球(除编号以为，其余都相同)，其中1号球1

个，3号球3个，从中随机摸出一个球是2号球的概率为.(1)求袋子里2号球的个数；

(2)甲、乙两人分别从袋中摸出一个球(不放回)，甲摸出球的编号记为x，乙摸出球的编号记为y，用列表法求点A(x，y)在直线y＝x下方的概率．首页解

(1)设袋子里2号球的个数为x个．经检验：x＝2是原分式方程的解，∴袋子里2号球的个数为2个．首页1223333(1，3)(2，3)(2，3)(3，3)(3，3)－3(1，3)(2，3)(2，3)(3，3)－(3，3)3(1，3)(2，3)(2，3)－(3，3)(3，3)2(1，2)(2，2)－(3，2)(3，2)(3，2)2(1，2)－(2，2)(3，2)(3，2)(3，2)1－(2，1)(2，1)(3，1)(3，1)(3，1)(2)列表得：∵共有30种等可能的结果，点A(x，y)在直线y＝x下方的有11个，首页探究提高本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．首页题型分类

题型四概率与方程、函数综合题知能迁移4

(1)(