高中文科数学立体几何知识点总结

..ll//m立体几何知识点整理〔文科ml//m一．直线和平面的三种位置关系：αl线面平行方法二：用面面平行实现。l//l//αl符号表示：线面相交lβlαAα方法三：用平面法向量实现。

符号表示：线在面内nl若n为平面的一个法向量,nl且l则l//。lαα符号表示：二．平行关系：线线平行：l方法一：用线面平行实现。l//ll//mm面面平行：方法一：用线线平行实现。l//l'αlβml'm'mm//l,m且相交//方法二：用面面平行实现。l',且相交l//βll//mγmmα方法二：用线面平行实现。方法三：用线面垂直实现。l//若l,m,则l//m。m////方法四：用向量方法：l,m且相交βlm若向量l和向量m共线且lm不重合,则l//m。α线面平行：方法一：用线线平行实现。1/11..lAαCB方法三：用向量方法：若向量l和向量m的数量积为0,则lm。三．垂直关系：三．夹角问题。线面垂直：<一>异面直线所成的角：方法一：用线线垂直实现。

<1>范围：<0,90]

lAClABABABACAC,Al<2>求法：方法一：定义法。步骤：平移,使它们相交,找到夹角。PnAθOα方法二：用面面垂直实现。步骤：解三角形求出角。<常用到余弦定理>余弦定理：

βlmla

cmllcos2a2bc2θbα<计算结果可能是其补角>面面垂直：方法二：向量法。转化为向量方法一：用线面垂直实现。C的夹角βllθ<>计算结果可能是其补角：lABαABACABACcos方法二：计算所成二面角为直角。<二>线面角线线垂直：<1>定义：直线l上任取一点〔交点除外,作方法一：用线面垂直实现。mllmlmPO于O,连结AOAO为斜线PA在面内的射影,PAO<图中>为直线l与面所成的角。αP方法二：三垂线定理及其逆定理。POPθAOαAOlαlOAlPAl<2>范围：[0]2/11..0ll//当时,或当90时,ln1n2θ<3>求法：方法一：定义法。步骤1：作出线面角,并证明。步骤2：解三角形,求出线面角。步骤一：计算cosnn12nn12nn12<三>二面角及其平面角步骤二：判断与nn的关系,可能相等或12<1>定义：在棱l上取一点,两个半平面内分别作者互补。l的垂线〔射线m、n,则射线m和n的夹角为四．距离问题。二面角—l—的平面角。

1．点面距。方法一：几何法。m

PlPnAO<2>范围：[0]步骤P作PO于OPO即为所求。步骤：计算线段PO的长度。<直接解三角形；等<3>求法：体积法和等面积法；换点法>方法一：定义法。2．线面距、面面距均可转化为点面距。步骤1<三垂线定理>3．异面直线之间的距离步骤2：解三角形,求出二面角的平面角。方法一：转化为线面距离。方法二：截面法。m步骤1POA同时垂直于平面和,n则交线<射线>AP和AO的夹角就是二面角。如图,m和n为两条异面直线,n且步骤2：解三角形,求出二面角。m//m和n之间的距离可转化为直βP线m与平面之间的距离。θA方法二：直接计算公垂线段的长度。Oα方法三：公式法。方法三：坐标法<计算结果可能与二面角互补>。3/11..如图,AD是异面直线m和n的公垂线段,BaAmd

nm//,则异面直线m和n之间的距离为：cCm'Dbdc2abab222cos五．空间向量<一>空间向量基本定理AA1CDC1若向量a,b,c为空间中不共面的三个向量,则对空间中任意一个向量p,都存在唯一的有序实数对BB1、、z,使得pxayb。<二>三点共线,四点共面问题A,B,C三点共线OAxOByOC,且xy1当1xy时,A是线段BC的2A,B,C三点共线ABACA,B,,D四点共面OAxOByOCzOD,且xyz1当1xyz时,A是△BCD的3A,B,,D四点共面ABxACyAD<三>空间向量的坐标运算已知空间中A、B两点的坐标分别为：A<x,y,z>,B<x2,y2,2>则：111AB;dA,BAB若空间中的向量a<1,y1,1>,<2,y,z>bx22则abab4/11..abcosab六．常见几何体的特征及运算<一>长方体长方体的对角线相等且互相平分。若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为、、,则222cos+cos+cosαβγαβγ若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、、,则222cos+cos+cos若长方体的长宽高分别为、b、c,则体对角线长为,表面积为,体积为。<二>正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。<三>正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。<四>正多面体：每个面有相同边数的正多边形,且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。<只有五种正多面体><五>棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似,且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。<六>体积：V棱柱V棱锥<七>球定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。设球半径为R,小圆的半径为r,小圆圆心为O,球心O到小圆的距离为d,则它们三者之间的数量关系是。球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。球的表面积公式：体积公式：高考题典例考点1点到平面的距离5/11..例1如图,正三棱柱ABCABC的所有棱长都为2,D为111CC中点．1〔Ⅰ求证：AB⊥平面1ABD1AADB的大小；1〔Ⅲ求点C到平面ABD的距离．1解答过程〔Ⅰ取BC中点O,连结AO．△ABC为正三角形,AO⊥BC．正三棱柱ABC11中,平面ABC⊥平面BCCB,11AA1AO⊥平面BCCB11BO,在正方形1BBCC中,,D分别为11FB,CC1的中点,BO⊥BD,1AB⊥BD．1OCDC1在正方形ABBA中,11AB⊥AB,11AB⊥平面1ABD．1BB1〔Ⅱ设AB与1AB交于点G,在平面1ABD中,作1GF⊥AD于F,连结1AF,由〔Ⅰ得AB⊥平面1ABD．1AF⊥AD,∠AFG为二面角1AADB的平面角．1在△中,由等面积法可求得45AADAF,15又1AGAB,sin2102AG∠AFG12AF4545．所以二面角AADB的大小为arcsin1014．〔Ⅲ△中,ABD1,,,△1．BDD51B22SABD6S△BCD1在正三棱柱中,A到平面1BCCB的距离为3．11设点C到平面ABD的距离为d．1由VV,得ABCDCABD1111S3Sd△△BCDABD331,d3S2△BCDS△ABD12．点C到平面ABD的距离为212．考点2异面直线的距离例2已知三棱锥SABC,底面是边长为42的正三角形,棱SC的长为2,且垂直于底面.、D分别为BC、AB的中点,求6/11..CD与SE间的距离.解答过程：如图所示,取BD的中点F,连结EF,SF,CF,EF为BCD的中位线,EF∥CD,CD∥面SEF,CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离又线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF的距离,设其为h,由题意知,BC42,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点,CD126,EFCD6,DF2,SC22VSCEF1312EFDFSE2在RtSCE中,SESC232CF2在RtSCF中,SFSC4242301又EF6,S3由于VCSEFSCEFSSEFhSEF3,即13323h,解得3h23323故CD与SE间的距离为.3考点3直线到平面的距离例3．如图,在棱长为2的正方体AC中,G是1AA的中点,求BD到平面1GB1D的距离.1思路启迪：把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解.解答过程：解析一BD∥平面GB1D,1A1D1O1B1C1BD上任意一点到平面GB1D1的距离皆为所求,以下求H点O平面GB1D1的距离,GD

C1DAC,B1D11A,1D1平面11,111OAB又1D1平面GB1D1平面1ACC1GB1D1,两个平面的交线是G,作OH1G于H,则有OH平面GB1D1,即OH是O点到平面GB1D1的距离.11在OG中,S1OOAO222O.OG1227/11..又1126SOOGOHOGOHOH.32,1223即BD到平面GB1D1的距离等于263.解析二BD∥平面GB1D,1BD上任意一点到平面GB1D1的距离皆为所求,以下求点B平面GB1D1的距离.设点B到平面GB1D的距离为h,将它视为三棱锥1BGB的高,则1D11VBV,由于S2236,GB1DDGBBGBD111112114V222,1GBB1323h46263,即BD到平面GB1D的距离等于1263.小结：当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离所以求线面距离关键是选准恰当的点,转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点4异面直线所成的角例4如图,在Rt△AOB中,OAB,斜边AB4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转6A得到,且二面角BAOC的直二面角．D是AB的中点．〔I求证：平面COD平面AOB；D〔II求异面直线AO与CD所成角的大小．解答过程由题意,COAO,BOAO,zAEBOBOC是二面角BAOC是直二面角,CCOBO,又AOBOO,CO平面AOB,D又CO平面COD．平面COD平面AOB．〔II作DEOB,垂足为E,连结CEDE∥AO,CDE是异面直线AO与CD所成的角．在Rt△COE中,COBO2,11OEBO,2225CECOOE．xCOBy8/11..又DE1AO3．在Rt△CDE中,tan515CECDE2DE33．异面直线AO与CD所成角的大小为arctan153．小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择"特殊点",作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,如解析三一般来说,平移法是最常用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法同时要特别注意异面直线所成的角的范围：0.,2考点5直线和平面所成的角例5.四棱锥SABCDABCD为平行四边形,侧面SBC底面ABCD∠ABC45,AB2,BC22,SASB3．S〔Ⅰ证明SABCSD与平面SAB所成角的大小．CB解答过程：〔Ⅰ作SO⊥BCOAO,由侧面SBC⊥底面D

AAB,得SO⊥底面ABCD．S因为SASB,所以AOBO,又∠ABC45,故△AOB为等腰直角三角形,OAO⊥BO,由三垂线定理,得SA⊥BC．CB〔Ⅱ由〔Ⅰ知SA⊥BC,依题设AD∥BC,DA故SA⊥ADADBC22SA3,AO2,得SO1,SD11．△SA的面积2112SABSAAB．2122连结DB,得△DAB的面积1SABAD22sin1352设D到平面SAB的距离为h,由于VV,得DSABSABD11hSSOS,解得h2．1233设SD与平面SAB所成角为,则sinh222SD1111．所以,直线SD与平面SBC所成的我为arcsin2211．小结：求直线与平面所成的角时,应注意的问题是〔1先判断直线和平面的位置关系；〔2当直线和平面斜交时,常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角,②证明——论证作出的角为所求的角,9/11..③计算——常用解三角形的方法求角,④结论——点明直线和平面所成的角的值.考点6二面角例6．如图,已知直二面角PQ,APQ,B,C,CACB,CBAP,直线CA和平面所成的角为30证明BC⊥PQ45PAQ〔II求二面角BACP的大小．B过程指引在平面内过点C作CO⊥PQ于点O,连结OB．因为⊥,PQ,所以CO⊥,CHAPQ又因为CACB,所以OAOB．O

B而BAO45,所以ABO45,AOB90,从而BO⊥PQ,又CO⊥PQ,所以PQ⊥平面OBC．因为BC平面OBC,故PQ⊥BC．〔II由〔I知,BO⊥PQ,又⊥,PQ,BO,所以BO⊥．过点O作OH⊥AC于点H,连结BH,由三垂线定理知,BH⊥AC．故BHO是二面角BACP的平面角．由〔知,CO⊥,所以CAO是CA和平面所成的角,则CAO30,不妨设AC2,则AO3,3OHAOsin30．2在Rt△OAB中,ABOBAO45,所以BOAO3,于是在Rt△BOH中,BO3tanBHO故二面角BACP的大小为arctan2．OH

32小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱,③补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法,这也是解决无棱二面角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.10/11..考点7利用空间向量求空间距离和角例7．如图,已知ABCDABCD是棱长为3的正方体,1111D1A1点E在AA1上,点F在CC1上,且AE11．C1B1〔1求证：,,F,D1四点共面；〔2若点G在BC上,2BG,点M在3FEMADHBB上,GM⊥BF,垂足为1CBGH,求证：EM⊥平面BCCB；11〔3用表示截面EBFD和侧面1所成的锐二面角的大小,求tan．1过程指引如图,在1则AEDN1,DDNDN1ENCN上取点,使,连结,,1CF12．C1D1B1A1因为AE∥DN,ND∥CF,所以四边形ADNE,1CFDN都为平行四1FNE边形．从而ENAD,FD∥CN．1又因为