理论力学12-动能定理

第十二章动能定理前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题。在介绍动能定理之前，先介绍有关的物理量：功与动能。引言有时是更为方便和有效的。同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的联系。12.1力的功1常力的功设物体在常力F作用下沿直线走过路程s，则力所作的功W定义为功是代数量它表示力在一段路程上的累积作用效应，因此功为累积量。在国际单位制中，功的单位为：J(焦耳),1J＝1N·m。12.1力的功2变力的功设质点M在变力F的作用下沿曲线运动，如图。M'M1M2qdsMdrF力在全路程上作的功等于元功之和上式称为自然法表示的功的计算公式。力F在微小弧段上所作的功称为力的元功,记为dW,于是有12.1力的功也称为功的解析表达式。称为矢径法表示的功的计算公式。在直角坐标系中上两式可写成矢量点乘积形式上式称为直角坐标法表示的功的计算公式12.1力的功1)重力的功设质点的质量为m，在重力作用下从M1运动到M2。建立如图坐标，则代入功的解析表达式得3常见力的功M1M2Mmgz1z2Oxyz12.1力的功对于质点系，其重力所作的功为由此可见重力的功仅与重心的始末位置有关而与重心走过的路径无关12.1力的功2)弹力的功

物体受到弹性力的作用,作用点的轨迹为图示曲线A1A2。A1A2r2r1d1d2l0Or0rAdFA0dr

在弹簧的弹性极限内,弹性力的大小与其变形量d成正比。设弹簧原长为l0

弹簧刚度系数为k沿矢径方向的单位矢量为r0，则弹性力为12.1力的功A1A2r2r1d1d2l0Or0rAdFA0dr当弹簧伸长时，r>l0，力F与r0的方向相反；当弹簧被压缩时，r<l0，力F与r0的方向一致；点A由A1至A2时，弹性力做功为12.1力的功于是或因为弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有关当时，弹性力做正功；当时，弹性力做负功。与力的作用点A的轨迹形状无关。12.1力的功3)定轴转动刚体上作用力的功设作用在定轴转动刚体上A点的力为F,将该力分解为Ft、Fn和Fb，当刚体转动时，转角j与弧长s的关系为R为力作用点A到轴的垂距。力F的元功为FtFrFbFnOzO1Aq力F在刚体从角j1转到j2所作的功为Mz可视为作用在刚体上的力偶12.1力的功a例1如图所示滑块重P＝9.8N，弹簧刚度系数k＝0.5N/cm，滑块在A位置时弹簧对滑块的拉力为2.5N，滑块在20N的绳子拉力作用下沿光滑水平槽从位置A运动到位置B，求作用于滑块上所有力的功的和。解：滑块在任一瞬时受力如图。在运动过程中，T的大小不变，但方向在变，因此T的元功为T15cmBA20cmTPFN由于P与N始终垂直于滑块位移，因此，它们所作的功为零。所以只需计算T与F的功，先计算T的功：12.1力的功因此T在整个过程中所作的功为再计算F的功：由题意：因此F在整个过程中所作的功为因此所有力的功为T15cmBA20cm12.2质点和质点系的动能1.质点的动能设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为动能是标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。2.质点系的动能质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动能，即刚体是工程实际中常见的质点系，当刚体的运动形式不同时，其动能的表达式也不同。12.2质点和质点系的动能(1)

平动刚体的动能(2)

定轴转动刚体的动能12.2质点和质点系的动能(3)

平面运动刚体的动能因为JP＝JC

+md

2所以因为d·w＝vC

,于是得平面运动刚体的动能等于随质心平动的动能与绕质心转动的动能的和。dwCP12.2质点和质点系的动能CvC牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能:12.2质点和质点系的动能12.2质点和质点系的动能vABC解：II为AB杆的瞬心例2均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v，杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。12.2质点和质点系的动能例3长为l，重为P的均质杆OA由球铰链O固定，并以等角速度ω

绕铅直线转动，如图所示，如杆与铅直线的交角为α，求杆的动能。杆OA的动能是解：取出微段dr，到球铰的距离为r微段的质量微段的动能aOO1wPAC该微段的速度是drBr12.2质点和质点系的动能O1例4求椭圆规的动能，其中OC、AB为均质细杆，质量为m和2m，长为a和2a，滑块A和B质量均为m，曲柄OC的角速度为w，j

=60°。解：在椭圆规系统中滑块A和B作平动，曲柄OC作定轴转动，规尺AB作平面运动。ABOCjwvCvBvAwAB首先对运动进行分析，O1是AB的速度瞬心，因:12.2质点和质点系的动能ABvAvCOCjO1wvBwAB对于曲柄OC： 规尺作平面运动，用绕速度瞬心转动的公式求动能：12.2质点和质点系的动能系统的总动能为： ABvAvCOCjO1wvBwAB12.2质点和质点系的动能BjA例5滑块A以速度vA在滑道内滑动，其上铰接一质量为m，长为l的均质杆AB，杆以角速度ω

绕A转动，如图。试求当杆AB与铅垂线的夹角为j时，杆的动能。解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为速度合成矢量图如图。由余弦定理vAvAvCAvCvAwjBAlw12.2质点和质点系的动能则杆的动能BjAvAvCAvCvAw1.质点的动能定理取质点运动微分方程的矢量形式在方程两边点乘dr，得因dr＝vdt，于是上式可写成或质点动能的增量等于作用在质点上的力的元功。12.3动能定理积分上式，得或在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。12.3动能定理2.质点系的动能定理设质点系由n个质点组成，第i个质点的质量为mi，速度为vi，根据质点的动能定理的微分形式，有式中dWi表示作用在第i个质点上所有力所作的元功之和。对质点系中每个质点都可以列出如上的方程，将n个方程相加，得12.3动能定理于是得质点系动能的微分，等于作用在质点系上所有力所作的元功之和。对上式积分，得质点系在某一运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这一过程中所作的功之和。12.3动能定理3.理想约束及内力作功对于光滑固定面和一端固定的绳索等约束，其约束力都垂直于力作用点的位移，约束力不作功。12.3动能定理光滑铰支座和固定端约束，由于被约束物体没有位移，其约束力不作功。光滑铰链(中间铰链)、刚性二力杆及不可伸长的细绳作为系统内的约束时，内力成对出现，约束力作功之和等于零。滑动摩擦力作负功。当轮子在固定面上只滚不滑时，接触点为瞬心，滑动摩擦力作用点没动，此时滑动摩擦力不作功。变形元件的内力(气缸内气体压力、弹簧力等)作功；刚体所有内力作功的和等于零。12.3动能定理

例6一长为l，质量密度为ρ的链条放置在光滑的水平桌面上，有长为b的一段悬挂下垂，如图。初始链条静止，在自重的作用下运动。求当末端滑离桌面时，链条的速度。解得解:链条在初始及终了两状态的动能分别为

在运动过程中所有的力所作的功为由12.3动能定理例7已知：

m

，R,f

，

。求纯滚动时盘心的加速度。CFNmgvCF解：取系统为研究对象，假设圆盘中心向下产生位移s时速度达到vc。s力的功：由动能定理得：解得：R12.3动能定理例8卷扬机如图，鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角为α，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程S时的速度。解：以系统为研究对象，受力如图。系统在初始及终了两状态的动能分别为FNFOxFOyMFSm1gaOCm2g系统在运动过程中所有力所作的功为12.3动能定理其中于是由得解之得aFNFSm2gm1gFOxFOyMOC12.3动能定理例9在对称连杆的A点，作用一铅垂方向的常力F，开始时系统静止，如图。求连杆OA运动到水平位置时的角速度。设连杆长均为l，质量均为m，均质圆盘质量为m1，且作纯滚动。解：分析系统，初瞬时的动能为设连杆OA运动到水平位置时的角速度为ω。OaAFBwvAvB且此时B端为杆AB的速度瞬心由于OA＝AB所以杆AB的角速度也为ω。因此轮B的角速度为零，vB=0。系统此时的动能为12.3动能定理系统受力如图所示解得OaAFBmgmgFSFNm1gFOxFOy由得在运动过程中所有的力所作的功为例10

已知：

J1、

J2、R1、R2、i12=R2/R1、M1、M2。求轴Ⅰ的角加速度。ⅠⅡM1M2解：取系统为研究对象由运动学可知：主动力的功：12.3动能定理12.3动能定理由动能定理得：将上式对时间求导，并注意解得：ⅠⅡM1M2例11两根完全相同的均质细杆AB和BC用铰链B连接在一起，而杆BC则用铰链C连接在C点上，每根杆重P＝10N，长l＝1m，一弹簧常数k＝120N/m的弹簧连接在两杆的中心，如图所示。假设两杆与光滑地面的夹角q＝60º时弹簧不伸长，一F＝10N的力作用在A点，该系统由静止释放，试求q＝0º时AB杆的角速度。OvAvDFwAB解：AB杆作平面运动，BC杆作定轴转动得 找出AB杆的速度瞬心在O点由几何关系知OB＝BC＝l因此由12.3动能定理AqCBDwBCvBAqCBODvAvDvBFwBCwAB同时还可以得出结论因为系统属理想约束，所以约束反力不做功主动力做功当θ=0º时O点与A点重合，即此时A为AB杆的速度瞬心，所以做功的力有主动力F，重力P和弹簧力，分别求得如下：12.3动能定理弹簧力做功外力所做总功由动能定理的积分形式得：

重力做功12.3动能定理12.3动能定理解：取系统分析，则运动初瞬时的动能为例12

如图，重物A和B通过动滑轮D和定滑轮C而运动。如果重物A开始时向下的速度为v0，试问重物A下落多大距离，其速度增大一倍。设重物A和B的质量均为m，滑轮D和C的质量均为M，且为均质圆盘。重物B与水平面间的动摩擦系数为f'，绳索不能伸长，其质量忽略不计。DAB2v0Cv012.3动能定理系统受力如图所示由得解得速度增大一倍时的动能为DABCmgMgMgmgFNFSFOyFOx设重物A下降h高度时，其速度增大一倍。在此过程中，所有的力所作的功为12.3动能定理例13图示机构，均质杆质量为m＝10kg，长度为l＝60cm，两端与不计重量的滑块铰接，滑块可在光滑槽内滑动，弹簧的弹性系数为k＝360N/m。在图示位置，系统静止，弹簧的伸长为20cm。然后无初速释放，求当杆到达铅垂位置时的角速度。解：以系统为研究对象，则运动初瞬时的动能为当杆运动到铅垂位置时，其速度瞬心为杆端B，设此时杆的角速度为w，则系统的动能为BACmg30cm12.3动能定理在系统运动过程中，只有重力和弹力作功，所以在系统运动过程中所有的力所作的功为由得所以BACmg30cm1.功率单位时间内力所作的功－功率（P）力的功率等于切向力与其作用点速度的标积。工程上，需要知道机器在单位时间内所做的功。机器能够输出的最大功率是一定的，因此用机床加工零件时，如果切削力较大，必须选择较小的切削速度。汽车上坡时，由于需要较大的驱动力，所以须换用低档运行，以求在发动机功率一定的条件下，产生较大的驱动力。12.4

功率·功率方程·机械效率作用在转动刚体上的力的功率等于该力对转轴的矩与刚体转动角速度的乘积。作用在转动刚体上的力的功率在国际单位制中，每秒钟力所作的功为1J时，其功率定为1W。12.4

功率·功率方程·机械效率2.功率方程质点系动能定理的微分形式等式两边同除以dt质点系动能对时间的一阶导数等于作用在系统上所有力的功率的代数和。——功率方程——输入功率——有用功率，输出功率——无用功率，损耗功率12.4

功率·功率方程·机械效率功率方程常用来研究机器在工作室能量的变化和转化的问题。例如：车床工作时，电场对电机转子作用的力作正功，使转子转动，电场力的功率称为输入功率。由于胶带传动，齿轮传动和轴承与轴之间都有摩擦，摩擦力作负功，使一部分机械能转换为热能。传动系统中的零件也会相互碰撞，也要损失一部分功率。这些功率都去负值，称为无用功率或损耗功率。车床切削工件时，切削阻力对夹持在车床主轴上的工件作负功，这是车床加工零件时必须付出的功率，称为有用功率或输出功率。12.4

功率·功率方程·机械效率3.机械效率工程中要用到有效功率的概念有效功率与输入功率的比值称为机器的机械效率，用η表示。即由上式可知，机械效率η表明机器对输入功率的有效利用程度，它是评定机器质量好坏的指标之一。显然，一般情况下，η<1。12.4

功率·功率方程·机械效率一部机器的传动部分一般由许多零件组成。对于有n级传动的系统，总效率等于各级效率的连乘积，即12.4

功率·功率方程·机械效率轴承与轴之间、胶带与轮之间、齿轮与齿轮之间、各级传动都因摩擦而消耗功率，各级传动都有各自的效率。12.4

功率·功率方程·机械效率例题14车床电动机的功率P输入＝5.4kW

。传动零件之间的磨擦损耗功率为输入功率的30％。工件的直径d＝100mm。求：转速n=42r/min和n=112r/min的允许最大切削力。解：车床正常工作时，工件匀速旋转，动能无变化其中切削力F与工件在切削力作用点的速度v同向12.4

功率·功率方程·机械效率当

n=42r/min时当

n=112r/min时12.5势力场·势能·机械能守恒定律1.势力场

如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为——力场。如果物体在某力场内运动，作用于物体的力所作的功只与力作用点的初始位置和终了位置有关，而与该点的轨迹形状无关，这种力场称为——势力场（保守力场）。例如：物体在地球表面的任何位置都要受到一个确定的重力的作用，我们称地球表面的空间为重力场。又如：星球在太阳周围的任何位置都要受到太阳引力的作用，引力的大小和方向决定于此星球相对于太阳的位置，我们称太阳周围的空间为太阳引力场。2.势能在势力场中，质点从点M运动到任选的点M0，有势力所作的功称为质点在点M相对于点M0的势能，以V表示为点M0的势能等于零，称为零势能点。在势力场中，势能的大小是相对于零势能点而言的。零势能点M0可以任意选取，对于不同的零势能点，在势力场中同一位置的势能可有不同的数值。12.5势力场·势能·机械能守恒定律12.5势力场·势能·机械能守恒定律a.重力场中的势能b.弹性力场中的势能取M0为零势能点，则点M的势能为：取弹簧自然位置为零势能点，则有：几种常见势能的计算c.万有引力场中的势能取无穷远处为零势能点，则有：有势力所作的功等于质点系在运动过程的初始与终了位置的势能的差。12.5势力场·势能·机械能守恒定律3.机械能守恒定律

保守系统

—仅在有势力作用下的系统。机械能

—系统所具有的动能与势能的总称。机械能守恒

—系统仅在有势力作用下运动时，其机械能保持恒定。12.5势力场·势能·机械能守恒定律前面分别介绍了动力学普遍定理(动量定理、动量矩定理和动能定理)它们从不同角度研究了质点或质点系的运动量(动量、动量矩、动能)的变化与力的作用量(冲量、力矩、功等)的关系。但每一定理又只反映了这种关系的一个方面，即每一定理只能求解质点系动力学某一方面的问题。动量定理和动量矩定理是矢量形式，因质点系的内力不能改变系统的动量和动量矩，应用时只需考虑质点系所受的外力动能定理是标量形式，在很多问题中约束反力不作功，因而应用它分析系统速度变化是比较方便的。但应注意，在有些情况下质点系的内力也要作功，应用时要具体分析。12.6普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用有两方面含义：其一，对一个问题可用不同的定理求解下面就只用一个定理就能求解的题目，如何选择定理，说明如下：其二，对一个问题需用几个定理才能求解。(1)与路程有关的问题用动能定理，与时间有关的问题用动量定理或动量矩定理。(2)已知主动力求质点系的运动用动能定理，已知质点系的运动求约束反力用动量定理或质心运动定理或动量矩定理。12.6普遍定理综合应用已知外力求质点系质心运动用质心运动定理。

(3)如果问题是要求速度或角速度，则要视已知条件而定。若质点系所受外力的主矢为零或在某轴上的投影为零，则可用动量守恒定律求解。若质点系所受外力对某固定轴的矩的代数和为零，则可用对该轴动量矩守恒定律求解。若质点系仅受有势力的作用或非有势力不作功，则用机械能守恒定律求解。若作用在质点系上的非有势力作功，则用动能定理求解。12.6普遍定理综合应用(4)如果问题是要求加速度或角加速度，可用动能定理求出速度(或角速度)，然后再对时间求导，求出加速度(或角加速度)。也可用功率方程、动量定理或动量矩定理求解。在用动能定理或功率方程求解时，不作功的未知力在方程中不出现，给问题的求解带来很大的方便。

(5)对于定轴转动问题，可用定轴转动的微分方程求解。对于刚体的平面运动问题，可用平面运动微分方程求解。有时一个问题，几个定理都可以求解，此时可选择最合适的定理，用最简单的方法求解。对于复杂的动力学问题，不外乎是上述几种情况的组合，可以根据各定理的特点联合应用。下面举例说明。12.6普遍定理综合应用例15如图，均质杆质量为m，长为l，可绕距端点l/3的转轴O转动，求杆由水平位置静止开始转动到任一位置时的角速度、角加速度以及轴承O的约束反力。解：本题已知主动力求运动和约束反力。杆作定轴转动，转动到任一位置时的动能为解法1：用动能定理求运动jCOmgw12.6普遍定理综合应用以杆为研究对象。由于杆由水平位置静止开始运动，故开始的动能为零，即由得将前式两边对时间求导，得jCOmgw在此过程中所有的力所作的功为12.6普遍定理综合应用解法2：用微分方程求运动COmg由定轴转动微分方程即所以得即又所以FOyFOxa12.6普遍定理综合应用xyaCxaCy现在求约束反力。质心加速度有切向和法向分量：atCanC将其向直角坐标轴上投影得：12.6普遍定理综合应用CjOwaCOmgxyaCxaCyFOyFOx由质心运动定理得：解得：12.6普遍定理综合应用BA例16物块A和B的质量分别为m1、m2，且m1＞m2

，分别系在绳索的两端，绳跨过一定滑轮，如图。滑轮的质量为m，并可看成是半径为r的均质圆盘。假设不计绳的质量和轴承摩擦，绳与滑轮之间无相对滑动，试求物块A的加速度和轴承O的约束反力。解一：取单个物体为研究对象。分别以物块A、B和滑轮为研究对象，受力如图。分别由质心运动定理和定轴转动的微分方程，得m1gFAam2gFBaABOr12.6普遍定理综合应用

由以上方程联立求解得：注意到12.6普遍定理综合应用F'BF'AFOxFOyOmga

解二：用动能定理和质心运动定理。解：以整个系统为研究对象，受力如图，运动分析如图。系统动能为所有力的元功的代数和为BAm1gvm2gvFOxFOyOmgw由微分形式的动能定理得12.6普遍定理综合应用

由质心坐标公式于是可得BAm1gvm2gvFOxFOyOmgw由得12.6普遍定理综合应用于是可得

解三：用动量矩定理和质心运动定理(或动量定理)。解：以整个系统为研究对象，受力如图，运动分析如图。系统对定轴的动量矩为然后按解二的方法即可求得轴承O的约束反力。BAm1gam2gaFOxFOyOmge由得12.6普遍定理综合应用例17如图所示，均质圆盘可绕O轴在铅垂面内转动，圆盘的质量为m，半径为R。在圆盘的质心C上连结一刚性系数为k的水平弹簧，弹簧的另一端固定在A点，CA＝2R为弹簧的原长，圆盘在常力偶矩M的作用下，由最低位置无初速地绕O轴向上转。试求圆盘到达最高位置时，轴承O的约束反力。解：以圆盘为研究对象，受力如图，建