理论力学第2章新

第二章

平面汇交力系与平面力偶系

平面汇交力系现实生活中往往有许多情况是力的作用线汇交于一点这样的力系称为汇交力系右图为为平面汇交力系平面汇交力系内容平面汇交力系的合成

研究方法几何法平面汇交力系的平衡解析法§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法

2.1.1平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则F3F2F1F4AabcdeF1F2F3F4FRabcdeF1F2F3F4FR分力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则。FRF12F123平面汇交力系合成的几何法

力的多边形法则1、各分力矢首尾相接；2、合力矢为封闭边，且合力的方向与各分力环绕力多边形的方向相反。abcdeF1F2F3F4FR结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。

用矢量式表示为：平面汇交力系合成的几何法

例教材P36习题2-1力系为平面汇交力系，可由几何法求合力。按比例量取，可求得合力矢的大小与方向。先作力多边形由平面几何知识可求得合力矢的大小与方向。F1F2F3FR近似计算精确计算平面汇交力系平衡的几何法

2.1.2平面汇交力系平衡的几何条件

平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零。用矢量式表示为：=0i∑FabcdeF1F2F3F4FR在平衡的情形下，力多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称为自行封闭的力多边形。

于是，平面汇交力系平衡的几何条件是：力多边形自行封闭.平面汇交力系合成的几何法

问题思考得出错误结论的原因何在？是不是力多边形自行封闭，刚体就平衡？刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？F1F3BACDF2F4已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计；求CD杆及铰链A的受力。分析：CD为二力杆，受力图如图示。由此平衡，只能得到FC=FD，而求不出任何一个量，由此可见，要求二力杆的力，必须借助于别的物体。在此题中，可取AB为研究对象，通过它给AB的力，求出FC，也可取整体为研究对象，通过销钉D给它的力，求出FD。例2-1平面汇交力系平衡的几何法

本题有两种解法，我们可采用其中任何一种方法求解。FCFD下面采用第一种方法求解，并用几何法。解：取AB杆为研究对象，受力图如图（a）。画封闭力三角形如图（b）。由图b中几何关系得：由图中几何关系得：平面汇交力系平衡的几何法

所以，解得：FCFFA图a图bFFCFA所以,CD杆受压，压力为28.3kN。1、取研究对象，画受力图。2、画封闭力多边形。3、根据力多边形的几何关系求解未知量。特别注意：几何法步骤总结平面汇交力系平衡的几何法

1、当受力图中未知力的方向画反时，要根据自行封闭的力多边形纠正过来。2、要求二力构件的内力，必须指明拉压。一.力在坐标轴上的投影§2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法（坐标法）平面汇交力系合成与平衡的解析法结论：力在某轴上的投影，等于力的大小乘以力与该轴正向间夹角的余弦。Fx=Fi.投影定义式平面汇交力系合成与平衡的解析法二.力沿轴的分解反之，当投影Fx

、Fy

已知时，则可求出力F的大小和方向：FxFxFyFy三、力的正交分解与力的解析表达式平面汇交力系合成与平衡的解析法xyOFFxFyij四、合力投影定理平面汇交力系合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。

表示为：合力投影定理xy由合力投影定理则，合力的大小为：方向为：作用点为力的汇交点。五.平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法22yxR(F)F+=(F)六.平面汇交力系的平衡方程平衡条件为：称为平面汇交力系的平衡方程。而故有利用平面汇交力系的平衡方程可求解两个未知量。22yxR(F)F+=(F)说明：相交的x轴、y轴不相互垂直，上述方程仍然是平面汇交力系平衡的充要条件。问题上述平衡方程是由直角坐标系推导出来的，对斜交的坐标系是否成立？由解析法求解平面汇交力系的平衡问题，选取的坐标轴不一定要相互垂直，斜交也可以，以利于解题为原则。求：此力系的合力。解：用解析法例2-2已知：图示平面共点力系；FR用解析法重解例2-1解：取AB杆为研究对象，受力图如图示。建立图示直角坐标系解得：由图中几何关系得：xy-FAcos+FCcos45=0-FAsin+FCsin45-F=01、取研究对象，画受力图2、建立坐标系，列方程3、解方程特别注意，若将FC画反，则求得的FC=-28.3kN，此时，只要在解完方程后，加以说明即可。说明方法如下：解析法步骤总结FC所求为负，说明FC的实际方向与图示方向相反，于是得知二力杆CD受压。30已知：例2-3

系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN。-FBA+F1sin30=0-F2cos30解得：-FBC-F1cos30=0-F2cos60解得：FBA、FBC所求为负，说明AB杆、BC杆均受压。F1F2FBAFBC30Bxy-求：系统平衡时，杆AB、BC受力。用解析法，建图示坐标系解：取滑轮B（或点B）为研究对象，假定两杆均受拉，受力图如图示。课堂练习如图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力P=212N，方向与水平面成=45角。当平衡时，BC水平，AD铅直，试求拉杆BC所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm（点E在铅直线DA上），又B、C、D都是光滑铰链，机构的自重不计。FBPFD解：(1)取制动蹬ABD为研究对象，受力如图示。xy(2)建立图示直角坐标系，并建立平衡方程。(3)解方程又解得所以拉杆BC所受拉力为750N。一、平面力对点之矩（力矩）2、力矩的表达式:

3、力矩的正负号规定：力使物体绕矩心逆时针转动时，力F对O点的矩取正值，反之为负。§2-3平面力对点之矩的概念及计算1、力矩的定义——力F的大小乘以该力作用线到点O的距离h，并加上适当正负号，称为力F对O点之矩。简称力矩。但有时力臂h不易求得，如下面讨论计算力矩的其它方法。二、平面汇交力系的合力矩定理

平面汇交力系合力对同平面内一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。称为平面汇交力系的合力矩定理。则O三、力矩与合力矩的解析表达式即得这就是计算力矩的解析表达式由这就是计算合力矩的解析表达式。FxFy先将力F分解为两个分力，由合力矩定理与力矩的定义式得：例2-4求:解法1:由合力矩定理求解已知:F=1400N,由定义求解解法2:hFFtFr§2-4平面力偶理论

平面力偶理论一.力偶和力偶矩1.何谓力偶?由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作(F,F')。力偶中两力所在平面称为力偶作用面。力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂。2.力偶矩

力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改变物体的转动状态。力偶对物体的转动效应用力偶矩来度量。平面力偶对物体的作用效应由以下两个因素决定：

(1)力偶矩的大小；

(2)力偶在作用面内的转向。力偶矩大小则若用M表示力偶矩，且规定逆转为正，顺转为负。可由力与力偶臂乘积F·d表示。在一个平面中描述力偶的作用时，可由逆时针转或顺时针转表示。力偶的转向平面中的力偶矩为代数量二.力偶与力偶矩的性质1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零。注意：力偶在轴上的投影是指两力在轴上投影的代数和，自然为零，所以，列任何投影方程时不考虑力偶。2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。简单说明如下：在力偶作用面内任取一点O1，则在力偶作用面内任取一点O2，则3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用效果不变。===2ABC=()FM¢,F2ABD=R()FMR¢,F2ABC=2ABD()FM¢,F=R()FMR¢,F====4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。思考从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子上的力P为什么能与M平衡呢？

PORM=已知：任选一段距离d三.平面力偶系的合成和平衡条件======结论平面力偶系合成为一合力偶，合力偶的力偶矩等于各分力偶的力偶矩的代数和。平面力偶系平衡的充要条件M=0即上式称为平面力偶系的平衡方程，利用该方程只能求解一个未知量。教材P31例2-5求：光滑螺柱A、B所受水平力。已知：解得解：取工件为研究对象，受力如图所示。FAFBFAl-M1-M2-M3=0例解：取整体为研究对象，受力如图示解得图示杆系，已知M、l。求A、B处约束力。MFBFA