材料力学-能量法

第十一

章

能量法1§11–1

杆件的应变能计算§11–2功的互等定理和位移互等定理§11–3卡氏定理§11–4虚功原理§11–5单位载荷法

§11–6计算莫尔积分的图乘法第十一章能量法能量法2利用与应变能概念相关的一些定理和原理，来解决结构的位移计算或与结构变形有关的问题的方法，称为能量法（energymethod)

能量法不计能量损耗，则根据功能原理有U=W3§11.1杆件的应变能计算一、杆件在基本变形时的应变能1、轴向拉压杆的应变能计算：能量法42、圆轴扭转时的应变能3、梁弯曲时的应变能能量法5二、杆件在组合变形时的应变能

小变形时，各基本变形的应变能可单独计算，然后相加，得到组合变性杆的总应变能。即：能量法

注意:应变能是力的二次函数，因此，引起同一基本变形的一组外力在杆内所产生的应变能，并不等于各力分别作用时产生的应变能的简单相加。6能量法例如：求图示简支梁的应变能。FMABC解：设F和M同时由零按比例加至终值。x（1）求支反力，列弯矩方程：（2）求应变能：（1）、（2）式代入（3）式得：7能量法FMABC变形(a)式得令则U1：F单独作用应变能U1U2U1U2诱导功诱导功U2：M单独作用应变能8能量法上三式说明：一组外力引起同一基本变形时，杆的总应变能，并不等于各力分别单独作用时产生的应变能的简单相加。另外，上三式还说明：杆件的应变能，只与最终的载荷状态有关，而与加载次序无关。FMABCFMABC同时加F和M先加M，再加F先加F，再加M9能量法又如：结论：应变能与加载次序无关。10[例11-1-1]用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能利用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？FaaABC能量法11例11-1-2

图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力F的作用，求A点的垂直位移。解：用能量法（外力功等于应变能）1、求内力能量法AFR123、外力功等于应变能2、变形能：能量法13§11.2功的互等定理和位移互等定理能量法F1AB12P2AB12F2F1AB12F2F2AB12F114线弹性体，载荷作功与加载次序无关，只取决于载荷的终值能量法F1AB12F2F2AB12F115能量法如图所示桁架，杆CD的长度l为1m，已知节点B受铅垂向下的力F=1kN作用时，杆CD产生逆时针方向的转角=0.01rad。试确定为使节点B产生铅垂向下的线位移=0.0008m，在节点C及D两处应加多大的力。并说明加力方向。解：如图11-4b所示，在点C及点D应加一对大小相等，方向相反，且均垂直于杆CD的力。根据功的互等定理：16§11.4虚功原理

能量法虚功原理又称为虚位移原理，在理论力学中，讨论过质点系的虚位移原理，它表述为，质点系平衡的充要条件是作用在质点系上的所有各力在质点系的任何虚位移上所作的总虚功等于零，即对于变形体，除了外力在虚位移上要作功外，内力在相应的变形虚位移上也要作功。前者称为外力虚功，用表示；后者称为内力虚功，用表示。变形体平衡的充分必要条件是作用于其上的外力系和内力系在任意一组虚位移上所作的虚功之和为零，即17能量法在结构中取出一微段dx，如图所示:(b)(a)(d)(c)外力在刚性虚位移上所作总虚功为零，只需考虑在变形虚位移上所作虚功：略去高阶微量，得外力虚功：18能量法内力虚功为：整个结构的内力虚功为：求和符号表示考虑结构中的所有杆件，若横截面上还存在扭矩，则上式应增加这一项。结构所有外力对于虚位移所作的虚功应为：而则有：即为虚功原理具体表达式19§11.5单位载荷法能量法由虚功原理可以得到计算结构位移的单位载荷法。如图所示简支梁，受已知载荷Fi（i=1,2,…n)作用，要求任意截面沿任意方向位移。F2F1FnA如，要求任一截面A的挠度Δ由单位力引起的内力分别记为：1A可设想先将载荷移去，在A处沿Δ方向加一单位载荷，原载荷作用下的位移作为虚位移，单位力看作实际载荷。则由虚功原理得：20能量法说明：（1）单位载荷法对线性、非线性及非弹性体均适用。（2）所求的位移及施加的单位力都是广义的。若Δ为线位移，则在欲求Δ处沿Δ方向加单位力；若Δ为角位移，则在欲求Δ处沿Δ转向加单位力偶。若Δ为两点间的相对线位移，则在欲求Δ处加一对方向相反的单位力；若Δ为两截面间的相对角位移，则在欲求Δ处加一对方向相反的单位力偶。（3）若求出的Δ为正，则说明所求的位移与单位力同向，反之，则相反。（4）对于细长杆件，剪力影响很小，第三项可略去不计。一般情况下，求结构中一点位移的单位载荷法的计算公式为：21能量法对于线弹性结构，材料服从胡克定律，小变形下，结构的位移与载荷成线性关系，则有上式常称为莫尔定理或莫尔积分。对于基本变形杆，莫尔定理的形式为：（1）拉压时：（2）扭转时：（3）弯曲时：对于桁架：那么，单位载荷法的计算公式可写为：22能量法F2F1FnAF0如图所示简支梁，受已知载荷Fi（i=1,2,…n)作用，要求任意截面沿任意方向位移。如：求任一截面A的挠度ΔA（a）实际载荷作用下（b）实际载荷前，在A处沿Δ方向先加一虚拟力F0莫尔定理的另一种证明方法23能量法F2F1FnF0A（c）在F0之后，再加实际载荷而由§11.1知：

由（a)、(b)两式得：

若令F0为单位载荷，即

F0=1，则有

即为莫尔定理或莫尔积分24莫尔定理是计算线弹性结构位移的一种有效方法。能量法说明：

Δ为广义位移。若Δ为线位移，则在欲求Δ处沿Δ方向加单位力；若Δ为角位移，则在欲求Δ处沿Δ转向加单位力偶。M(x)与

同样视为广义的内力，M(x)为外载引起的内力表达式；

为单位载荷引起的内力表达式；M(x)与

的定义域相同，否则应分段利用莫尔定理。25使用莫尔定理的注意事项：5、莫尔积分必须遍及整个结构。1、M(x)：结构在原载荷下的内力。3、所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。能量法2、

：去掉主动力，在所求广义位移

处，沿所求广义位移

的方向加广义单位力

时，结构产生的内力。4、M(x)与

的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。26例11-2-1

用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。3、求变形解：1、加单位载荷如图2、求内力x能量法274、求转角，重建坐标系（如图）能量法28例11-2-2

拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210GPa，G=0.4E，求B点的垂直位移。解：1、单位载荷如图2、求内力能量法293、求变形能量法30能量法例11-2-3

外伸梁受力如图，用单位力法求A截面转角。解：1、在A点加一单位力矩，如图2、求内力3、求变形31能量法例11-2-4

悬臂梁如图示，用单位力法求C点的挠度。解：1)在C点加一单位力，如图32能量法例11-2-5

用单位力法，求折杆D处水平方向的线位移。(各段EI相同)解:1)在D处加水平单位力,如图2)写出各段的弯矩方程3)求位移33能量法例11-2-6

用单位力法求曲杆A点的水平位移。解:1)在A点加水平单位力,如图2)写出弯矩方程3)求位移34能量法例11-2-7

用单位力法求刚架B处的转角。解:1)在B处加单位力偶,如图2)求反力,列出各段的弯矩方程35能量法例11-2-8

园截面折杆ABC(∠ABC=900),位于水平面内，已知材料的E，G。用单位力法求

C

截面的线位移和角位移。36能量法37能量法38能量法例11-2-9

各杆EA相同,杆长均为a,用单位力法求AB间相对位移。解:1)在A、B处加一对方向相反的单位力2）计算各杆的轴力3）求AB间相对位移39能量法例11-2-10

用单位力法求结构C点的y方向位移。解：1）在C处沿y方向加单位力2）求内力原结构中：BE、CDE不受力，支反力为零。图（a）的反力如图，各段受力如图（b），只考虑AC及AB的内力40能量法3）写出各段的弯矩4）求变形41§11.6计算莫尔积分的图乘法能量法等截面直杆，EI为常数，只须计算积分即可。MxcxdxCMxxxl长l的杆的M(x)图是曲线，设其面积为AΩ，

图是直线，设

，则：直杆在单位载荷作用下，

图一定是直线或折线。42能量法常见图形的面积和形心为置式中：AΩ

为M图的面积；为M图形心对应下的

图的值。43应用图乘法的注意事项：能量法应用图乘法求变形的解题步骤：①画M图；②加单位力，画

图；③代入图乘公式求解。①M、

图一律画在受拉侧，当M、

图同侧受拉时，AΩ

乘积为正，反之AΩ

乘积为负；②若

图为折线，应分段图乘；③若M、

图都是直线，则面积可取自任一个图形；④对于组合图形，将其分解为几个简单图形，分别计算再进行叠加。44例11-3-1

用图乘法求外伸梁D点的竖直位移，EI为常数。能量法aaa2qaqABDqa2C1C2C3qa2/21a解：1)用叠加法画M图计算M图面积：3)代入图乘公式求解2)加单位力，画

图45例11-3-2

用图乘法求刚架C截面的转角和铅垂位移，EI为常数。能量法解：1)画M图3)代入图乘公式求解aaqABCMqa2/22)加单位载荷画

图111146能量法解：1)画M图3)代入图乘公式求解例11-3-3

用图乘法求刚架AB间的铅垂方向相对位移。2)加单位载荷画

图471、下图所示阶梯状变截面杆受轴向压力P作用，其变形能U应为

:（Ａ）（Ｂ）

（Ｃ）（D）本章习题能量法一、选择题482、下图所示同一杆梁的三种载荷情况，试指出下列关系式中哪个是正确的

：（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（D）能量法493、下图所示梁的载荷图