第11章 塑性成形力学的工程应用

第十一章塑性成形力学的工程应用第一节金属塑性成形问题的求解方法概述

对于一般空间问题，在三个平衡微分方程和一个屈服准则中，共包含六个未知数，属静不定问题。再利用六个应力应变关系式（本构方程）和三个变形连续性方程，共得十三个方程，包含十三个未知数（六个应力分量，六个应变或应变速率分量，一个塑性模量），方程式和未知数相等。但是，这种数学解析法只有在某些特殊情况下才能解，而对一般的空间问题，数学上的精确解极其困难。

塑性成形力学解析的最精确的方法，是联解塑性应力状态和应变状态的基本方程。1．主应力法（又称初等解析法）从塑性变形体的应力边界条件出发，建立简化的平衡方程和屈服条件，并联立求解，得出边界上的正应力和变形的力能参数，但不考虑变形体内的应变状态。2．滑移线法假设材料为刚塑性体，在平面变形状态下，塑变区内任一点存在两族正交的滑移线族。根据这一原理结合边界条件可解出滑移线场和速度场，从而求出塑变区内的应力状态和瞬时流动状态，计算出力能参数。3．上限法从变形体的速度边界条件出发，对塑变区取较大的单元，根据极值原理，求出塑变能为极小值时满足变形连续条件和体积不变条件时的动可容速度场，计算出力能参数，但不考虑塑变区内的应力状态是否满足平衡方程。4．有限元法5.板料成形理论

对大量实际问题，则是进行一些简化和假设来求解。根据简化方法的不同，求解方法有下列几种。

主应力法是金属塑性成形中求解变形力的一种近似解法。它通过对应力状态作一些近似假设，建立以主应力表示的简化平衡方程和塑性条件，使求解过程大大简化。其基本要点如下：第二节主应力法及其求解要点（1）把变形体的应力和应变状态简化成平面问题（包括平面应变状态和平面应力状态）或轴对称问题，以便利用比较简单的塑性条件，即:（2）根据金属流动的方向，沿变形体整个（或部分）截面（一般为纵截面）切取包含接触面在内的基元体，且设作用于该基元体上的正应力都是均布的主应力。

（4）将经过简化的平衡微分方程和塑性条件联立求解，并利用边界条件确定积分常数，求得接触面上的应力分布，进而求得变形力。

（3）在对基元体列塑性条件时，假定接触面上的正应力为主应力，即忽略摩擦力对塑性条件的影响(忽略切应力)，从而使塑性条件大大简化。即有：（当>）。

由于经过简化的平衡方程和屈服方程实质上都是以主应力表示的，故此得名“主应力法”。又因这种解法是从切取基元体或基元板块着手的，故也形象地称为“切块法”（Slabmethod）。

第三节主应力法的应用

（1）切取基体。一、长矩形板坯变形力

设长矩形板坯在变形某瞬时的宽度为a，高度为h，长度为l(la)，故可近似地认为坯料沿l向无变形，属于平面变形问题。用主应力法计算变形力的步骤如下：可忽略长矩形板坯长度方向的变形!（2）列出基元体沿x轴方向的平衡微分方程。

（3）采用常摩擦条件。（m为摩擦因子，）(19-1)

（5）联解平衡微分方程和简化屈服方程(19-1)、（19-2）

，并将摩擦条件代入得：图19-2平行砧板间平面应变锻粗及垂直应力的分布图形（4）列出的简化屈服方程。因为式（19-1）中的应力代表其绝对值，对于镦粗变形，可判断出的绝对值必大于的绝对值，所以有（19-2）（7）将应力沿接触面积分可求出镦粗力和单位压力。

（6）利用应力边界条件求积分常数C：当，时有所以得（19-3）的分布图形见图19-2b)所示。（19-4）（19-4a）式中的表示工件外端（）处的垂直压应力（绝对值），若该处为自由表面有，则由式（19-2）得；由式（19-3）和式（19-4a），可方便求出宽度为a、高度为h的工件平面应变自由镦粗时接触面上的压应力和单位变形力p

（均为绝对值）（把和代入（19-3）式即可）（19-5）（19-6）图19-3表示平行砧板间的轴对称镦粗。图中基元板块的平衡方程式为二、轴对称镦粗的变形力图19-3轴对称镦粗变形及基元板块受力分析以下不讲!因是一极小微量，故，同时略去二阶微量，

则上式化简为假定为均匀镦粗变形，有得（19-7）所以按绝对值的简化屈服方程，因，故有:联解得（19-8）接触面满足常摩擦条件，对上式进行积分得当（19-9）（19-10）时得

为工件外端（）处的垂直压应力。若该处为自由表面，则可由上述公式求出高度为h、直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的压应力和单位变形力p：（19-11）否则由相邻变形区提供的边界条件确定。则；若（19-12）

圆柱体从锥形凹模挤出或锻件充填圆锥形模孔（腔）形成凸台属于这种类型。

三、通过圆锥孔型挤压的变形力第四节滑移线的基本理论(不讲)

因为最大切应力成对出现，相互正交，因此，滑移线在变形体内呈两族互相正交的网络，即所谓的滑移线场。

滑移线就是塑性变形体内最大切应力的轨迹线。滑移线法就是针对具体的变形过程，建立滑移线场，然后利用滑移线的特性求解塑性成形问题，确定变形体内的应力分布和速度分布，进而计算变形力，分析变形和决定毛坯的合理外形、尺寸等。严格地说，滑移线法只适用于求解理想刚塑性材料的平面变形问题，但对于主应力互为异号的平面应力问题，某些轴对称问题以及有硬化的材料，也可推广应用。

一、平面变形应力状态的特点

链接一、平面变形应力状态的特点

（19-21）最大切应力为：而作用在最大切应力平面上的正应力恰好等于中间主应力或平均应力，即由应力莫尔圆的几何关系可知有如下关系：式中，ω是最大切应力平面与x轴的夹角。链接过点P并标注其应力分量的微分面为物理平面，如图19-6d所示。显然，应力莫尔圆上一点对应一个物理平面，应力莫尔圆上两点之间的夹角为相应物理平面间夹角的两倍。

对于理想刚塑性材料，K为常数平面塑性应变状态的三个主应力也可以用平均应力与最大切应力K来表示，将一点的代数值最大的主应力的指向称为第一主方向（的作用线）。由第一主方向顺时针转所确定的最大切应力，符号为正，其指向称为第一剪切方向。另一最大切应力方向称为第二剪切方向。第一、第二两剪切方向相互正交。

二、最大切应力迹线——滑移线的形成

图19-7滑移线网络的形成一族称α为滑移线，另一族称为β滑移线。滑移线场中，两条滑移线的交点称为节点。

滑移线场与主应力迹线场相交成45°角。已知滑移线场便可作出主应力迹线场，反之，已知主应力迹线场也可作出滑移线场。

三、关于α、β滑移线和ω角的规定（2）滑移线两侧的最大切应力组成顺时针方向的为α族线，组成逆时针方向的为β族线；（3）当已知主应力σ1和σ3方向时，将它们沿顺时针方向旋转450角，即得α、β族线。（1）当α、β族线构成右手坐标系时，代数值最大的主应力σ1的作用方向位于第一与第三象限（4）α线的切线方向与ox轴的夹角以ω表示，并规定ox轴的正向为ω角的量度起始线，逆时针旋转形成的ω角为正，顺时针旋转形成的ω角为负。

由图可知四、滑移线的微分方程（19-23）滑移线的微分方程为五、滑移线的主要特性（一）汉基（H．Hencky）应力方程

(19-24)

（二）

滑移线的沿线特性

汉基应力方程是滑移线场理论中很重要的公式，根据汉基应力方程可推导出滑移线场的一些主要特性。（19-25）（1）若滑移线场已经确定，且已知一条滑移线上任一点的平均应力，则可确定该滑移线场中各点的应力状态。（2）若滑移线为直线，则此直线上各点的应力状态相同。（3）如果在滑移线场的某一区域内，两族滑移线皆为直线，则此区域内各点的应力状态相同，称为均匀应力场。

几点结论：（三）汉基第一定理（跨线特性）及其推论

同一族的一条滑移线转到另一条滑移线时，则沿另一族的任一条滑移线方向角的变化及平均应力的变化均为常数。

（19-26）由式（19-26）可知，若单元网络三个节点上的值为已知，则第四个节点上的值即可求出。

图19-11推论示意图从汉基第一定理可得出如下推论：若一族的一条滑移线的某一区段为直线段，则被另一族滑移线所截得的该族滑移线的所有相应线段皆为直线（见图19-11）。

滑移线场的建立概括起来有两种方法，即分析推理法（也称简化图解法）和数值解析法。分析推理法是根据塑性区内金属流动情况，将塑性变形区分成若干小区，各小区中滑移线场为已知的简单的滑移线场，各小区拼接处和整个滑移线场边界都应满足应力边界条件。六、滑移线场的建立1．不受力的自由表面自由表面上一点的应力状态，可分为两种情形：（一）塑性区的应力边界条件自由表面上有，所以，即两族滑移线与自由表面相交成。(a)（图19-12a）(b)（图19-12b）由于接触表面上无摩擦，即，则与不受力的自由表面情况一样，，两族滑移线与接触表面相交成，如图19-13所示。

2．无摩擦的接触表面图19-13无摩擦接触表面处的滑移线3．

摩擦切应力达到最大值K的接触面

由于接触表面上，则，或，即一族滑移线与接触表面相切，另一族滑移线与之正交。

4．摩擦切应力为某一中间值的接触表面此时，接触面上的摩擦切应力为0<<K。根据式（19-21）有（19-27）将的数值代人式（19-27）可求得的两个解。但它的正确解应根据、的代数值并利用应力莫尔圆来确定。确定后，即可确定线和线，如图19-15所示。

图19-15摩擦切应力为某一中间值的接触表面处的滑移线（二）常见的滑移线场类型1．直线滑移线场2．简单滑移线场(1)有心扇形场(2)无心扇形场

3．直线滑移线场与简单滑移线场的组合

4．由两族相互正交的光滑曲线所构成的滑移线场(1)当圆弧边界面为自由表面或其上作用有均布的法向应力时，其滑移线场由正交的对数螺旋线所构成，如图19-19a所示。(2)粗糙平行刚性板间压缩时，相应于接触面上摩擦力达到最大值的那一段，其滑移线场为正交的圆摆线，如图19-19b所示。(3)两个等半径圆弧所构成的滑移线场，也称扩展的有心扇形场，如图19-19c所示。

图19-19两族正交曲线构成的滑移线场第五节滑移线法的应用

(不讲)

一、平冲头压入半无限体

大型自由锻中剁刀切断大钢坯或用压铁在锻件上局部压入等工步的金属变形状态，可以看作是平冲头压入半无限体内的塑性成形问题。如钢坯尺寸很大，变形可以认为是平面变形。设冲头的宽度为2b，冲头表面光滑，与坯料的接触面上无摩擦力作用，现用滑移线法求解。1．

建立滑移线场

冲头压入时，冲头下的金属受压缩而产生塑性变形，靠近冲头两侧附近自由表面的金属因受挤后而产生凸起的塑性变形。在冲头两侧的自由表面上，由于无外力作用，根据滑移线的特性和应力边界条件，推知是均匀应力场，CD为线,AC为线，均与自由表面AD成。2．

求平均单位压力

由于对称，取右半部分分析。

在滑移线场中任取一条连接自由表面和冲头接触面的线EF，E、F点的应力可作应力莫尔圆求得。对F点，为压应力E点在接触面上均为压应力，其绝对值大于平冲头单位长度上的压力为在边界AD上，在接触面AO上EF为线由式（19-24）的第一式，有得或（19-28）（19-28a）（19-29）

按式（19-21）第二式，有所得结果与式（19-28）、（19-28a）相同。

对E、F点的应力也可直接由式（19-21）求得，计算如下：F点所以E点，则因为区为均匀应力场，所以单位流动压力为或第六节塑性极值原理和上限法

(不讲)

对于复杂的塑性成形问题，要求得一般的数学解是很困难的。通常采用近似方法求解塑性成形问题，得到的解有两种类型：数值解和解析解。采用有限元法和有限差分法得到的是数值解。用主应力法、滑移线法得出的是解析解，它们在求解时对问题本身和材料性质都作了一些简化处理和假设，难以得到准确解。而极限分析法则是另一种解析法，这种方法从力学理论基础上根本改变了近似和简化途径，使求解过程中不必解复杂的偏微分方程，并具有较可靠的解析结果。

一、概述如果在金属塑性成形过程的力学问题求解中通过近似的方法简化求解过程并排除复杂的数学运算，从而得出的载荷大于或小于这个真实的极限载荷，则所得出的解称为界限载荷。因此，极限分析的计算方法分为上限法与下限法，求解界限载荷的理论分为上限定理与下限定理。

在塑性成形理论中，对理想塑性材料的工件当载荷增加到某一数值时，即使载荷不再继续增加，塑性变形也会自然的发展，这时工件达到所谓极限状态，这样的载荷值称为极限载荷。极限载荷极限分析计算的界限载荷与实测载荷的误差一般约在（10～15）%，在工程应用的许可范围之内，因其计算简单，在工艺分析计算中得到广泛的应用。特别是上限法得出的结果略大于真实载荷，正符合于锻压设备选择与模具设计的安全要求。此外，上限法所依据的近似方法（虚拟的动可容速度场）能够用实验观察或用滑移线场找到参考依据，因此，这种方法在工程中得到广泛的应用，它除了用来估算成形过程的力能参数外，还可用于金属流动和变形分析、工艺参数和模具的优化设计，以及工件内部温度场和缺陷的预测等。故此，下面将着重介绍界限法中的上限法及其应用。

界限法的力学基础是虚功原理。变形体的虚功原理可表述如下：如对载荷系（力系）作用下处于平衡状态的变形体给予一符合约束条件的微小虚位移时，则外力在虚位移上所作的虚功，必等于变形体内应力在虚应变上所作的虚功（虚应变能）。为了方便起见，也可用功增量表示。

二、虚功原理与基本能量方程式（19-35）图19-28变形体边界的划分及其上的表面力Ti和位移增量dui在讨论虚功方程时，变形体内的位移（增量）场或速度场是处处连续的。而实际上，在刚塑性变形体内可能存在位移（增量）或速度不连续的情形，这点必须加以考虑。

三、速度间断现设变形体被速度间断面SD分成①和②两个区域；在微段dSD上的速度间断情况如图所示。根据塑性变形体积不变条件可知，垂直于dSD上的速度分量必须相等，否则材料将发生重叠或拉开。而切向速度分量可以不等，造成①、②区的相对滑动。其速度间断值为

速度间断面就是沿SD的一个速度急剧而连续变化的薄层区，如图所示。变形体由于存在速度间断，要消耗一定的剪切功率，其值为

(19-38）

图19-30速度间断薄层区如果变形体内存在若干个速度间断面，则所消耗的功率等于各个面所消耗功率的总和。

对于变形体存在速度间断时的虚功（率）方程应为

（19-39）当变形体处于塑性屈服状态，对刚塑性体而言，若应变增量场一定,在所有满足屈服准则的应力场中，与该应变增量场符合应力应变关系的应力场所做的塑性功增量为最大，其表达式为四、最大散逸功原理-----是满足同一屈服准则的任意应力偏量（场）。≥0（19-40）式中，d-----是符合应力应变关系的应力偏量（场）和应变增量（场）；五、上限法原理（2）变形体在变形时保持连续性，不发生重叠和开裂。（3）满足体积不变条件。即用上限法计算极限载荷时，只假设塑变区的位移状态为动可容速度场（或位移场），它满足下列三个条件：.（1）满足速度（或位移）的边界条件，即在位移面Su上，=或=，或.为给定的真实速度或真实位移。..而不考虑应力方面的条件，因此该速度（位移）场不一定是（一般不是）真实的速度（位移）场。依据此速度（位移）场所求得的极限载荷总是大于（最小等于）真实载荷，故称上限法。

由于所假设的速度（位移）场只要求满足动可容条件，现设有一动可容位移增量场，且变形体内存在速度间断面，其上的位移增量间断值为，如图19-33所示。将虚功方程用于动可容位移增量场和真实应力场，参照式（19-39）有

（19-45）式中，表示真实应力场