圆锥曲线离心率专题

..圆锥曲线离心率专题训练1．已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,则椭圆离心率的取值范围是〔A．[,1B．[,1C．〔0,]D．〔0,]2．二次曲线时,该曲线离心率e的范围是〔A．B．C．D．3．椭圆焦点在x轴上,A为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点,∠OPA=90°,则该椭圆的离心率e的范围是〔A．[,1B．〔,1C．[,D．〔0,4．双曲线的离心率e∈〔1,2,则k的取值范围是〔A．〔﹣∞,0B．〔﹣3,0C．〔﹣12,0D．〔﹣60,﹣125．设F1,F2为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°,则椭圆的离心率的取值范围是〔A．B．C．D．6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率e的取值范围〔A．B．C．D．7．已知椭圆x2+my2=1的离心率,则实数m的取值范围是〔A．B．C．D．8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2且它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1A．〔0,B．〔,C．〔,D．〔,19．椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2,4b2],则该椭圆的离心率e的取值范围是〔A．B．C．D．10．如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2,AD=1,DC=2x〔x∈〔0,1．以A,B为焦点,且过点D的双曲线的离心率为e1；以C,D为焦点,且过点A的椭圆的离心率为e2,则e1+e2的取值范围为〔A．[2,+∞B．〔,+∞C．[,+∞D．〔,+∞11．已知双曲线的焦距为2c,离心率为e,若点〔﹣1,0与点〔1,0到直线的距离之和为S,且S,则离心率e的取值范围是〔A．B．C．D．12．已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若存在点P为椭圆上一点,使得∠F1PF2=60°,则椭圆离心率e的取值范围是〔A．B．C．D．13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0〔a,b,c∈R的三个实根可分别作为一椭圆,一双曲线、一抛物线的离心率,则的取值范围是〔A．B．C．D．14．已知椭圆上到点A〔0,b距离最远的点是B〔0,﹣b,则椭圆的离心率的取值范围为〔A．B．C．D．15．已知双曲线的中心在原点,焦点x轴上,它的一条渐近线与x轴的夹角为α,且,则双曲线的离心率的取值范围是〔A．B．C．〔1,2D．16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2,点P在双曲线上,∠F1PF2的平分线分线段F1F2A．〔1,]B．〔1,C．〔2,]D．〔,2]17．椭圆+=1〔a＞b＞0上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=a,且a∈[,],则该椭圆离心率的取值范围为〔A．[,1]B．[,]C．[,1D．[,]18．已知椭圆的左、右焦点分别为F1〔﹣c,0,F2〔c,0,若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为〔A．〔0,B．〔C．〔0,D．〔,119．已知直线l：y=kx+2〔k为常数过椭圆的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得的弦长为L,若,则椭圆离心率e的取值范围是〔A．B．C．D．20．双曲线的焦距为2c,直线l过点〔a,0和〔0,b,且点〔1,0到直线l的距离与点〔﹣1,0到直线l的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是〔A．B．C．D．21．点A是抛物线C1：y2=2px〔p＞0与双曲线C2：〔a＞0,b＞0的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于〔A．B．C．D．22．在椭圆上有一点M,F1,F2是椭圆的两个焦点,若,则椭圆离心率的范围是〔A．B．C．D．23．椭圆+y2=1上存在一点P,使得它对两个焦点F1,F2的张角∠F1PF2=,则该椭圆的离心率的取值范围是〔A．〔0,]B．[,1C．〔0,]D．[,124．椭圆〔a＞b＞0上存在点P到原点的距离等于该椭圆的焦距,则椭圆的离心率的取值范围是〔A．〔0,1B．〔0,C．D．25．椭圆的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F1F2A．B．C．D．26．设A1、A2为椭圆的左右顶点,若在椭圆上存在异于A1、A2的点P,使得,其中O为坐标原点,则椭圆的离心率e的取值范围是〔A．B．C．D．27．已知点F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是〔A．〔1,1+B．〔1,C．〔﹣1,1+D．〔1,228．如图,已知A〔﹣2,0,B〔2,0,等腰梯形ABCD满足|AB|=﹣2|CD|,E为AC上一点,且．又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若,则双曲线离心率e的取值范围为〔A．B．C．D．29．已知椭圆〔a＞b＞0上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且,则该椭圆离心率e的取值范围为〔A．B．C．D．30．已知P为椭圆〔a＞b＞0上一点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,若使△PF1F2A．〔0,B．〔,1C．〔1,D．〔,+∞参考答案与试题解析1．已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,则椭圆离心率的取值范围是〔A．[,1B．[,1C．〔0,]D．〔0,]解：如图所示,下面证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．设椭圆上任意一点P〔x0,y0,则,可得．∴|OP|2==+=≥b2,当且仅当x0=0时取等号．∴椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,则c≥b,∴c2≥b2=a2﹣c2,化为,解得．又e＜1,∴．故选B．2．二次曲线时,该曲线离心率e的范围是〔A．B．C．D．解：∵m∈[﹣2,﹣1],∴该曲线为双曲线,a=2,b2=﹣m,∴c=离心率e==∵m∈[﹣2,﹣1],∴∈[,],∴e∈故选C3．椭圆焦点在x轴上,A为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点,∠OPA=90°,则该椭圆的离心率e的范围是〔A．[,1B．〔,1C．[,D．〔0,解：可设椭圆的标准方程为：〔a＞b＞0．设P〔x,y,∵∠OPA=90°,∴点P在以OA为直径的圆上．该圆为：,化为x2﹣ax+y2=0．联立化为〔b2﹣a2x2+a3x﹣a2b2=0,则,解得,∵0＜x＜a,∴,化为c2＞b2=a2﹣c2,∴,又1＞e＞0．解得．∴该椭圆的离心率e的范围是．故选：C．4．双曲线的离心率e∈〔1,2,则k的取值范围是〔A．〔﹣∞,0B．〔﹣3,0C．〔﹣12,0D．〔﹣60,﹣12解：∵双曲线的离心率e∈〔1,2,∴双曲线标准方程为：﹣=1∴k＜0,∴1＜e2＜4,1＜＜4,﹣12＜k＜0,故答案选C5．设F1,F2为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°,则椭圆的离心率的取值范围是〔A．B．C．D．解：F1〔﹣c,0,F2〔c,0,c＞0,设P〔x1,y1,则|PF1|=a+ex1,|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2解得x12=．∵x12∈〔0,a2],∴0≤＜a2,即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是e∈．故选A．6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率e的取值范围〔A．B．C．D．解：不防设椭圆方程：〔a＞b＞0,再不妨设：B〔0,b,三角形重心G〔c,0,延长BG至D,使|GD|=,设D〔x,y,则,,由,得：,解得：,．而D是椭圆的内接三角形一边AC的中点,所以,D点必在椭圆内部,则．把b2=a2﹣c2代入上式整理得：．即．又因为椭圆离心率e∈〔0,1,所以,该椭圆离心率e的取值范围是．故选B．7．已知椭圆x2+my2=1的离心率,则实数m的取值范围是〔A．B．C．D．解：椭圆x2+my2=1化为标准方程为①若1＞,即m＞1,,∴,∴,∴②若,即0＜m＜1,,∴,∴,∴∴实数m的取值范围是故选C．8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2且它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1A．〔0,B．〔,C．〔,D．〔,1解：设椭圆的方程为+=1〔a＞b＞0,其离心率为e1,双曲线的方程为﹣=1〔m＞0,n＞0,|F1F2|=2c∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1∴在椭圆中,|PF1|+|PF2|=2a,而|PF2|=|F1F2|=2c∴|PF1|=2a﹣2c；①同理,在该双曲线中,|PF1|=2m+2c；②由①②可得a=m+2c．∵e2=∈〔1,2,∴＜=＜1,又e1==,∴==+2∈〔,3,∴＜e1＜．故选C．9．椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2,4b2],则该椭圆的离心率e的取值范围是〔A．B．C．D．解：在第一象限内取点〔x,y,设x=acosθ,y=bsinθ,〔0＜θ＜则椭圆的内接矩形长为2acosθ,宽为2bsinθ,内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab,由已知得：3b2≤2ab≤4b2,∴3b≤2a≤4b,平方得：9b2≤4a2≤16b2,9〔a2﹣c2≤4a2≤16〔a2﹣c2,5a2≤9c2且12a2≥16c2,∴≤≤即e∈故选B．10．如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2,AD=1,DC=2x〔x∈〔0,1．以A,B为焦点,且过点D的双曲线的离心率为e1；以C,D为焦点,且过点A的椭圆的离心率为e2,则e1+e2的取值范围为〔A．[2,+∞B．〔,+∞C．[,+∞D．〔,+∞解：BD==,∴a1=,c1=1,a2=,c2=x,∴e1=,e2=,e1e2=1但e1+e2中不能取"=",∴e1+e2=+=+,令t=﹣1∈〔0,﹣1,则e1+e2=〔t+,t∈〔0,﹣1,∴e1+e2∈〔,+∞∴e1+e2的取值范围为〔,+∞．故选B．11．已知双曲线的焦距为2c,离心率为e,若点〔﹣1,0与点〔1,0到直线的距离之和为S,且S,则离心率e的取值范围是〔A．B．C．D．解：直线l的方程为,即bx﹣ay﹣ab=0．由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点〔1,0到直线l的距离d1=,同理得到点〔﹣1,0到直线l的距离．d2=,s=d1+d2==．由S,即得•a≥2c2．于是得4e4﹣25e2+25≤0．解不等式,得．由于e＞1＞0,所以e的取值范围是e∈．故选A．12．已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若存在点P为椭圆上一点,使得∠F1PF2=60°,则椭圆离心率e的取值范围是〔A．B．C．D．解：如图,当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时,P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大,当且仅当P点位于短轴端点P0处时,张角∠F1PF2达到最大值．由此可得：∵存在点P为椭圆上一点,使得∠F1PF2=60°,∴△P0F1F2中,∠F1P0F2≥60°,可得Rt△P0OF2所以P0O≤OF2,即bc,其中c=∴a2﹣c2≤3c2,可得a2≤4c2,即≥∵椭圆离心率e=,且a＞c＞0∴故选C13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0〔a,b,c∈R的三个实根可分别作为一椭圆,一双曲线、一抛物线的离心率,则的取值范围是〔A．B．C．D．解：设f〔x=x3+2ax2+3bx+c,由抛物线的离心率为1,可知f〔1=1+2a+3b+c=0,故c=﹣1﹣2a﹣3b,所以f〔x=〔x﹣1[x2+〔2a+1x+〔2a+3b+1]的另外两个根分别是一个椭圆一个双曲线的离心率,故g〔x=x2+〔2a+1x+〔2a+3b+1,有两个分别属于〔0,1,〔1,+∞的零点,故有g〔0＞0,g〔1＜0,即2a+3b+1＞0且4a+3b+3＜0,则a,b满足的可行域如图所示,由于,则P〔﹣1,而表示〔a,b到〔0,0的距离,且〔0,0到P〔﹣1,的距离为d=可确定的取值范围是〔,+∞．故答案为：A．14．已知椭圆上到点A〔0,b距离最远的点是B〔0,﹣b,则椭圆的离心率的取值范围为〔A．B．C．D．解：设点P〔x,y是椭圆上的任意一点,则,化为．∴|PA|2=x2+〔y﹣b2===f〔y,∵椭圆上的点P到点A〔0,b距离最远的点是B〔0,﹣b,由二次函数的单调性可知：f〔y在〔﹣b,b单调递减,∴,化为c2≤b2=a2﹣c2,即2c2≤a2,∴．又e＞0．∴离心率的取值范围是．故选：C．15．已知双曲线的中心在原点,焦点x轴上,它的一条渐近线与x轴的夹角为α,且,则双曲线的离心率的取值范围是〔A．B．C．〔1,2D．解：∵双曲线的焦点在x轴上,故其渐近线方程为y=x则tanα=∵,∴1＜tanα＜,即1＜＜∴1＜=＜3求得＜＜2故选B．16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2,点P在双曲线上,∠F1PF2的平分线分线段F1F2A．〔1,]B．〔1,C．〔2,]D．〔,2]解：根据内角平分线的性质可得=,再由双曲线的定义可得5PF2﹣PF2=2a,PF2=,由于PF2=≥c﹣a,∴≥c,≤．再由双曲线的离心率大于1可得,1＜e≤,故选A．17．椭圆+=1〔a＞b＞0上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=a,且a∈[,],则该椭圆离心率的取值范围为〔A．[,1]B．[,]C．[,1D．[,]解：∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a…①O是Rt△ABF的斜边中点,∴|AB|=2c又|AF|=2csinα…②|BF|=2ccosα…③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴=即e==∵a∈[,],∴≤α+π/4≤∴≤sin〔α+≤1∴≤e≤故选B18．已知椭圆的左、右焦点分别为F1〔﹣c,0,F2〔c,0,若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为〔A．〔0,B．〔C．〔0,D．〔,1解：在△PF1F2则由已知得：,即：aPF1=cPF2设点P〔x0,y0由焦点半径公式,得：PF1=a+ex0,PF2=a﹣ex0则a〔a+ex0=c〔a﹣ex0解得：x0==由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则＞﹣a,整理得e2+2e﹣1＞0,解得：e＜﹣﹣1或e＞﹣1,又e∈〔0,1,故椭圆的离心率：e∈〔﹣1,1,故选D．19．已知直线l：y=kx+2〔k为常数过椭圆的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得的弦长为L,若,则椭圆离心率e的取值范围是〔A．B．C．D．解：圆x2+y2=4的圆心到直线l：y=kx+2的距离为d=∵直线l：y=kx+2被圆x2+y2=4截得的弦长为L,∴由垂径定理,得2,即,解之得d2≤∴≤,解之得k2∵直线l经过椭圆的上顶点B和左焦点F,∴b=2且c==﹣,即a2=4+因此,椭圆的离心率e满足e2===∵k2,∴0＜≤,可得e2∈〔0,]故选：B20．双曲线的焦距为2c,直线l过点〔a,0和〔0,b,且点〔1,0到直线l的距离与点〔﹣1,0到直线l的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是〔A．B．C．D．解：直线l的方程为+=1,即bx+ay﹣ab=0．由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点〔1,0到直线l的距离,同理得到点〔﹣1,0到直线l的距离.,．由,得．．于是得5≥2e2,即4e4﹣25e2+25≤0．解不等式,得≤e2≤5．由于e＞1＞0,所以e的取值范围是．故选D．21．点A是抛物线C1：y2=2px〔p＞0与双曲线C2：〔a＞0,b＞0的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于〔A．B．C．D．解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x,联立⇒；故A〔,．∵点A到抛物线C1的准线的距离为p,∴+=p；∴=．∴双曲线C2的离心率e===．故选：C．22．在椭圆上有一点M,F1,F2是椭圆的两个焦点,若,则椭圆离心率的范围是〔A．B．C．D．解：由椭圆定义可知：|MF1|+|MF2|=2a,所以…①,在△MF1F2中,由余弦定理可知…②又,…③,由①②③可得：4c2=4a2﹣4b2﹣2|MF1|•|MF2|cosθ．所以|MF1|•|MF2|cosθ=0．所以c≥b,即c2≥b2=a2﹣c2,2c2≥a2,,所以e∈．故选B．23．椭圆+y2=1上存在一点P对两个焦点F1,F2的张角∠F1PF2=,则该椭圆的离心率的取值范围是〔A．〔0,]B．[,1C．〔0,]D．[,1解：∵椭圆方程为：+y2=0,∴b2=1,可得c2=a2﹣1,c=∴椭圆的离心率为e=又∵椭圆上一点P,使得角∠F1PF2=,∴设点P的坐标为〔x0,y0,结合F1〔﹣c,0,F2〔c,0,可得=〔﹣c﹣x0,﹣y0,=〔c﹣x0,﹣y0,∴=+=0…①∵P〔x0,y0在椭圆+y2=1上,∴=1﹣,代入①可得+1﹣=0将c2=a2﹣1代入,得﹣a2﹣+2=0,所以=,∵﹣a≤x0≤a∴,即,解之得1＜a2≤2∴椭圆的离心率e==∈[,1．24．如果椭圆〔a＞b＞0上存在点P,使P到原点的距离等于该椭圆的焦距,则椭圆的离心率的取值范围是〔A．〔0,1B．〔0,C．D．解：设P〔x,y,∵P到原点的距离等于该椭圆的焦距,∴x2+y2=4c2①∵P在椭圆上,∴②联立①②得,∵0≤x2≤a2∴∴∴∴e∈故选C25．椭圆的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F1F2A．B．C．D．解：①当点P与短轴的顶点重合时,△F1F2P构成以F1F此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2②当△F1F2P构成以F1F以F2P作为等腰三角形的底边为例,∵F1F2=F1∴点P在以F1为圆心,半径为焦距2c的圆上因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2交点时,存在2个满足条件的等腰△F1F2此时a﹣c＜2c,解得a＜3c,所以离心率e当e=时,△F1F2同理,当F1P为等腰三角形的底边时,在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2这样,总共有6个不同的点P使得△F1F2综上所述,离心率的取值范围是：e∈〔,∪〔,126．设A1、A2为椭圆的左右顶点,若在椭圆上存在异于A1、A2的点P,使得,其中O为坐标原点,则椭圆的离心率e的取值范围是〔A．B．C．D．解：A1〔﹣a,0,A2〔a,0,设P〔x,y,则=〔﹣x,﹣y,=〔a﹣x,﹣y,∵,∴〔a﹣x〔﹣x+〔﹣y〔﹣y=0,y2=ax﹣x2＞0,∴0＜x＜a．代入=1,整理得〔b2﹣a2x2+a3x﹣a2b2=0在〔0,a上有解,令f〔x=〔b2﹣a2x2+a3x﹣a2b2=0,∵f〔0=﹣a2b2＜0,f〔a=0,如图：△=〔a32﹣4×〔b2﹣a2×〔﹣a2b2=a2〔a4﹣4a2b2+4b4=a2〔a2﹣2c22≥0,∴对称轴满足0＜﹣＜a,即0＜＜a,∴＜1,＞,又0＜＜1,∴＜＜1,故选D．27．已知点F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形