理论力学第12章 动能定理

Theoryof

Mechanics

理论力学第十二章动能定理自然界中物体系统运动状态的变化

---能量（energy）间的相互转换---热能到机械能,机械能到电能,电能到光能(热能）等

矢量形式

标量形式求解动力学问题动量定理动能定理能量（Energy）是基本量力（力偶）和动量（动量矩）是基本量；动量矩定理[学习重点]1、力的功的计算；2、刚体的动能计算；3、机械效率，功率的单位。4、理想约束：纯滚动时摩擦力的功；5、动能定理与机械能守恒定理的关系。6、三定理的综合应用第十二章动能定理§12-1力的功

§12-2刚体的动能计算

§12-3动能定理

§12-4功率功率方程

§12-5机械能守恒定律

§12-6物体系统的动力学问题举例

§12-1力的功力的功是力沿路程累积效应的度量。路程是指力其作用点的物体的路程。一．常力的功力的功是代数量。时,正功；时,功为零；时,负功。单位：焦耳（Ｊ）；二．变力的功

元功：变力在曲线上所做的功等于在此段路程中所有元功的总和代入元功的表达式，得功的总和，为

上式表明，作用于质点的合力在任一路程中所作的功，等于各分力在同一路程中所作的功的代数和。三．合力的功

质点M受n个力作用合力为则合力的功四．常见力的功

1．重力的功质点系：

质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。质点：重力在三轴上的投影：质点起止位置的高度差。

2．弹性力的功弹簧原长，在弹性极限内k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力。N/m,N/cm。弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。若m=常量,则注意：功的符号的确定。如果作用力偶m,且力偶的作用面垂直转轴

3．定轴转动刚体上作用力(力偶)的功设在绕z

轴转动的刚体上M点作用有力，计算刚体转过一角度时力所作的功。M点轨迹已知。4.任意运动刚体上力系的功

无论刚体作何运动，力系的功总等于力系中所有力作功的代数和。

对刚体而言，力系的简化和等效原理对动力学也适用。将力系向刚体上任一点简化，一般简化为一个力和一个力偶。由力系的等效原理，这个力和力偶所作的元功等于力系中所有力所作元功的和，有平面运动刚体说明:1.对任何运动的刚体,上述结论都适用;

2.C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立

3.计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。当质心由,转角由时,力系的功为已知:均质圆盘R,m,F=常量,且很大,使O

向右运动,f,初静止。

求:O走过S

路程时力的功。

例12-1

F

重力，摩擦力，法向约束力都不作功，只有力F作功，将力F向质心简化，得解：CFSPFNF§12-2刚体的动能计算2、质点系的动能1、质点的动能根据物体运动性质的不同，或仅仅需要知道运动物体的某些运动特征时，为了研究方便，算常把物体抽象为质点。或质点系。因此，在介绍刚体的动能计算之前，我们先来确定质点和质点系的动能。单位：J（焦耳），或

(牛顿米)（1）平移刚体的动能（2）定轴转动刚体的动能即

即

令刚体的质量

即:平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和.得速度瞬心为P（3）平面运动刚体的动能上面结论也适用于刚体的任意运动.例12-2

均质圆盘沿直线轨道作纯滚动。设圆盘重，半径R，某瞬时其质心C的速度为。求圆盘的动能。解：圆盘做平面运动，P为速度瞬心，圆盘的角速度

例

基本量计算(动量,动量矩,动能)将

两端点乘

,由于§12-3动能定理1、质点的动能定理因此得

上式称为质点动能定理的微分形式，即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。称质点动能定理的积分形式:在质点运动的某个过程中,质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功.积分之,有2、质点系的动能定理称质点系动能定理的微分形式:质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和.

由求和得称质点系动能定理的积分形式:质点系在某一段运动过程中,起点和终点的动能改变量,等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和.积分之,有1、理想约束

在许多情况下，约束反力的功之和为零，满足此条件的约束称为理想约束。2、常见的理想约束:△光滑固定面约束△光滑铰链或轴承约束△刚性连接约束△联接两个刚体的铰△柔软不可伸长的绳索约束当约束不是理想约束时，应当考虑摩擦力的功，此时可将摩擦力作为主动力来考虑。说明3、理想约束及内力做功

对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可.拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。理想约束反力的功约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。1．光滑固定面约束2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承3．刚体沿固定面作纯滚动4．联接刚体的光滑铰链（中间铰）5．柔索约束（不可伸长的绳索）

质点系内力的功

只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。

不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。例12-5已知:均质圆盘R,m,F=常量,且很大,使O向右运动,f,初静止。

求:O走过S路程时ω，。圆盘速度瞬心为C

解:将式(a)两端对t求导,并利用得例12-7已知:m,h,k,其它质量不计.求:解：物体为研究对象

由于弹簧的压缩量必定是正值，因此取正号，分析物体从位置Ⅰ到位置Ⅲ的整个过程已知：轮O

：R1

，m1,质量分布在轮缘上;均质轮C

：R2

，

m2

，纯滚动,初始静止;θ,M

为常力偶。求:轮心C

走过路程s时的速度和加速度例12-3轮C与轮O共同作为一个质点系解:式(a)是函数关系式，两端对t求导,得例12-5均质杆AB长l，质量为m，在水平位置处由静止释放如图所示。试求杆AB到达铅垂位置时点A的速度和加速度。解：分析杆的受力，有重力和约束力、，做功的力为杆的重力。杆AB可作定轴转动。由积分形式的动能定理代入动能定理要求A点的加速度，需要求出杆的角加速度。求杆的角加速度，可用两种方法：(1)在一般位置处列出动能定理表达式，通过求导得角加速度(2)用刚体统定轴转动微分方程求角加速度一般位置处，所有力的功为代入动能定理,wehave对时间求导当，，故(2)用刚体统定轴转动微分方程求角加速度在图13-15（c）所示位置，有注意：1．用动能定理求加速度时，必须写出—般位置（角度）处的动能定理表达式，再对等式进行求导。不能对某特定位置（角度）表达式求导。

2．由此比较可知，对于单个绕定轴转动刚体，用刚体定轴转动微分方程求角加速度较方便。此题的最简解法为：先用动能定理求；再用刚体统定轴转动微分方程求。[例1]

图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R,两盘中心线为水平线,盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)解：取系统为研究对象上式求导得：

例12-6

在绞车的主动轴I上作用一恒力偶M以提升重物，如图所示。已知重物的质量为m；主动轴I和从动轴II连同安装在轴上的齿轮等附件的转动惯量分别为J1和J2，传动比；鼓轮的半径为R。轴承的摩擦和吊索的质量均不计。绞车初始时静止，试求当重物上升的距离为h时的速度v及加速度α。解：取绞车和重物组成的质点系为研究对象。例12-7

行星齿轮传动机构,放在水平面内。动齿轮半径r,重P,视为均质圆盘；曲柄重Q,长l,作用一力偶,矩为M(常量),曲柄由静止开始转动；求曲柄的角速度(以转角的函数表示)和角加速度。解：取整个系统为研究对象根据动能定理，得将上式对t求导数，得§12-4功率功率方程一、功率：单位时间力所作的功称功率即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积.

由,得单位:W（瓦特）,1W=1J/s作用在转动刚体上的力的功率为二、功率方程称功率方程,即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点系的所有力的功率的代数和.或三、机械效率机械效率有效功率多级转动系统例12-7已知:若，求F的最大值。求:切削力F的最大值解:当时当时§13-5

机械能守恒定律

若质点在某空间内的任一位置都受到一定大小和方向的力的作用，则此空间称为力场（fieldofforce）。

一、势力场

1、力场

2、势力场

如质点在某一力场内运动时，力场对质点所所作的功仅与质点的起止位置有关，而与其运动路径无关，这种力场称为势力场。质点在势力场中所受到的力称为势力(保守力)，如重力、弹性力等。重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。

二、势能

在势力场中,质点从位置M运动到任选位置M0,有势力所作的功称为质点在位置M相对于位置M0的势能（potentialenergy），用V表示。

M0为基准位置，势能为零，称为零势能点。因而，势能具有相对性。

V仅与质点或质点质心的位置有关。在一般情形下，V是位置坐标的单值连续函数，称为势能函数。

在势力场中势能相等的各点所组成的平面称为等势面，可表示为：V(x,y,z)=C。由此可知，当质点沿任一等势面运动时，势力的功恒为零。三、机械能守恒定律

设质点系只受势力(或同时受到不作功的非有势力)作用，则而∴(*)说明(1)(*)式表明质点在势力场内运动时机械能保持不变，此即机械能守恒定律。(2)由于势力场具有机械能守恒的特性，因而势力场又称为保守力场。则势力又称为保守力。(3)若质点在非保守力的作用下产生机械运动，则机械能不再守恒，机械能的改变等于非保守力所作的功。（1）重力场中心势能（2）弹性力场的势能为零势能点。下面介绍几种常见的势能（3）万有引力场中的势能取零势能点在无穷远质点重力场势能函数[例1]

长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角和质心的位置表达）。解：由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心C铅垂下降。由于约束反力不作功,主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。初瞬时：由机械能守恒定律：将

代入上式，化简后得任一瞬时：例2

均质圆柱A的重量为，半径为R，放在足够粗糙的水平面上，其轴心O处连接一弹簧常数为k的水平拉伸弹簧，弹簧的另一端固定在墙上。圆柱上绕有质量不计的细绳，绳子绕过一重量为、半径为r的均质滑轮B，其另—端悬挂重量的物块C，使圆柱在地面上作纯滚动。若滑轮轴承的摩擦略去不计，整个系统从静止开始运动，起始时弹簧无变形，绳与滑轮间无相对滑动。试以物块的起始位置为x轴的原点，如图所示，建立物块的加速度与位移x间的关系式。解：[分析]系统的待求量为运动量，可用动能定理求解，因该系统为保守系统，亦可用机械能守恒定律求解。取系统为研究对象。受力分析：系统中作功的力为C块的重力和弹簧的弹性力。分析运动：

C块作直线运动，轮B绕轴Ol作定轴转动，轮A作平面运动，各物体的速度或角速度如图所示。求解方法有以下两种：

1.用动能定理求解系统初始静止

C物块下移x时，系统动能为

由于

所有力的功

知道

代入动能定理得

（a）式（a）两边对时间t求导2．用机械能守恒定律求解该系统机械能守恒

取平衡位置处为重力零势能点，弹簧原长为弹性力零势能点。初始位置

任意位置时

由机械能守恒

（b）式(a)和式(b)完全相同。注意：当系统中作功的力全为保守力时，系统机械能守恒，此时可用机械能守恒定律解题。但一定要指明零势能点，否则讲势能无意义。可用机械能守恒定律求解的题目一定可用动能定理求解。§12-6

物体系统的动力学问题举例动量定理（或质心运动定理）建立了动量的变化（或质心运动的变化）与外力系主矢的关系。它涉及到速度、时间和外力三种量。对于用时间表示的运动过程，通常使用动量定理求解。特别是已知运动求约束反力的问题，必须用动量定理（或质心运动定理）求解。

动量定理、动量矩定理和动能定理，从不同侧面阐明了物体机械运动的规律，用不同的物理量反映了质点或质点系运动的改变和作用力的关系，在求解动力学两类问题时，各有其特点。求解综合动力学问题时，需要针对具体问题进行受力分析和运动分析，弄清楚问题的性质和条件，再结合各定理所反映的规律，来选择适用的定理，或者联合运用定理求解。动量矩定理建立了质点系动量矩的变化与外力系主矩的关系。当质点系绕轴运动时，可考虑使用动量矩定理求解。如果已知运动，则可使用动量矩定理求解作用线不通过转轴的力。如果已知外力矩，则可使用动量矩定理求解质点系绕轴（或点）的运动。动能定理建立了质点系动能的变化与力的功的关系。它涉及到速度、路程和力三种量。对于用路程表示的运动过程，当已知力求质点系运动的速度（或角速度）、加速度（或角加速度）时，通常使用动能定理求解较为方便。

举例说明三定理的综合应用：

[例1]

两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度。讨论动量守恒定理＋动能定理求解。计算动能时，利用平面运动的运动学关系。解：由于不求系统的内力，可以不拆开。研究对象：整体分析受力：，且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。代入动能定理：

[例2]

均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。解：选系统为研究对象运动学关系：由动能定理：对ｔ求导，得例13-9

图（a）所示铰车鼓轮的半径为r，重为G1，重心与轴承O的中心相重合，在其上作用一力偶矩为M的常力偶，使半径为R，重为G2的滚子（鼓轮和滚子均视为均质圆盘）沿倾角为的斜面由静止开始向上作纯滚动。设绳子不能伸长且不计质量，求鼓轮由静止开始转过角时，滚子质心C的速度、加速度、绳子的拉力和轴承O处约束力。解：(1)取整个系统为研究对象，应用动能定理求滚子质心C的速度、加速度。

系统初始瞬时的动能系统终止瞬时的动能运动分析可知

则

系统具有理想约束，且内力功之和恒等于零。主动力的功只有滚子的重力G2和力偶矩为M的力偶作功，做功总和为根据质点系的动能定理

（1）

解得

将式（1）两端对t求一阶导数，得由于

可得滚子质心的加速度

（2）

(2)取鼓轮（包括绳子）为研究对象，其受力图如图13-20（b）所示。应用刚体绕定轴转动微分方程，求滚子对绳子的拉力。根据刚体绕定轴转动微分方程，可得而

代入上式得绳子的拉力

(3)

(3)仍以鼓轮（包括绳子）为研究对象，根据质心运动定理求轴承O处约束力。因鼓轮质心的加速度为零，故由质心运动定理的投影形式可得将式（3）代入，解得

例13-10

均质细长杆为l，质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小扰动，而倒下时，求AB杆刚刚达到地面时的角速度和地面的约束力。解：由于地面光滑，AB杆在运动中只受重力和地面法向反力作用，所有外力均为铅垂，倒下过程中，即水平方向合力等于零，则质心在水平方向的运动守恒。

由于杆初瞬时静止，质心的横坐标xC保持常数。因此，AB杆的质心将铅垂下落。

设杆向左滑动于任一角度P为杆的速度瞬心由运动学知，杆的角速度

杆的动能为杆的初瞬时动能为由于地面反力作功等于零，所以系统只有重力作功根据动能定理当时，解出杆刚刚到达地面时，受力及加速度如图所示，由刚体平面运动微分方程，得点A的加速度方向为水平

质心C的加速度为铅垂