山东农业材料力学第4章杆件的变形和刚度

第4章杆件的变形与刚度

第4章杆件的变形与刚度

刚度是指构件抵抗变形的能力。机械上承受扭转的轴过大，会影响工作精度。平面弯曲时，梁的轴线将弯曲成平面曲线，如果变形太大，也会影响构件正常工作。因此，对机器中的零件或部件以及土木工程中的结构构件设计时，除了满足强度要求外，还必须满足一定的刚度要求，即将其变形限制在一定的范围内。为此，必须分析和计算杆件的变形。另一方面，某些机械零件或部件，则要求有较大的变形，以减少机械运转时所产生的振动，汽车中的钣簧即为一例。这种情形下也需要研究变形。

第4章杆件的变形与刚度

此外，求解静不定杆、轴、梁问题，也必须考虑杆件的变形以建立补充方程，再与静力学平衡方程联立求解。本章将在前面知识的基础上，介绍轴向拉压杆的绝对变形和相对变形；承受扭转的圆轴的相对扭转角和刚度设计问题；建立梁的挠度曲线微分方程，利用微分方程的积分以及相应的边界条件确定挠度曲线方程，并介绍工程上常用的计算梁变形的叠加法以及梁的刚度设计问题。在此基础上，还将讨论简单的轴向拉压杆、轴和梁的静不定问题的基本求解方法。第4章杆件的变形与刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算☆扭转变形与刚度☆弯曲变形与刚度☆简单超静定问题

第4章杆件的变形与刚度

理解杆件变形和刚度计算的意义。教学基本要求：掌握常见拉压、扭转、弯曲的变形计算及刚度验算。掌握简单超静定问题的求解方法重点：难点：小挠度微分方程的推导及应用。拉压变形计算及拉压简单超静定计算第4章杆件的变形与刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算第4章杆件的变形与刚度

1、轴向拉(压)杆的纵向变形

绝对变形

纵向线应变--每单位长度的变形度量，无量纲相对变形

长度量纲FP

FP

h1ll1h当杆件发生均匀变形时：☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算第4章杆件的变形与刚度

当杆件因荷载或截面尺寸变化的原因而发生不均匀变形时，不能用总长度内的平均线应变代替各点处的纵向线应变。xyzCAOBDxAB'xDx+Ddxx截面处沿x方向的纵向平均线应变为

x截面处沿x方向的纵向线应变为线应变以伸长时为正，缩短时为负。

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☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算荷载与变形量的关系——胡克定律引进比例常数E

FP

FP

h1ll1h实验结果表明：在弹性范围内，杆的伸长量l与杆所承受的轴向载荷成正比,与杆长成正比，与横截面面积成反比。☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算第4章杆件的变形与刚度

E

—弹性模量，量纲与应力相同，拉（压）杆的胡克定律EA

—杆的拉伸（压缩）刚度。单位为Pa；FP

FP

h1ll1h第4章杆件的变形与刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算称为单轴应力状态下的胡克定律

即FP

FP

h1ll1h第4章杆件的变形与刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算这时可见，无论变形均匀还是不均匀，正应力与正应变之间的关系都是相同的。第4章杆件的变形与刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算当拉、压杆有二个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后按上式分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量(或缩短量)：

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☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算当轴向内力沿轴线分布不均匀时：可以先求微段的伸长量，然后沿整个杆长积分。第4章杆件的变形与刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算2、横向变形的计算横向绝对变形横向线应变FP

FP

h1ll1h或或第4章杆件的变形与刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，一点处的纵向线应变e

与横向线应变e的绝对值之比为一常数：或

μ

-----横向变形因数或泊松比FP

FP

dll1d1第4章杆件的变形与刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算低碳钢（Q235）：第4章杆件的变形与刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算一阶梯状钢杆受力如图，已知AB段的横截面面积A1=400mm2，BC段的横截面面积A2=250mm2,材料的弹性模量E=210GPa。试求：AB、BC段的伸长量和杆的总伸长量。FP=40kN

CBA

B'C'解：由静力平衡知，AB、BC两段的轴力均为l1=300l2=200第4章杆件的变形与刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算【例4-1】故FP=40kNCBA

B'C'l1=300l2=200第4章杆件的变形与刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算AC杆的总伸长F=40kNCBA

B'C'第4章杆件的变形与刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算变截面直杆，ADE段为铜制,EBC段为钢制；在A、D、B、C等4处承受轴向载荷。已知：ADEB段杆的横截面面积AAB＝10×102mm2，BC段杆的横截面面积ABC＝5×102mm2；FP＝60kN；铜的弹性模量Ec＝100GPa，钢的弹性模量Es＝210GPa；各段杆的长度如图中所示，单位为mm。试求：直杆的总变形量。

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☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算【例4-2】解：1．

作轴力图由于直杆上作用有4个轴向载荷，而且AB段与BC段杆横截面面积不相等，为了确定直杆横截面上的最大正应力和杆的总变形量，必须首先确定各段杆的横截面上的轴力。应用截面法，可以确定AD、DEB、BC段杆横截面上的轴力分别为：FNAD＝－2FP＝120kN；FNDE＝FNEB＝－FP＝60kN；FNBC＝－FP＝60kN。第4章杆件的变形与刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算2．计算直杆的总变形量

直杆的总变形量等于各段杆变形量的代数和。

：

上述计算中，DE和EB段杆的横截面面积以及轴力虽然都相同，但由于材料不同，所以需要分段计算变形量。

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☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算图示杆系，荷载F=100kN,求结点A的位移A。已知两杆均为长度l=2m，直径d=25mm的圆杆，=30º，杆材(钢)的弹性模量E=210GPa。解：1、求两杆的轴力。得xyFN2FN1

FABCaa12aaAF第4章杆件的变形与刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算【例4-3】此位置既应该符合两杆间的约束条件，又满足两杆的变形量要求。关键步骤——如何确定杆系变形后结点A的位置？ABCaa12A'21A2A1aaA'A''第4章杆件的变形与刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算2、由胡克定律得两杆的伸长：根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点A只有竖向位移。FABCaa123、计算节点位移第4章杆件的变形与刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算即

由变形图即确定结点A的位移。由几何关系得21A2A1aaA'A''代入数值得第4章杆件的变形与刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算杆件几何尺寸的改变，标量此例可以进一步加深对变形和位移两个概念的理解。变形位移结点位置的移动，矢量与各杆件间的约束有关，实际是变形的几何相容条件。二者间的函数关系ABCaa12A'第4章杆件的变形与刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算DFBαaL/2l/2l/2刚性横梁AB由斜杆CD吊在水平位置上，杆CD的抗拉刚度为EA，B点处受F作用，试求B点的位移δB。AB1【解】【例4-4】第4章杆件的变形和刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算等直杆受自重及集中力F作用。杆的长度为l，横截面面积为A，材料的容重为，弹性模量为E，许用应力为[]。试建立考虑杆的自重时的强度条件，并求杆的伸长。lFmmFxmmFN(x)Ax+F+AlFFNmax=F+Al强度条件为或【解】【例4-5】第4章杆件的变形和刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算lFmmFxmmFN(x)AxFN(x)FN(x)+dFN(x)dx

AdxFN(x)=F+AxW=Al为杆的自重【解】第4章杆件的变形和刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算[讨论]若l=10m,γ钢=7.644kN/m3，[σ]=170MPa

γ砖=1.764kN/m3，[σ]=1.2MPa第4章杆件的变形和刚度

试计算的比值。通常即可忽略自重对杆件强度的影响。☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算3.拉压杆的刚度条件在变形控制中的应用△l≤[△l]在实际工程中，有时利用拉压的刚度条件来确定杆件的承载力或杆件的横截面积。第4章杆件的变形与刚度

☆轴向拉压杆件的变形与刚度计算☆扭转变形与刚度第4章杆件的变形与刚度

1.受扭圆轴的相对扭转角圆杆受扭矩作用时，dx微段的两截面绕轴线相对转动的角度称为相对扭转角：沿轴线方向积分，得到第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相对扭转角为：对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的圆轴，阶梯状圆轴，轴两端面的相对扭转角为：当扭矩沿轴线分布不均匀时：可以先求微段的相对扭转角，然后沿整个杆长积分。第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度图示钢制实心圆截面轴，已知：Me1=1592N•m,Me2=955N•m，Me3=637N•m，d=70mm，lAB=300mm，lAC=500mm，钢的切变模量G=80GPa。求横截面C相对于B的扭转角jBC。1、先用截面法求各段轴的扭矩：BA段AC段Me1ⅡⅠMe3

BACMe2

dlABlAC【解】【例4-6】第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度2、各段两端相对扭转角：jCAjABMe1ⅡⅠMe3

BACMe2

dlABlAC第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度3、横截面C相对于B的扭转角：jABjCAMe1ⅡⅠMe3

BACMe2

dlABlAC第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度单位长度的相对扭转角在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转变形的程度，因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转变形，单位长度扭转角即扭转角的变化率。单位长度相对扭转角：第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度圆轴扭转的刚度条件

为了机械运动的稳定和工作精度，机械设计中要根据不同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计。

扭转刚度设计是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范围内，即必须使构件满足刚度设计准则或称刚度条件：

对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，刚度设计准则又可以写成：

第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度其中，[]

为单位长度上的许用相对扭转角，其数值根据轴的工作要求而定.例如，用于精密机械的轴

[]

＝(0.25~0.5)()／m；一般传动轴[]

＝(0.5~1.0)()／m；刚度要求不高的轴[]

＝2／m。

根据刚度条件，也可以进行三方面的计算：刚度校核、确定许用荷载、设计截面。第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度

需要注意的是:刚度设计中要注意单位的一致性。上式不等号左边的单位为rad/m；而右边通常所用的单位为()／m。因此，在实际设计中，若不等式两边均采用rad／m，则必须在不等式右边乘以（π／180）；若两边均采用()／m，则必须在左边乘以（180／π）。第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度

钢制空心圆轴的外直径D＝100mm，内直径d＝50mm。若要求轴在2m长度内的最大相对扭转角不超过1.5()，材料的剪切弹性模量G＝80.4GPa。1、求该轴所能承受的最大扭矩；2、确定此时轴横截面上的最大剪应力。

1．确定轴所能承受的最大扭矩根据刚度设计准则，有【解】【例4-7】第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度1．确定轴所能承受的最大扭矩根据刚度设计准则，有

由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为空心圆轴截面的极惯性矩轴所能承受的最大扭矩为第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度轴所能承受的最大扭矩为＝9.688×103N.m＝9.688kN.m第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度

计算外力偶矩计算抗扭截面系数Wt一电机的传动轴直径d=40mm，轴传递的功率P=30kW，转速n=1400r/min。轴由45号钢制成，其许用剪应力[]=40MP，剪变模量为G=80GPa，许可单位长度扭转角[θ]=2/m。试校核该轴的强度和刚度【解】【例4-8】第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度计算θ计算IP所以,此轴同时满足强度条件和刚度条件。计算第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度现计算Wt和ＩP传动轴是由45号钢制成的空心圆截面轴，其内外径之比为

=1/2。Mxmax=9.56kNm钢的许用剪应力,[]=40MP，剪变模量为G=80GPa，许可单位长度扭转角[θ]=0.3/m。试根据强度条件和刚度条件选择轴的直径。【解】【例4-9】第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度满足

刚度条件

所必需的外径由解得满足

强度条件

所必需的外径由第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度空心圆轴外径不应小于125.5mm，内径不应小于

62.75mm。在此题中，控制截面尺寸的是刚度条件。解得第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度

轴上有三个齿轮,轴的转速为n=183.5r/min,G=80GPa。齿轮2的传动功率P2=0.756KW，齿轮4的传动功率P4=2.98KW。轴的[]=40MPa，[θ]=1.5°/m。设计轴的直径。m2m3m4计算齿轮2和4上的外力偶【解】【例4-10】第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度m2m3m4画轴的扭矩图+-39.3N.m155N.mMx图第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度+-39.3N.m155N.m由强度条件由刚度条件取D=30mmMx图第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度圆轴如图所示。已知d1=75mm，d2=110mm。材料的许用剪应力[]=40MPa，轴的许用单位扭转角,[θ]=0.8°/m，剪切弹性模量G=80GPa。试校核该轴的扭转强度和刚度。d2d1ABC8kN.m5kN.m3kN.m【例4-11】第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度d2d1ABC8kN.m5kN.m3kN.m画扭矩图+8kN.m3kN.mMx图【解】第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度d2d1ABC8kN.m5kN.m3kN.m+8kN.m3kN.mMx图第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度d2d1ABC8kN.m5kN.m3kN.m+8kN.m3kN.mMx图第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度图示等直杆，已知直径d=40mm，a=400mm，材料的弹模量G=80GPa，DB=1°。试求：(1)AD杆的最大剪应力；(2)

扭转角aa2am2m3mABCD【例4-12】第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度画扭矩图aa2am2m3mABCD+m2m3m计算外力偶矩mm=292kN.m(1)AD杆的最大剪应力Mxmax=3mMx图【解】第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度aa2am2m3mABCD+m2m3mMx图(2)扭转角第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度钻探机杆外径D=60mm,内径d=50mm,功率P=7.35kW,转速n=180r/min，钻杆入土深度l=40m，G=80GPa，[τ]=40MPa。设土壤对钻杆的阻力沿长度均匀分布。试求：(1)单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M；(2)对钻杆进行强度校核；(3)求A、B两截面相对扭转角。【例4-13】第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度【解】外力矩单位长度阻力矩校核强度求相对扭转角第4章杆件的变形与刚度

☆

扭转变形与刚度第4章杆件的变形与刚度

☆弯曲变形与刚度上一章的分析结果表明，在平面弯曲的情形下，梁的轴线将弯曲成平面曲线。如果变形太大，也会影响构件正常工作。因此，对机器中的零件或部件以及土木工程中的结构构件设计时，除了满足强度要求外，还必须满足一定的刚度要求，即将其变形限制在一定的范围内。为此，必须分析和计算梁的变形。另一方面，某些机械零件或部件，则要求有较大的变形，以减少机械运转时所产生的振动。汽车中的钣簧即为一例。这种情形下也需要研究变形。此外，求解静不定梁，也必须考虑梁的变形以建立补充方程。第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度

本节将在上一章得到的曲率公式的基础上，建立梁的挠度曲线微分方程；进而利用微分方程的积分以及相应的边界条件确定挠度曲线方程。在此基础上，介绍工程上常用的计算梁变形的叠加法。第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度1）基本概念取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为x轴，横截面的铅垂对称轴为y轴，xy平面为纵向对称平面1.梁的变形计算x

yABFP第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度转角y挠度xA

yB'CxBFPC'第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移。梁的位移包括三部分：横截面形心处的铅垂位移，称为挠度用y表示；变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角用表示；横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移，用u表示。

在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度y相比为高阶小量，故通常不予考虑。第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度

挠度（

y

）:横截面形心C(即轴线上的点)在垂直于x轴方向

的线位移，称为该截面的挠度。转角（）：横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角

度，称为该截面的转角。度量梁变形后横截面位移的两个基本量：第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线（deflectioncurve）。挠曲线方程为:挠度与转角的关系：BxA

y转角B'y挠度CC'挠曲线转角方程：x式中，x为梁变形前轴线上任一点的横坐标，y、分别为该点的挠度和转角。第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度ABx

y转角B'y挠度CC'挠曲线挠度和转角符号的规定挠度：向下为正，向上为负。转角：顺时针转为正，逆时针转为负。第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度横力弯曲时,M和都是x的函数。略去剪力对梁的位移的影响,则纯弯曲时中性层处曲率与弯矩的关系为2)

梁的挠曲线近似微分方程(小挠度微分方程)及其积分法求梁的变形数学中的曲率公式第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度小挠度情形下:式中的正负号与y坐标的取向有关。≈0第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度MMoxyM<0oxyMMM>0在规定的坐标系中,x轴水平向右为正,y轴竖直向下为正。曲线向上凸时:y>0,M<0曲线向下凸时：y<0,M>0因此,M与y的正负号正好相反，所以第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度近似原因:(1)略去了剪力的影响;(2)略去了y2项。梁的弹性挠曲线近似微分方程(小挠度微分方程)第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度再积分一次,得挠曲线方程上式积分一次得转角方程若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度AB(a)AB(b)在简支梁中，左右两铰支座处的挠度yA

和yB

都应等于零。在悬臂梁中，固定端处的挠度yＡ和转角A都应等于零等等。式中积分常数C1

、C2可通过梁挠曲线的边界条件（支撑条件和连续条件）来确定。第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度BlAabCFP

连续条件：取左边或取右边为脱离体时，C截面的挠度和转角相等第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度思考题：图示承受集中力的细长简支梁，在弯矩最大截面上，沿加载方向开一小孔，若不考虑应力集中影响，关于小孔对梁强度和刚度的影响，有如下论述，试判别哪一种是正确的.（A）大大降低量的强度和刚度；（B）对强度有较大影响，对刚度的影响很小可以忽略不计。（C）对刚度有较大影响，对强度的影响很小可以忽略不计。（D）对强度和刚度的影响都很小，都可以忽略不计。第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度

fmax

和最大转角max。弯矩方程为ABxyx挠曲线的近似微分方程为FP第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度【解】【例4-14】对挠曲线近似微分方程进行积分,得边界条件为:C1=0及C2=0将边界条件代入(3)(4)两式中,可得ABxyx第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度ABxyx将已确定的积分常数代入(3)(4)两式中,即得梁的转角方程和挠曲线方程分别为max

及fmax都发生在自由端截面处第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度fmax和最大转角max。

由对称性可知梁的两个支反力为ABxyqFAyFBy第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度【解】【例4-15】此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为ABxyqxFAyFBy第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度边界条件为:将边界条件代入(c),(d)两式得第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度

梁的转角方程和挠曲线方程分别为AABxyqxC在和处转角的绝对值最相等，且都是最大值FAyFBy第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度在梁跨中点

l/2

处有

最大挠度值AABxyqxC说明:

积分常数C1和C2

几何意义FAyFBy第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度将x=0代入得式中，和分别代表坐标原点处截面的转角和挠度。第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力FP的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大挠度和最大转角。此梁的两个支反力为ABFPD12abFAyFBy第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度【解】【例4-15】两段梁的弯矩方程分别为ABFPD12abFAyFBy第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度两段梁的挠曲线方程分别为12挠曲线方程转角方程挠度方程(0«

x«a)(a«x«)D点的连续条件：在x=a

处边界条件在处，在x=0处，第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度代入方程可解得:将积分常数代入后,即得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下1段2段第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度将x=0和x=l分别代入转角方程左右两支座处截面的转角当a>b时,右支座处截面的转角绝对值为最大第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度简支梁的最大挠度应在处先研究第一段梁，令得当a>b时，最大挠度确实在第一段梁中梁中点C处的挠度为第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度结论:在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的.用积分法计算梁变形时应遵循的两个规则对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程。只增加了（x-a）的项。对（x-a）的项作积分时，应该将（x-a）项作为积分变量。从而简化了确定积分常数的工作。第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度积分法小结

确定约束力,判断是否需要分段以及分几段

分段建立挠度微分方程

微分方程的积分

利用约束条件和连续条件确定积分常数

确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角

分段写出弯矩方程第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度叠加原理：梁的变形微小，且梁在线弹性范围内工作时，梁在几项荷载（可以是集中力,集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。当每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿y轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时,则叠加就是代数和。这就是叠加原理。3）叠加法计算梁的变形（转角和挠度）第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度

叠加法应用于多个载荷作用的情形

叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形

第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。叠加法应用于多个载荷作用的情形

第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度AqCB一抗弯刚度为EI的

简支梁受荷载如图所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度fC和支座处横截面的转角A,B。m(c)ABC将梁上荷载分为两项简单的荷载，如图。b,c所示。(b)AqCBm第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度【解】【例4-16】先从表中查出两者分别作用时梁的相应位移，然后按叠加原理求出其代数和，即得所求的位移AqCBm(c)ABC(b)AqCBm第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度已知：简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度wC；B截面的转角B第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度【例4-17】1.将梁上的载荷变为3种简单的情形。第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度【解】2.由挠度表查得3种情形下C截面的挠度；B截面的转角。第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度3.应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加将上述结果按代数值相加，分别得到梁C截面的挠度和支座B处的转角:

第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加法。

叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形

第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度和转角wC和C第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度【例4-18】1.首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形

为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。

第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度【解】分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。于是，由挠度表中关于承受均布载荷悬臂梁的计算结果，上述两种情形下自由端的挠度和转角分别为

2．再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠度和转角。

第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度

两种情形下自由端的挠度和转角分别为

2．再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠度和转角。

第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度3．将简单载荷作用的结果叠加

第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度试利用叠加法，求图a所示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度fC

和两端截面的转角A,B。图a可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加。(a)ABCqABCAB第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度【解】【例4-19】反对称荷载作用下，可将AC段和BC段视为受均布线荷载作用且长度为l

/2的简支梁,因此正对称荷载作用下，有AB（b）BCA（c）第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度将相应的位移进行叠加,即得第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度一抗弯刚度为EI的外伸梁受荷载如图a所示,

试按叠加原理并利用附表,求截面B的转角B以及A端和BC段中点D的挠度fA和fDABCDa2qq将外伸梁沿B截面截成两段，将AB

段看成B端固定的悬臂梁，BC

段看成简支梁。a2a第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度【解】【例4-20】2qAB2qaB截面两侧的相互作用力为：2qa,就是B截面的剪力和弯矩。ABCDa2qqa2a2qaqBCDA2qAB2qaABCDa2qqa2a简支梁BC的受力情况与外伸梁AC的BC段的受力情况相同。因此，由简支梁BC求得的QB

及fD就是外伸梁AC的QB及fD。2qaqBCDA第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度BCD2qa作用在支坐处，不引起梁的变形。简支梁BC的变形就是和均布荷载q分别引起变形的叠加。简支梁上有三项荷载：2qa,均布荷载q求和qBCD2qaqBCD2qa第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度BCD求和qBCD2qaqBCD2qa查表得：由叠加原理得第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度求由于简支梁上B截面的转动，代动AB段一起作刚体运动，使A端产生挠度f1悬臂梁AB本身的弯曲变形，使A端产生挠度f22qAB2qaqBCDA第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度求2qAB因此，A端的总挠度应为由查表得代入上式得2qaqBCDA第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度对于梁的挠度,其许可值通常用许可的挠度与梁跨长的比值作为标准。梁的刚度条件可表示为2.梁的刚度条件及提高梁的刚度的措施根据刚度条件，也可以进行三方面的计算：刚度校核、确定许用荷载、设计截面。第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度已知：钢制杆件，左端受力为FP，FP＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如图所示。规定B处的许用转角θ=0.5°。试：根据刚度要求确定该轴的直径d。

B第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。

B1．查表确定B处的转角由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度1．查表确定B处的转角

由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为B2．根据刚度设计准则确定轴的直径根据设计要求，

第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度B2．根据刚度设计准则确定轴的直径

根据设计要求，

其中，的单位为rad（弧度），而θ的单位为（°）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径

第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度l=400mmFP2=2kNACa=0.1m200mmDFP1=1kNB下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的[f]=0.00001m,B点的[]=0.001弧度,试校核此杆的刚度。=++=FP1=1kNABDCFP2BCDAFP2=2kNBCDAFP2BCaFP2BCDAM第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度【解】【例4-21】FP2BCa=++图1图2图3结构变换，查表求简单

载荷变形。Pl=400mmFP2=2kNACa=0.1m200mmDFP1=1kNBFP1=1kNABDCFP2BCDAMxf第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度FP2BCa=++图1图2图3l=400mmFP2=2kNACa=0.1m200mmDFP1=1kNBFP1=1kNABDCFP2BCDAMxf叠加求复杂载荷下的变形第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度校核刚度第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度试按刚度条件校核简支梁,已知按强度条件所选择的梁为两根20a号槽钢,每根槽钢的惯性矩I=1780cm,钢的弹性模量为E=210GPa。此梁的许可挠度与梁跨长的比值为0.30.70.40.40.62.4m120kN30kN40kN12kNABC第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度【例4-22】

可将梁跨中点C处的挠度fC作为梁的最大挠度fmax

。0.30.70.40.40.62.4m120kN30kN40kN12kNABC第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度【解】

梁的许可挠度为因此，所选用的槽钢能够满足刚度条件的要求。第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度提高梁的刚度的措施

梁的位移（挠度和转角）除了与梁的支承和荷载情况有关外，还取决于以下三个因素：材料——梁的位移与材料的弹性模量E成反比；截面——梁的位移与截面的惯性矩I成反比；跨长——梁的位移与跨长l

的n次幂成正比。为了减小梁的位移，可采取下列措施增大梁的抗弯刚度EI工程中常采用工字形,箱形截面第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度

调整跨长和改变结构设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。这是提高梁的刚度的一个很又效的措施。桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构如图所示。就是为了缩短跨长而减小梁的最大挠度值。ABq(a)ABqq(b)第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度

同时，由于梁的外伸部分的自重作用，将使两的AB跨产生向上的挠度，从而使AB跨向下的挠度能够被抵消一部分，而有所减小。增加梁的支座也可以减小梁的挠度。ABq(a)ABqq(b)第4章杆件的变形与刚度

☆

弯曲变形与刚度☆简单超静定问题第4章杆件的变形与刚度

1.静不定问题的基本概念静定问题与静定结构：作用在杆件上的反力或杆件横截面上的内力，都能够由静力平衡方程直接确定，这类问题称为静定问题。所对应的结构称为静定结构第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题FPFP2-2=0有一个多与约束，一次超静定，需补充一个方程3-2=1静定结构静不定问题与静不定结构：第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题mm1-1=0有一个多与约束，一次超静定，需补充一个方程2-1=1第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题3-3=04-3=1

lMAABFAyFAxqlABMAFAyFAxFB第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题5－3＝26－3＝3FBxMBBlAMAFAyFAxFByBlAMAFAyFAxFBxFBy第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题未知力个数与独立的平衡方程数之差，称为静不定次数。在静定结构上附加的约束称为多余约束，这种“多余”只是对保证结构的平衡与几何不变性而言的，对于提高结构的强度、刚度则是需要的。

工程实际中，为了提高结构的强度、刚度，或者为了满足构造及其它工程技术要求，常常在静定结构中再附加某些约束（包括添加杆件）。这时，由于未知力的个数多于所能提供的独立的平衡方程的数目，因而仅仅依靠静力平衡方程使无法确定全部未知力。这类问题称为静不定问题，所对应的结构称为静不定结构。多于约束力：与多于约束所对应的约束力第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题

应用小变形概念可以推知某些未知量由于在小变形条件下，梁的轴向位移忽略不计，静定梁自由端B处水平位移u=0。既然u=0，在没有轴向载荷作用的情形下，固定铰支座和固定端处便不会产生水平约束力，即FAx＝FBx=0。因此，求解这种静不定问题只需1个补充方程。FBxBlAMAFAyFAxFBy第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题

应用小变形概念可以推知某些未知量BlAMAFAyFBy第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题应用对称性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MB对于两端固定的梁，同样有FBx=0，但这时的多余约束力除FBy外，又增加了MB。于是需要两个补充方程。但是，利用对称性分析，这种梁不仅结构和约束都对称，而且外加载荷也是对称的，即梁的中间截面为对称面。于是可以确定：MBBlAMAFAyFAxFBxFBy第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题FAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MBMBBlAMAql/2ql/2应用对称性分析可以推知某些未知量第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题因此，求解静不定问题，除了根据静力平衡条件列出平衡方程外，还必须在多余约束处寻找各构件变形之间的关系，或者构件各部分变形之间的关系，这种变形之间的关系称为变形协调关系或变形协调条件。进而根据弹性范围内的力和变形之间关系（胡克定律），即物理条件，建立补充方程。总之，求解静不定问题需要综合考察平衡、变形和物理三方面，这是分析静不定问题的基本方法。多余约束使结构由静定变为静不定，问题由静力平衡可解变为静力平衡不可解，这只是问题的一方面。问题的另一方面是，多余约束对结构或构件的变形起着一定的限制作用，而结构或构件的变形又是与受力密切相关的，这就为求解静不定问题提供了补充条件。

2.求解简单静不定问题的基本方法第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题

两端固定的等直杆AB横截面积为A，弹性模量为E，在C点处承受轴力FP的作用，如图所示。计算约束反力。FPblBAC拉压超静定问题举例第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题【例4-23】FByFPBFAAC这是一次超静定问题。FPblBAC平衡方程为第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题【解】BAC条件是：杆的总长度不变=FByFPBFAACFPblBAC第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题变形几何方程为：BAC=FBFPBFAACFPblBAC第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题补充方程为平衡方程为BAC=FBFPBFAACFPblBAC第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题两端固定的等截面直杆，杆件沿轴线方向承受一对大小相等、方向相反的集中力，假设杆件的拉伸与压缩刚度为EA，其中E为材料的弹性模量，A为杆件的横截面面积。要求各段杆横截面上的轴力，并画出轴力图。

ACDB第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题【例4-24】首先，分析约束力，判断静不定次数。在轴向载荷的作用下，固定端A、B二处各有一个沿杆件轴线方向的约束力FA

和FB

，独立的平衡方程只有一个

因此，静不定次数n＝2－1＝1次。所以除了平衡方程外还需要一个补充方程。

ACDBFAFB第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题【解】其次，为了建立补充方程，需要先建立变形协调方程。杆件在载荷与约束力作用下，AC、CD、DB等3段都要发生轴向变形，但是，由于两端都是固定端，杆件的总的轴向变形量必须等于零：

这就是变形协调条件。

ACDBFAFB第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题根据胡克定律，杆件各段的轴力与变形的关系：

此即物理方程。应用截面法,上式中的轴力分别为FNAC＝－FA(压)，FNCD＝FP－FA(拉)，FNDB＝－FB(压)ACDBFAFB第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题最后将上述各式联立，即可解出两固定端的约束力：

FNAC＝－FA(压)，FNCD＝FP－FA(拉)，FNDB＝－FB(压)ACDBFAFB第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题将上述各式联立，即可解出两固定端的约束力：据此即可求得直杆各段的轴力，画出直杆的轴力图。

ACDBFAFB第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题最后请大家从平衡或变形协调两方面分析这些图中的轴力图为什么是不正确的？

ACDBFAFB第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题

设

1、2、3

三杆用绞链连结，如图所示，

l1=l2=l，A1

=A2=A,E1=E2=E，

3

杆的长度l3,横截面积A3,弹性模量

E3。

试求在沿铅垂方向的外力FP作用下各杆的轴力。CABDFP123第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题【例4-25】xyFPACABDFP123平衡方程为第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题【解】这是一次超静定问题﹗由于问题在几何物性及受力方面都是对称。所以变形后A点将沿铅垂方向下移。xyFPACABDFP123第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题

相容条件是：变形后三杆仍绞结在一起﹗CABDFP123CABD123xyFPA第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题

变形几何方程为CABDFP123CABD123A123┕┕第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题CABDFP123A123┕┕补充方程为第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题补充方程平衡方程CABDFP123A123┕┕第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题

解得第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题

解超静定问题的步骤：根椐变形相容条件建立变形几何方程。变形几何方程的个数与超静定次数相等。将变形与力之间的关系（胡克定律—物理方程）代入变形几何方程得补充方程。联立补充方程与静力平衡方程求解。解超静定问题注意画变形图时，杆的变形与假设的内力符号要一致。取脱离体，画受力图，列平衡方程。第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题图示平行杆系1、2、3

悬吊着横梁AB(AB的变形略去不计)，在横梁上作用着荷载G。如杆1、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A，l，E。试求1、2、3

三杆的轴力FN1，FN2，FN3。ABCG123aal第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题【例4-26】ABCG123aalFN1FN2ABCG3FN312Fx(1)平衡方程这是一次超静定问题，且假设均为拉杆。第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题【解】ABCG123aalA123BC(2)变形几何方程(3)物理方程第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题ABCG123aalA123BC补充方程第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题ABCG123aalA123BC(4)联立平衡方程与补充方程求解刚性梁

ABC

由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着。尺寸

如图所示，拉力FP为已知。求各杆的轴力。ABC123408080FP5075第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题【解】【例4-27】ABC123408080FP5075变形相容条件？变形后三根杆与梁仍绞接在一起。变形几何方程？第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题ABC123FP5075补充方程FN1FN2FN3FP408080静力平衡方程第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题刚性杆AB如图所示。已知1、2杆的材料，横截面积，长度均相同。若两杆的横截面面积A=2cm2，材料的许用应力[]=100MPa。试求结构所能承受的最大荷载FPmax。这是一次超静定问题(1)列静力平衡方程取AB为研究对象12ABC2aaFP第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题【解】【例4-28】FN1FN2FPF2FN2+FN1-FP=0(2)变形几何方程12ABCFP2aa第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题(3)列补充方程FN2=2FN12FN2+FN1-FP=0FN1FN2FPF(4)由静力平衡方程和补充方程解FN1和FN2(5)由强度条件求FPmax12ABC2aaFP第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题FN1FN2FPF强度条件为求得FP=50kN由12ABC2aaFP第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题补充题：桁架由三根抗拉刚度均为EA的杆AD，BD和CD在D

点绞接而成，求在力FP作用下三杆的内力。ABCD123PH解：设AD、BD和CD杆的轴力N1，N2，N3均为拉力。作节点D的受力图。DN1N2N3P第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题ABCD123PHDN1N2N3PD点的平衡方程为这是一次超静定问题ABCD123PH变形协调条件是：变形后三杆仍绞接在一起，作变形图。第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题ABCD123PHD1D2123DFGD3第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题ABCD123PHD1D2D3123DFEG几何方程为第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题ABCD123PHD1D2D3123DFEG第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题ABCD123PH代入几何方程得补充方程联立补充方程和平衡方程求解第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题ABCD123PHN!=?N2=?N3=?

第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题木制短柱四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材许用应力分别为[]1=160MPa和[]2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa

和E2=10GPa；求许可载荷FP。几何方程平衡方程FPy4FN1FPFN2物理方程及补充方程

简单超静定问题第4章杆件的变形和刚度

【例4-29】【解】

解平衡方程和补充方程，得求结构的许可载荷FPy4FN1FPFN2[方法1]由型钢表查得角钢面积A1=3.086cm2

简单超静定问题第4章杆件的变形和刚度

在△1=△2

的前提下，角钢将先达到极限状态，即角钢决定最大载荷。求结构的许可载荷另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？若将木的面积变为25mm，又怎样？[方法2]FPy4FN1FPFN2

简单超静定问题第4章杆件的变形和刚度

ABCD213l图示杆系，若3杆尺寸有微小误差，则在杆系装配好后，各杆将处于图中位置，因而产生轴力。3杆的轴力为拉力，1、2杆的轴力为压力。这种附加的内力就称为装配内力。与之相对应的应力称为装配应力。装配应力第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题代表杆3的伸长代表杆1或杆2的缩短代表装配后A

点的位移ABCD213l第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题ABCD213l(1)变形几何方程(2)物理方程第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题ABCD213l补充方程为第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题ABCD213(4)平衡方程第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题ABCD213l补充方程为与平衡方程联立：第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题ABC12aa两铸件用两根钢杆1、2连接，其间距为l=200mm。现要将制造得过长了e=0.11mm的铜杆3装入铸件之间，并保持三根杆的轴线平行且等间距a。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径d=10mm，铜杆横截面积为2030mm的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa。铸件很厚，其变形可略去不计，故可看作刚体。l3第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题【例4-30】【解】（c)ABC12变形几何方程为l3(b)第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题代入得补充方程列平衡方程aax(d)第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题解三个联立方程即可得装配内力，进而求出装配应力。第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题第4章杆件的变形与刚度

☆

简单超静定问题图示等直杆AB

的两端分别与刚性支承连结。