材料力学B第4章弯曲内力

DEPARTMENTOFENGINEERINGMECHANICSKUST第四章

弯曲内力a)外力特征:受横向载荷的作用，即外力或外力偶的矢量方向垂直于杆轴.

弯曲：以轴线变弯为主要特征的变形形式。§4-1弯曲的概念和实例b)变形特征:

杆件的轴线由直线变为曲线.梁：以弯曲变形为主要变形的杆件.c)平面弯曲:

如果作用于杆件上的所有外力都在纵向对称面内，弯曲变形后的轴线也将位于这个平面内，这类弯曲称为平面弯曲。对称面弯曲的一些实例梁的简化力学模型:通常使用轴线来表示梁的力学模型.

§4-2受弯杆件的简化梁的支撑类型:1)固定端或夹紧支座2)铰支座3)滚动支座静定梁的三种类型:简支梁的一端是铰支座，另一端为滚动支座.1)简支梁2)悬臂梁悬臂梁一端固定另一端自由.3)外伸梁载荷类型均布载荷集中载荷简支梁q悬臂梁线性分布载荷载荷集度力偶qFM使用截面法计算弯曲内力FQM分割

选取替换平衡计算FQ和M.

FQ–称为剪力

M–称为弯矩FQ和M

即为弯曲内力§4-3剪力和弯矩弯曲内力的符号约定:弯矩的符号约定：剪力的符号约定:FQFQMM例4-1取1-1截面左边的梁段，根据平衡条件计算FQ1和M1.qqLab1122悬臂梁受力如图所示，计算1截面和2截面上的剪力和弯矩.解:

1求支反力xyqLFQ11M1x1MMFRMR2用截面法计算FQ1和M1取2-2截面左边的梁段，根据平衡条件计算FQ2和M2.qqLab11223用截面法计算FQ2

和M2xyqLFQ22M2x2MMFRMR若取2-2截面右边的梁段，计算FQ2和M2.qqLab1122xyFQ22M2x2MFRMRFRMR求弯曲内力的简便方法:

1)任意截面上的剪力在数值上等于该截面左侧或右侧梁段上所有外力的代数和。截面左侧梁段上向上的力或截面右侧梁段上向下的力产生正剪力，反之产生负剪力。

2)任意横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧或右侧梁段上所有外力对截面形心之矩的代数和。向上的力产生正弯矩，向下的力产生负弯矩。3)如果取截面的左边梁段研究，则顺时针转向的力偶在截面上产生正弯矩；取截面的右边梁段研究，则逆时针转向的力偶在截面上产生正弯矩。反之产生负弯矩。§4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图描述内力的变化规律：（1）数学方法—剪力方程和弯矩方程；（2）几何方法—剪力图和弯矩图。剪力方程：弯矩方程：内力方程以坐标(x,FQ)

和(x,M)表示剪力和弯矩沿轴线变化的图线称为剪力图和弯矩图。x

表示梁截面的位置。FQ和M分别表示剪力和弯矩的大小。解：

①计算约束反力.②写出内力方程PYOL③根据方程画内力图.M(x)xFQ(x)FQ(x)M(x)xxP–PLMO例4-2

写出梁的内力方程，并画内力图。画内力图的方法:

2)用简便方法写出距原点为x的任意横截面上的剪力和弯矩，即为剪力方程和弯矩方程。3)根据内力方程确定图线形式，将特征点相连即可得内力图。

1)一般将梁的左端点定为x轴的原点，坐标指向右。FQ(x)xM(x)x–qL例4-3写出梁的内力方程，并画内力图。解：

①写出内力方程.②根据方程画内力图.LqxM(x)FQ(x)RARBL解：

①计算约束反力.②写出内力方程.③根据方程画内力图.abAB例4-4图示简支梁受一集中力F作用，试作此梁的内力图。CAC段：CB段：RARBL解：

①计算约束反力.②写出内力方程.③根据方程画内力图.abAB例4-5图示简支梁受一集中力偶M作用，试作此梁的内力图。CAC段：CB段：Mxdx考虑图示受力情况的简支梁，在任意位置x

选取微段dx

（微元）作为自由体。分布载荷方向向上为正。将平衡方程应用于自由体受力图。q(x)FMdxq(x)FQFQ+dFQM(x)M(x)+dM(x)§4-5剪力、弯矩与分布载荷集度之间的微分关系根据微元的平衡条件略去二阶小量。dxq(x)FQFQ+dFQM(x)M(x)+dM(x)因此可以建立载荷与剪力和弯矩间的微分关系：载荷与剪力和弯矩间的微分关系：反映在内力图上：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处的载荷集度的数值；弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处的剪力的数值。以上关系可用下面的图表表示外力无外力作用q=0q>0q<0剪力图特点CFCmxFQFQ>0FQFQ<0x斜直线递增函数xFQxFQ递减函数xFQCFQ1FQ2FQ1–FQ2=F从左侧向右侧突降xFQC无变化斜直线xM递增函数xM递减函数曲线Mx下凹xM隆起由左到右的折角xM与F相同剪力、弯矩与外力之间的关系弯矩图特点均布载荷集中力集中力偶水平直线右左到右突变下降MxM1M2内力图的一些特点:

2)在集中力作用点，无限靠近的两侧横截面上的剪力值不相等，即剪力图不连续而发生突变，突变跳跃值等于集中力的数值。而弯矩图却是连续的。3)在集中力偶作用点，无限靠近的两侧横截面上的弯矩值不相等，即弯矩图不连续而发生突变，突变跳跃值等于集中力偶矩的数值。而剪力图却是光滑连续的。

1)无限靠近端部的横截面上，剪力和弯矩在数值上等于作用在端部的集中力和集中力偶矩的数值。4)在均布载荷的端点处，剪力图连续但不光滑，弯矩图光滑连续。5)在弯矩的极值点处，剪力值为零，弯矩方程关于x的一阶导数等于剪力方程。控制截面—内力遵循某一种作用规律的梁段的两端以下可以作为控制截面

集中力作用点的两侧；

力偶作用点的两侧；

分布力作用段起始点和结束点的截面.确定变化范围—使用控制截面解:

(1)计算控制截面上的内力qAaaqa例4-6

用直接作图法画出梁的内力图.FQxqa2qa–xM左端：点A：右端：(2)根据微分关系画内力图.端点A：B点左侧：B点右侧：