大学理论力学 动能定理

理论力学第十三章

动能定理第十三章动能定理§13-1力的功§13-2质点和质点系的动能§13-3动能定理§13-4功率功率方程机械效率§13-5势力场势能机械能守恒定律§13-6普遍定理的综合应用举例§13-1力的功一、常力在直线运动中的功功是代数量，在国际单位制中，功的单位为J（焦耳）。上式也可以写成力在全路程上作的功等于元功之和：力在无限小位移dr中作的功称为元功：力F从M1到M2的过程所作的功在直角坐标系中，i，j，k为三坐标轴的单位矢量，则上两式也可写成以下矢量点乘形式：二、变力在曲线运动中的功§13-1力的功根据质心坐标公式，有三、几种常见力的功1．重力的功重力重力作功为对于质点系，设质点i

的质量为mi，运动始末的高度差为（zi1-zi2），则全部重力作功之和为：在直角坐标轴上的投影为所以§13-1力的功质点M

由M1运动到

M2时，弹性力作功为2．弹性力的功弹性范围内，弹性力大小为k——弹性刚度系数（或刚性系数）。弹性力§13-1力的功当质点从M1运动到M2时，引力F作的功为3．万有引力的功万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。质量为m2的质点M受到另一质量为m1的固定点O的引力F的作用。由牛顿万有引力定律知式中f为万有引力常数

f=6.667×10-11m3/（kg·s2）r0r1r2M1M2MFo§13-1力的功如果刚体上作用一力偶，则力偶所作的功仍可用上式计算，其中Mz为力偶对转轴z的矩，也等于力偶矩矢M在轴上的投影。4．转动刚体上作用力的功力F在切线上的投影为刚体转动时力F的元功为因为Ft

R等于F对于转轴z的力矩Mz，于是§13-1力的功

一、质点和质点系的动能设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为动能是标量，恒取正值。在国际单位制中动能的单位也为J（焦耳）。2.质点系的动能质点系内各质点动能之和称为质点系的动能，即§13-2质点和质点系的动能1.质点的动能转动刚体的动能平动刚体的动能§13-2质点和质点系的动能平面运动刚体的动能点C——质心，点P——某瞬时的瞬心，ω——角速度§13-2质点和质点系的动能一、质点的动能定理取质点运动微分方程的矢量形式因得上式称为质点动能定理的微分形式:即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。上式称为质点动能定理的积分形式：在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。§13-3动能定理上式称为质点系动能定理的积分形式：质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。二、质点系的动能定理质点系内任一质点，质量为mi，速度为vi，有式中δWi

为作用于这个质点上的力Fi作的元功。设质点系有n个质点，将n个方程相加，得：上式称为质点系动能定理的微分形式：质点系动能的增量等于作用于质点系全部力所作的元功的和。上式积分，得：§13-3动能定理质点系内力的功只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。刚体的内力的功之和等于零。不可伸长的绳索内力的功之和等于零。rBA§13-3动能定理理想约束反力的功1．光滑固定面约束约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承§13-3动能定理5．柔性约束（不可伸长的绳索）4．联接刚体的光滑铰链（中间铰）3．刚体沿固定面作纯滚动§13-3动能定理例．图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数为k=3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA’，在铅直位置时的角速度至少应为多大？解：取OA杆研究对象得由mgF§13-3动能定理

例:

均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。解：取整体为研究对象运动学关系：由动能定理:对ｔ求导，得mgmgFNAFAFNBFBvw§13-3动能定理

例:

图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R,两盘中心线为水平线,盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)QPP§13-3动能定理解：取系统为研究对象QPPavwAwBC1vB由运动分析知：h§13-3动能定理上面(1)式求导得：(1)§13-3动能定理一、功率单位时间内力所做的功称为功率，以P表示。因为所以功率等于切向力与力作用点速度的乘积。作用在转动刚体上的力的功率为式中Mz是力对转轴z的矩，ω是角速度。即：作用于转动刚体上的力的功率等于该力对转轴的矩与角速度的乘积。§13.4功率·功率方程·机械效率取质点系动能定理的微分形式，两端除以dt，得上式称为功率方程，即质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。每部机器的功率可分为三部分：输入功率、无用功率（或耗损功率）、有用功率（或输出功率）。在一般情况下，功率方程可写成：或二、功率方程§13-4功率·功率方程·机械效率，如一部机器有n级传动，设各级的效率分别为η1、η2

、…、ηn,则总效率为有效功率=机械效率η表示机器对输入功率的有效利用程度，它是评定机器质量好坏的指标之一。显然，，机械效率用η表示，即三、机械效率

§13-4功率·功率方程·机械效率例：车床的电动机功率为5.4kW。由于传动零件之间的摩擦耗损功率占输入功率的30%。如工件的直径d=100mm，转速n=42r/min，问允许切削力的最大值为多少？若工件的转速改为n′=112r/min，问允许切削力的最大值为多少？解：由题意知：当工件匀速转动时，动能不变，有用功率为设切削力为F，切削速度为v，则即§13-4功率·功率方程·机械效率当n′=112r/min

时，允许的最大切削力为当n=42r/min

时，允许的最大切削力为§13-4功率·功率方程·机械效率例：电动机车质量为m，由静止以匀加速度a沿水平直线轨道行驶，如电动机车所受的运动阻力等于kmg

(其中k是常数)。求电动机车的功率。解：设电动机车行驶距离s时的速度为v，发动机所做的功为W，由动能定理得：将上式对时间求导，并注意及得电机车的功率将代入上式，得：§13-4功率·功率方程·机械效率

例：均质圆轮半径r，质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心C的运动规律。

解：取轮为研究对象，均质圆轮作平面运动，其动能为只有重力作功,重力的功率为§13-4功率·功率方程·机械效率应用功率方程：得当θ很小时sinθ≈q,于是得质心C的运动微分方程为§13-4功率·功率方程·机械效率一、势力场如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为力场。例：重力场，太阳引力场等等。如果物体在力场内运动，作用于物体的力所作的功只与力作用点的初始位置和终了位置有关，而与该点的轨迹形状无关，这种力场称为势力场（或保守力场）。在势力场中，物体受到的力称为有势力（或保守力）。例：重力场、弹性力场都是势力场，重力、弹性力、万有引力都是有势力。§13-5势力场.势能.机械能守恒定律在势力场中，质点由点M运动到任选的点M0，有势力所作的功称为质点在点M相对于点M0的势能。以V表示为点M0称为零势能点。在势力场中，势能的大小是相对零势能点而言的。零势能点M0可以任意选取，对于不同的零势能点，在势力场中同一位置的势能可有不同的数值。

二、势能§13-5势力场.势能.机械能守恒定律1．重力场中的势能质点重力mg在各轴上的投影为取Mo为零势能点，则质点在点M的势能为质点系重力势能其中m为质点系全部质量，zc为质心的z坐标，zc0为零势能位置质心z坐标。几种常见势能的计算§13-5势力场.势能.机械能守恒定律2．弹性力场中的势能设弹簧的一端固定，另一端与物体连接。弹簧的刚度系数为k。取Mo为零势能点，则物体在点M的势能为如取弹簧的自然位置为零势能点，则有δ0

=0，则§13-5势力场.势能.机械能守恒定律3．万有引力场中的势能设质量为m1

的质点受质量为m2的物体的万有引力F作用。取点M0为零势能点，则质点在点M的势能为式中f为引力常数。因为所以如选取点M0

在无穷远处，即r1=∞，则§13-5势力场.势能.机械能守恒定律一质量为m、长为l的均质杆AB。A端铰支，B端由无重弹簧拉住，并于水平位置平衡。此时弹簧已拉长δ0。如弹簧刚度系数为k，如质点系受到多个有势力的作用，各有势力可有各自的零势能点。质点系中的各质点都处于其零势能点的一组位置，称为质点系的“零势能位置”。质点系从某位置到其“零势能位置”的运动过程中，各有势力作功的代数和称为此质点系在该位置的势能。§13-5势力场.势能.机械能守恒定律(2)如取杆的平衡位置为系统的零势能位置，杆于微小摆角j

处，势能为

(1)如重力以杆的水平位置为零势能位置，弹簧以自然位置为零势能点，则杆于微小摆角j处势能为注意可得§13-5势力场.势能.机械能守恒定律质点系在势能场中运动，有势力的功可通过势能计算。设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从点M1

到点M2，该力所作的功为W12。取点M0为零势能点，则因有势力的功与轨迹形状无关，从M1经M2到M0即有势力所作的功等于质点系在运动过程中的初始和终了位置的势能的差。§13-5势力场.势能.机械能守恒定律质点系在某瞬间的动能与势能的代数和称为机械能。由质点系动能定理如只有有势力作功，则移项后即质点系在运动的过程中，只有有势力作功，其机械能保持不变。这种质点系称为保守系统。§13-5势力场.势能.机械能守恒定律如质点系还受到非保守力的作用，称为非保守系统，非保守系统的机械能是不守恒的。设保守力所作的功为W12，非保守力所作的功为W'12

，由动能定理有因则如W‘12为负功，质点系在运动过程中机械能减小，称为机械能耗散；如W‘12为正功，质点系在运动过程中机械能增加，这时外界对系统输入了能量。§13-5势力场.势能.机械能守恒定律例:

长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角和质心的位置表达）。

解：取杆为研究对象，由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心C铅垂下降。由于只有重力作功,因此机械能守恒。取地面为零势能面§13-5势力场.势能.机械能守恒定律由机械能守恒定律：将代入上式，化简后得§13-5势力场.势能.机械能守恒定律例:两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度。§13-5势力场.势能.机械能守恒定律解：取整体为研究对象：由于只有重力作功,因此机械能守恒。取地面为零势能面分析AC杆运动，由机械能守恒定律：vAA点为其速度瞬心。§13-5势力场.势能.机械能守恒定律例：均质圆轮半径r，质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心C的运动规律。解：取轮为研究对象，此系统的机械能守恒，取质心的最低位置O为重力场零势能点，圆轮在任一位置的势能为同一瞬时的动能为由机械能守恒，有§13-5势力场.势能.机械能守恒定律把V和T的表达式代入，取导数后得于是得当θ很小时，，于是得因§13-5势力场.势能.机械能守恒定律质点和质点系的普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都用于研究机械运动，而动能定理还可用于研究机械运动与其它运动形式有能量转化的问题。应用动量定理或动量矩定理时，质点系的内力不能改变系统的动量和动量矩，只需考虑质点系所受的外力。应用动能定理时，要考虑约束力和内力作不作功。§13-6普遍定理的综合应用举例解：取杆为研究对象由质心运动定理：例：均质杆OA，重P，长l，绳子突然剪断。求该瞬时，杆的角加速度及O处反力。对O点应用动量矩定理：aaCyxyaCx§13-6普遍定理的综合应用举例ll0AB例：图示弹簧两端各系以重物A和B，放在光滑的水平面上,重物A和B的质量分别为m1、m2,弹簧的原长为l0，刚性系数为k。若将弹簧拉到l然后无初速地释放，问当弹簧回到原长时，重物A和B的速度各为多少？§13-6普遍定理的综合应用举例ll0AB解：取整体为研究对象。m1gm2gFAFBvAvBx因为，所以应用动量定理应用动能定理（2）（1）由(1)、(2)两式解得：§13-6普遍定理的综合应用举例例：图示圆环以角速度ω绕铅垂轴AC自由转动。此圆环半经为R,对轴的转动惯量为J。在圆环中的点A放一质量为m的小球。设由于微小的干扰小球离开点A，小球与圆环间的摩擦忽略不计。求当小球到达点B和C时，圆环的角速度和小球的速度。ACB§13-6普遍定理的综合应用举例ACB解：取整体为研究对象。zmgPFyF1zF1xF1yFx1.小球A→B应用动量矩定理因为，所以应用动能定理§13-6普遍定理的综合应用举例ACBzmgPFyF1zF1xF1yFx2.小球A→C应用动量矩定理因为，所以应用动能定理解得解得§13-6普遍定理的综合应用举例例：如图所示两均质圆轮质量均为m，半径为R，A轮绕固定轴O转动，B轮在倾角为θ的斜面上作纯滚动，B轮中心的绳绕到A轮上。若A轮上作用一力偶矩为M的力偶，忽略绳子的质量和轴承的摩擦，求B轮中心C点的加速度、绳子的张力、轴承O的约束反力和斜面的摩擦力。§13-6普遍定理的综合应用举例解：取整体为研究对象。假设轮B的中心C由静止开始沿斜面向上运动一段距离s，则各力所作功的和为由动能定理，得将上式对时间求导，得§13-6普遍定理的综合应用举例

(2)取轮A为研究对象。应用定轴转动微分方程其中得应用质心运动定理，得因aox=aoy=0，得§13-6普遍定理的综合应用举例

(3)取轮B为研究对象，代入已量，得本问题也可应用相对质心的动量矩定理来求解。应用质心运动定理，得§13-6普遍定理的综合应用举例例:均质细长杆为l、质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。CA§13-6普遍定理的综合应用举例CA解：取杆为研究对象。由于水平方向不受力，倒下过程中质心将铅直下落。由动能定理，得当

时解出mgFNvAvCP设任一瞬时杆与水平线的夹角为θ，如图所示，P为杆的瞬心。由运动学知,杆的角速度§13-6普遍定理的综合应用举例aA杆刚到达地面时。由于质心运动在水平方向守恒，aC

应为铅垂,以点A为基点沿铅垂方向投影，得mgFNaCAC由刚体平面运动微分方程，得aA由运动学知§13-6普遍定理的综合应用举例例：两个相同的滑轮A和B，半径各为R，重量各为P，用绳缠绕连接。两滑轮可视为均质圆轮。系统从静止开始运动。求轮B质心C的速度v及加速度a与下落距离h的关系。ACBh§13-6普遍定理的综合应用举例ACBh解：取整体为研究对象。FxFyPPv由运动学知：ACBFxFyPPvFF'取轮A为研究对象取轮B为研究对象由动能定理：应用动量矩定理§13-6普遍定理的综合应用举例由于F=F'，开始时系统静止，所以代入上面的方程，得上式两边求导，得§13-6普遍定理的综合应用举例例：图示三棱柱体ABC的质量为m1,放在光滑的水平面上，可以无摩擦地滑动。质量为m2的均质圆柱体O由静止沿斜面AB向下滚动而不滑动。如斜面的倾角为θ,求三棱柱的加速度。ABCO§13-6普遍定理的综合应用举例ABCOm1gm2gFNvrv1v1解：取整体为研究对象。应用动量定理x因为，所以应用动能定理s其中v2§13-6普遍定理的综合应用举例两边求导（注意：），得所以§13-6普遍定理的综合应用举例例：重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B'点时的速度及支座A的约束反力。解：（1）由动量矩定理求盘的角加速度取圆盘为研究对象，圆盘平动。由相对于质心的动量矩定理§13-6普遍定理的综合应用举例（2）用动能定理求速度。取系统研究。初始时T1=0，