大学物理03刚体力学基础

第

3章刚体力学基础第

3章刚体力学基础§3.1

刚体运动的描述§3.2

刚体的定轴转动定理§3.3

刚体的转动惯量§3.4刚体定轴转动的角动量守恒定律§3.5

刚体定轴转动的功能原理§3.6

回转仪进动§3.7

刚体的平面运动刚体：

既考虑物体的质量,又考虑形状和大小，但忽略其形变的物体模型。§3.1

刚体运动的描述刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量元之间相对距离保持不变的质点系。一、刚体运动的基本形式

可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。1.平动刚体内任一直线在运动过程中始终保持平行。a.定轴转动b.定点转动如：门、窗的转动等。如：陀螺的转动。3.

平面运动可以分解为刚体随质心的平移和绕质心垂直于运动平面的定轴转动。刚体上每一质元的运动都平行于某一固定平面。如：车轮滚动。可以分解为随质心的平移和绕质心的定点转动。4.

刚体的一般运动

刚体上所有质点都绕同一直线(即转轴)作圆周运动。2.转动研究方法：作定轴转动时，刚体内平行于转轴的直线上各点具有相同的运动状态(速度和加速度)，因此，只要研究刚体内某一垂直于转轴的平面(转动平面)上各点的运动，就可了解整个刚体的运动。转动平面内：取转心O，参考轴x，1.刚体的角位置与角位移2.刚体的角速度角加速度二、定轴转动的描述角量xOP转动平面P点：角位置角位移3.线量与角量的关系：角速度的方向：rj角加速度的方向：加速转动时，两者同方向，减速转动时，两者反方向。对于匀角加速转动，则有：式中：是t=0时刻的角速度和角位置。说明：作定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量，但不同位置的质点具有不同的线量。匀加速直线运动：

刚体是一个质点系，描述质点系转动的动力学方程：1.刚体是质点系，刚体所受关于原点O

的力矩等于合外力矩。2.只有垂直转轴的外力分量才产生沿转轴方向的力矩Mz，而平行于转轴的外力分量产生的力矩Mxy则被轴承上支承力的力矩所抵消。§3.2

刚体的定轴转动定理一、刚体所受的力矩说明取惯性坐标系，设第i

个质元受外力，并假定垂直于转轴。xyz也被抵消所受关于O点的外力矩为：刚体所受的关于定轴的合力矩：刚体所受的关于O

的角动量：共面二、刚体定轴转动的角动量xzy对整个刚体：称为刚体对转轴z

的转动惯量。为刚体关于转轴z

的角动量。关于刚体角动量的补充说明mmbbaRJ结论：1、角动量和角速度一般并不在同一个方向上2、角动量与角速度在数值上也并不是以转动惯量为比例系数的正比关系得到：刚体定轴转动定律：设转动过程中J不变，则有：由质点系的角动量定理：对刚体的定轴转动，有：而且

刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。三、刚体定轴转动定律推广到J

可变情形：称为在t0到t

时间内作用在刚体上的角冲量。——刚体定轴转动的角动量定理

是关于刚体定轴转动的动力学方程。(与F=ma

比较)[例3-1]定滑轮：m，

r，J

，物体：m1，m2，

轻绳不能伸长，无相对滑动。求滑轮转动的角加速度和绳的张力。解：由于考虑滑轮的质量，问题中包括平动和转动。轮不打滑：联立方程，可解得T1

，T2，a，。

此装置称阿特伍德机——可用于测量重力加速度

g

r[例3-2]均质细棒：m

，l

，对水平轴O：，铅直位置时，一水平力F

作用于距O为l′

处，计算O

轴对棒的作用力(称轴反力)。O解：得：设轴反力为Nx，Ny。由转动定律：由质心运动定律：当l=2l/3时，Nx=0，此时的打击点称打击中心。l>2l/3时，Nx>0，l

<

2l/3时，Nx<0。c讨论：[例3-3]

半径为

R1

和R2、转动惯量为J1

和J2

的两个圆柱体，可绕垂直轴转动，最初大圆柱体的角速度为0，现将小圆柱体靠近碰到大圆柱体。由于摩擦，小圆柱体被带着转动，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。求小圆柱的最终角速度多大？设垂直于纸面向里为正向：无相对滑动：分别对o1

轴和o2

轴运用角动量定理。解：o1o2定义：1.刚体由分立的质点组成时：2.刚体为质量连续体时：单位(SI)：

转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体的形状、大小、质量分布以及转轴的位置有关。一、刚体的转动惯量及其计算§3.3

刚体的转动惯量[例3-4]求均质细棒(m

，l)的转动惯量：

(1)转轴通过中心与棒垂直，

(2)转轴通过棒的一端与棒垂直。解：(1)(2)

可见，转动惯量因转轴位置而变，故必须指明是关于某轴的转动惯量。OxOxdxdmdxdm[例3-5]求质量m

半径R

的(1)均质圆环，(2)均质圆盘对通过直径的转轴的转动惯量。解：(1)圆环：dmodm(2)圆盘：

可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。刚体对任一转轴的转动惯量J

等于对通过质心的平行转轴的转动惯量Jc加上刚体质量m

乘以两平行转轴间距离d

的平方。证明：二、平行轴定理coJcJd[例3-6]计算挂钟摆锤对O轴的转动惯量。O解：[例3-7]

设一薄板，已知对板面内两垂直轴的转动惯量分别为Jx、Jy，计算板对z轴的转动惯量Jz。Oxyz解：称垂直轴定理(适用于薄板)。如圆盘(m、R)对过圆心的垂直轴的转动惯量：[例3-8]

质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。求(1)由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。(2)绳子的张力。解：Mm[例3-9]

一质量为m

，长为l

的均质细杆，转轴在O点，距A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，求(1)水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置时的角速度和角加速度。解：(1)方向：

cOBAcOBA(2)[例3-10]

一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度为0，绕中心o旋转，问经过多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为）drr解：Ro为其转过的角度。定轴转动角动量定理：定轴转动角动量守恒定律：刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变。适用于刚体，非刚体和物体系。§3.4刚体定轴转动的角动量守恒定律当时，有即(常量)一、刚体(J

不变)的角动量守恒若

M=0，则J=常量，而刚体的J

不变，故的大小，方向保持不变。此时，即使撤去轴承的支撑作用，刚体仍将作定轴转动——定向回转仪——

可以作定向装置。如：直立旋转陀螺不倒。o

二、非刚体(J可变)的角动量守恒当J增大，w就减小，当J减小，w就增大。如：芭蕾舞，花样滑冰中的转动，恒星塌缩(R0，0)(R，)中子星的形成等。人与转台组成的系统对竖直轴的角动量守恒：[例3-11]

水平转台(m1、

R)可绕竖直的中心轴转动，初角速度w0，一人(m2)立在台中心，相对转台以恒定速度u沿半径向边缘走去，计算经时间

t，台转过了多少角度。解：台转过的角度：三、物体系的角动量守恒

若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：如：直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。角动量守恒条件[例3-12]摩擦离合器飞轮1：J1、

w1摩擦轮2：

J2

静止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。两轮对共同转轴的角动量守恒解：试与下例的齿轮啮合过程比较。21[例3-13]

两圆盘形齿轮半径r1、

r2，对通过盘心垂直于盘面转轴的转动惯量为J1、

J2，开始

1轮以w0转动，然后两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。两轮绕不同轴转动，故对两轴分别用角动量定理：得：解：12[例3-14]

均质细棒：m1、l

，水平轴O，小球：m2与棒相碰，碰前碰后如图，设碰撞时间很短，棒保持竖直，求碰后棒的角速度。系统对O轴角动量守恒注意：系统总动量一般不守恒，因为轴承处的外力不能忽略。只当碰撞在打击中心时，Nx=0，系统的水平动量守恒：解：O一、刚体定轴转动的转动动能

定轴转动可分解为刚体绕过质心轴的转动和随质心（绕定轴作圆周运动）的平动。§3.5

刚体定轴转动的功能原理oc由平行轴定理：二、力矩的功1.平行于定轴的外力对质元不做功。2.由于刚体内两质元的相对距离不变，一对内力做功之和为零。

说明ij合外力对刚体做的元功：力矩的功：功率：zP设作用在质元Dmi上的外力

位于转动平面内。三、刚体定轴转动的动能定理合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。四、刚体的重力势能以地面为势能零点，刚体和地球系统的重力势能：zOi五、刚体定轴转动的功能原理将重力矩作的功用重力势能差表示：得其中，M是除重力以外的其它外力矩。——刚体的机械能守恒定律——刚体定轴转动的功能原理若M=0，则[例3-15]均质细棒m，l

，水平轴O，开始棒处于水平状态，由静止释放，求棒摆到竖直位置时：(1)棒的角速度，(2)棒的转动动能，(3)质心的加速度，(4)轴的支反力。解：(2)(3)(4)(1)[例3-16]细杆A

：(m,L)可绕轴转动，水平处静止释放，在竖直位置与静止物块B；(m)

发生弹性碰撞，求碰后：(1)

vB

，(2)2，(3)θmax。解：碰后反方向转动。BABA[例3-17]圆锥体R，h，J，表面有浅槽，令以ω0转动，小滑块m由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑块速度、圆锥体角速度。解：系统机械能守恒：hRu对竖直轴的角动量守恒：讨论刚体的定点转动。

回转仪：由厚而重，形状对称的刚体绕对称轴高速自转的装置。当M=0时，角动量及角速度矢量保持恒定

——定向回转仪。当回转仪受到外力矩作用时，如：陀螺倾斜——？——进动

——回转效应。§3.6

回转仪进动设陀螺质量为m，以角速度自转。重力对固定点o的力矩：绕自身轴转动的角动量：由角动量定理的微分式：显然，时刻改变方向而大小不变——进动。1.陀螺

mgo进动角速度：2.进动轴通过定点且与外力平行。1.Ω(或ωp)与ω

有关，与θ无关。3.进动方向决定于外力矩和自转角速度的方向。4.较小时，

有周期性变化，称为章动。do说明改变方向，情况如何？

mgo2.杠杆回转仪当重物移近时，受力矩作用，出现回转现象。平衡时，保持大小方向不变。o俯视图回转效应的应用：飞机，轮船，导弹中的指向仪，炮筒内的旋转式来复线。改变方向，情况如何？改变方向，情况如何？o俯视图§3.7刚体的平面平行运动基本方程：平面平行运动自由度：3平动（2）+转动（1）质心运动定律：相对质心的角动量定理：若外力为保守力，则机械能守恒：不是独立方程！

若运动受到约束，则所受外力中除主动力外还存在着约束力，而约束力在解出运动前是未知的，因此除基本方程外还需列出相应的约束方程，才能构成完整的方程组。解：

d=0时，=0，刚体只有平动没有转动。[例3-18]长

l

质量m

的匀质细杆放在光滑的水平面上，以水平力

垂直作用在细杆上，作用点距质心为d

，计算

作用瞬间细杆的角加速度和质心的加速度。c.d[例3-19]一匀质圆球(r)从静止开始沿一粗糙斜面纯滚动而下，斜面倾角为，球从上端滚到下端球心高度相差为h，计算小球滚到下端时质心的速度和转动角速度。c解：纯滚动条件：也可由机械能守恒计算：mgNf上式即相对瞬心的转动定律

刚体作平面平行运动时，在一定条件下还可选瞬时转动中心作为角动量定理的参考点。瞬时转动中心（瞬心）刚体的平面平行运动可看作每一时刻都绕平面上或平面外某点的一个转动，一般而言，此点在不同时刻在不同的位置上。即转动中心是随时间改变的，故称瞬时转动中心。ABA’B’ABA’B’pABvAvBABvAvBvBvAAB长2l，质量m，均匀刚性棒，放在光滑水平面上，下端与水平面接触。棒的运动方程？qxyCOp基本方法：mgN约束方程最后得利用相对瞬心的角动量定理：相对瞬心的转动定律Opirpriri’0MvcFi在刚体作平面运动情况下OpCrprcrOpCrprcr相对瞬心的角动量定理若转动过程中质心到瞬心距离保持不变，即qxyCOp利用相对瞬心的角动量