概率的概念和古典概型

第二章事件的概率一、概率的统计定义

二、古典概率

三、几何概率

四、概率的公理化定义

第二章预备知识1.加法原理第m种方式有nm种方法,设完成一件事有m种方式：第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法,…无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n1+n2+…+nm

种方法.例如，某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3

+2

种方法则完成这件事共有种不同的方法.2.乘法原理设完成一件事有m个步骤:第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法,…；第m个步骤有nm种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有种打扮排列排列：从n个不同的元素中按顺序取r个排成一列称为一个排列。所有可能的排列记为,则由乘法原理得特别，当n=r时，称该排列为一个全排列，所有全排列的个数为例1

从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取五个组成五位数,问共能组成多少个五位数?解从六个不同数中任取五个组成五位数,相当于从六个数中任取五个数生成一个排列,因此,所有可能组成五位数共有例2

从0,1,2,3,4,5,这六个数字中任取四个,

问能组成多少个四位偶数?解组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或4,种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为可先选末位数,共种,前三位数的选取方法有无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k

次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式nn-1n-2n-k+1有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，共有nk种排列方式nnnn组合组合：从n个不同的元素中任取r个元素组成一组称为一个组合。所有可能的组合数记为种方由乘法原理，从n个元素中取r个生成的排列可分两步进行，首先从n个元素中取r个组成一组，共有法，然后再在取出的r个元素中进行全排列共有种方法，从而特别，当n

=r时,而且所以从n个元素中取r个元素组成的组合数为例3

从10名战士中选出3名组成一个突击队，问共有多少种组队方法？解:

按组合的定义，组队方法共有（种）特别，当n

=r时,而且所以从n个元素中取r个元素组成的组合数为第一节概率的概念对于事件发生的可能性大小，需要用一个数量指标去刻画它，这个指标应该是随机事件本身所具有的属性，不能带有主观性，且能在大量重复实验中得到验证，必须符合常情。我们把刻画事件发生的可能性大小的数量指标叫做事件的概率。频率的定义和性质定义

在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数

nA

称为事件A发生的频数。比值nA

/n

称为事件A发生的频率，并记成fn(A)性质(1)0

fn(A)1；

(2)fn(Ω)＝1；fn()=0(3)可加性：若AB＝

，则

fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).实验者德•摩根蒲丰K•皮尔逊K•皮尔逊nAfn(A)2512492562532512462440.5020.4980.5120.5060.5020.4920.488频率的稳定性n=500时

nnHfn(H)

204840401200024000

106120486019120120.51810.50960.50160.5005如:DeweyG.统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率,发现各字母出现的频率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.0006实践证明：当试验次数n增大时，fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率.概率的统计定义：在相同条件下重复进行的n

次试验中,事件A

发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动,

且随n越大摆动幅度越小,则称p为事件A

的概率,记作P(A).对本定义的评价优点：直观易懂缺点：粗糙模糊不便使用概率的性质：

非负性可加性

当n个事件两两互不相容时：P(A1

∪A2⋅⋅⋅∪An)=P(A1)+⋅⋅⋅+P(An)

规范性概率概率的定义在数学上概率是用公理化的形式定义的.各种教科书中出现的‘概率统计定义’,‘古典概率定义’,‘几何概率定义’都是一些描述性的说法,教师不应该过分地去揣摩,探究那里的用语,而应理解其实质.

概率的统计定义通常可以这样叙述：在相同的条件下做大量的重复试验,一个事件出现的次数k和总的试验次数n之比,称为这个事件在这n次试验中出现的频率.当试验次数n很大时,频率将‘稳定’在一个常数附近,n越大,频率偏离这个常数大的可能性越小.这个常数称为该事件的概率.概率对这个定义应该从整体上把握,重要的是掌握以下几点:我们所讨论的现象是可以做‘重复试验’的.并非所有不确定现象都是概率论研究的对象.频率和概率的关系.频率是随机的,是这n次试验中的频率.换另外n次试验一般说频率将不同.而概率是一个客观存在的常数.概率反映的是‘多次试验’中频率的稳定性。出现频率偏离概率较大的情形是可能的.这是随机现象的特性.设随机试验E有如下特征第二节古典概型

（等概性）每个可能的结果出现是等可能的;

则称E为古典概型。

（有限性）试验的可能结果只有有限个;古典概型概率的定义

设E为古典概型,Ω为E的样本空间,A为任意一个事件，定义事件A的概率为:设Ω={e1,e2,…en},由古典概型的等可能性，得又由于基本事件两两互不相容；所以P({e1})=P({e2})=...=P({

en})例1

设有100件产品，其中次品有30件。现按以下两种方式随机抽取2件产品：

放回抽样：第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。

不放回抽样：第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。分别就上面两种方式求：

1）两件都是次品的概率；

2）第一件是次品，第二件是正品的概率；古典概型的基本模型－摸球问题

解：易知本题的试验为古典概型设A={两件都是次品的概率}

B={第一件是次品，第二件是正品的概率}

有放回抽取:

不放回抽取:

如果一次取两件？例2

设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，问其中恰有k(kD)

件次品的概率是多少?又

在D件次品中取k件，所有可能的取法有在N-D件正品中取n-k件,所有可能的取法有

解：在N件产品中抽取n件，取法共有于是所求的概率为：此式即为超几何分布的概率公式。由乘法原理知：在N件产品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有不放回地逐次取m个球,与一次任取m个球算得的结果相同.古典概型的基本模型－分球入盒问题(1)容量不限问题1

把4个球放到3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可放任意多个球.4个球放到3个杯子的所有放法因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为(2)容量有限——至多只能放一个球问题2

把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能放一个球,求第1至第4个杯子各放一个球的概率.解第1至第4个杯子各放一个球的概率为例4

将n只球随机的放入N(Nn)

个盒子中

去，求每个盒子至多有一只球的概率(设

盒子的容量不限）。解：将n只球放入N个盒子中去,共有而每个盒子中至多放一只球, 共有那么随机选取n(<365)个人，他们的生日各不相同的概率为推广:假设每人的生日在一年365天中任一天是等可能的，即都是（这里365天作为盒子数N

）推广:假设每人在一栋18层楼的哪一层下电梯是等可能的，现有9人从一层上了电梯,求各人在不同楼层下电梯的概率?推广:假设每人在18个车站的哪一站下车是等可能的，现有9人从起点站出发,求各人在不同车站下车的概率?当n=64时，P=0.997当n=50时，P=0.970;当n=40时，P=0.891;例5.某城市电话号码升位后为六位数，且第一位为6或8。求（1）随机抽取的一个电话号码为不重复的六位数的概率；（2）随机抽取的电话号码末位数是8的概率。解:记(1)所求事件为A,(2)所求事件为B.古典概型的基本模型－取数问题解样本点总数：事件A的样本点数：2×9×8×7×6×5事件B的样本点数：例6

某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777故一周内接待12次来访共有周一周二周三周四周五周六周日周二周四12341222222

12次接待都是在周二和周四进行的共有故12次接待都是在周二和周四进行的概率为即百万分之0.3!这是一个非常小的概率！但是根据题意它确实发生了！这与实际推断原理矛盾！从而假设不正确，因此可以推测接待是有时间规定的。练习1.将一颗骰子接连掷两次，试求下列事件的概率：（1）两次掷得的点数之和为8；（2）第二次掷得3点.A表示“点数之和为8”事件B表示“第二次掷得3点”事件

解：设

课堂练习所以练习2

在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3个记录其纪念章的号码.(1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概率.解(1)总的选法种数为最小号码为5的选法种数为(2)最大号码为5的选法种数为故最大号码为5的概率为故小号码为5的概率为将4只球随机地放入6个盒子中去,共有64

种放法.练习3

将4只球随机地放入