现代电子测量(二)

测量误差与数据处理基本知识

现代电子测量（二）本节课主要内容

误差的定义、来源和表示方法误差分类及其性质和处理方法测量误差的传递、合成与微小误差准则测量数据的处理概述

测量误差与数据处理是一切从事测试工作的人员必须掌握的基础知识。误差自始至终存在于一切科学实验的过程之中。误差是一种估计测量过程或用于测量的仪器、仪表、计量器具精确度的“尺度”研究误差的目的

正确分析已取得的测量数据，估计它所含的误差，判定测量数据的可靠程度帮助测试人员选择已有的测量设备，正确地组织实验测量误差的主要来源装置误差由于测量所用的仪器、装置的设计、结构、制造等方面的不完善，以及设备在安装、调整等方面存在的缺陷及不理想情况，都会在测量中引入误差。环境误差由于外界环境，如温度、湿度、电磁场、振动等影响而产生的误差。

测量误差的主要来源人身误差由于测量人员的个人因素，如感觉器官的反应灵敏程度、判断能力、操作的熟练程度等引入的误差。方法误差由于测量所依据的理论本身不完善、近似或省略、数据处理时的舍入等引入的误差。误差的定义

一个物理量的给出值（测得值）x与该量的真值A0之间的代数差，称为误差Δx，即：Δx=x-A0

真值是指在一定的时间及空间条件下，某物理量的真实数值。真值是无法实际得到的。误差的定义作为真值看待的一些人为规定：理论真值。如：三角形内角和为180º；计量学约定真值（指定值）。国际计量大会所规定的单位值称为约定真值；标准器相对真值（实际值）。上一级的标准器示值对下一级的标准器来说，可以视为相对真值。在多次测量中，也可以用测得值的算术平均值作为相对真值。修正值C绝对值与Δx相等而符号相反的值C=-ΔxA0=x-Δx=x+C误差的表示方法

绝对误差Δx=x-A0

绝对误差数值的大小表示了误差的大小，符号表示了误差的方向，但它不能反映测量的精度。误差的表示方法

相对误差实际相对误差：用绝对误差与被测量实际值之比来表示的相对误差。rA=(Δx/A)×100%误差的表示方法

相对误差示值（或标称值）相对误差：用绝对误差与仪器的示值（或标称值）之比来表示的相对误差。Rx=(Δx/x)×100%误差的表示方法

相对误差满度（或称引用）相对误差：用绝对误差与仪器的满度值xm之比来表示的相对误差。Rm=(Δx/xm)×100%

误差的表示方法

相对误差分贝误差：用分贝表示的相对误差。对于电压、电流等参数：rdB=20log(1+Δx/x)

对于功率等参数：rdB=10log(1+Δx/x)

误差的表示方法

相对误差相对误差是一个比值，与测量的单位无关。相对误差既反映误差的大小和方向，也反映测量的精度。

误差分类及其性质和处理方法

系统误差在一定条件下误差的数值（包括大小和符号）保持恒定或按某种已知规律变化的误差。误差分类及其性质和处理方法

系统误差恒定系差：误差的数值在一定条件下保持恒定不变的误差；变值系差：误差的数值按某一确切的规律变化的误差。误差分类及其性质和处理方法

系统误差--变值系差累进性系差：在整个测量过程中，误差的数值在逐渐地增大或减小。周期性系差：在整个测量过程中周期性地改变误差的大小及符号的系差。误差分类及其性质和处理方法

系统误差--变值系差按复杂规律变化的系差：误差的变化规律很复杂，但在多次测量时具有重复性，可以通过曲线、表格或经验公式等来表示的误差。误差分类及其性质和处理方法

系统误差的检验

检验系统误差的目的是检查测量中所包含的系统误差性质，并采取适当方法消除或修正。误差分类及其性质和处理方法

恒定系差的检验通过与高一级的标准仪器测量所得的结果相比较来发现恒定系差，并引入修正量进行修正；利用多台同类仪器进行比对测量，观察各测量结果的差异，从而检验彼此之间是否存在恒定系差，但该方法不能给出系差的确切值。误差分类及其性质和处理方法

变值系差的检验阿贝—赫梅特检验准则阿贝—赫梅特检验准则是适用于检验在同一测量条件下多次重复测量，即所谓等精度测量值中是否存在周期性变值系差的准则。

误差分类及其性质和处理方法

变值系差的检验——阿贝—赫梅特检验准则设一系列等精度测量结果按测量时间先后顺序排列为x1，x2….xn，其相应的残余误差为γ1,γ2，…，γn，若：则可认为测量中存在着周期性变值系差。误差分类及其性质和处理方法

变值系差的检验——阿贝—赫梅特检验准则上式中：n为测量次数为n次测量值的算术平均值σ为测量值的标准偏差γi为第i次测量的残余误差（残差）误差分类及其性质和处理方法

变值系差的检验马利科夫检验准则

马利科夫检验准则适用于检验测量值序列中是否含有累进性变值系差。

误差分类及其性质和处理方法

变值系差的检验——马利科夫检验准则

设一系列等精度测量结果按测量时间先后顺序排列为x1，x2….xn，其相应的残余误差为γ1,γ2，…，γn，如将所有残差分成前后两个部分，并求出其差值为：上式中：n为偶数，K=n/2，若n为奇数，K=(n+1)/2，则此时：

误差分类及其性质和处理方法

变值系差的检验——马利科夫检验准则

如果M≈0,则可认为测量中不存在累进性变值系差；

如果M值与0相差很大，且

，则存在累进性系差。

误差分类及其性质和处理方法

系统误差的削弱和消除引入修正值对测量结果进行修正，以消除系统误差；在实验过程中尽量通过分析比较，找出产生系差的原因，并设法消除这些因素；选用适当的测量方法，削弱或消除系统误差。误差分类及其性质和处理方法

随机误差随机误差是指具有随机特性的误差，是测量误差的主要来源之一，包括随机噪声和连接附件的不稳定性。误差分类及其性质和处理方法

随机误差的性质

在测试环境相同的条件下，对各种被测参数进行多次等精度测量时，所得随机误差都服从一种普遍意义的统计规律，绝大多数服从正态分布（高斯分布）。随机误差具有四个特性，即单峰性、对称性、有界性和抵偿性。

误差分类及其性质和处理方法

随机误差的性质

绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的误差出现的次数多，称为单峰性；绝对值相等的正误差与负误差出现的次数大致相同，称为对称性；绝对值很大的误差出现的机会极小，故在有限次测量中，误差的绝对值不会超过一定的界限，称为有界性；误差分类及其性质和处理方法

随机误差的性质

当测量次数n趋于无穷大时，误差的平均值将趋于零，称为随机误差具有抵偿性，即：

ζi——随机误差，A0——真值，xi——第i次测量值

误差分类及其性质和处理方法

随机误差的性质

单峰性不一定对所有的随机误差都存在，但抵偿性却是随机误差最本质的特性。减小随机误差的方法是进行多次重复测量，并求出平均值；

随机误差的表示方法

正态分布的特征值

大多数随机误差都服从正态分布，其概率密度分布曲线称为正态分布曲线。P(x)(P(ζ))Ex，(0)x，(ζ)随机误差的表示方法

数学期望式中：xi为第i次测量值，n为测量次数。在无系差测量中Ex就是真值A0。随机误差的表示方法

算术平均值当测量次数有限时，得到的测量值的有限次平均。算术平均值时数学期望的最佳估值。随机误差的表示方法

均方根误差（标准偏差）式中：Ex为测得值的数学期望值。随机误差的表示方法

σ的估值

式中：称为残余误差。随机误差的表示方法

平均误差δ平均误差δ的实用计算公式：随机误差的表示方法

或然误差ρ

在一列等精度测量中，得到的各个误差，按其绝对值大小顺序排列，取其中间位置的误差作为代表，称为或然误差。σ、δ、ρ三者的关系：

随机误差的表示方法

粗大误差（差错）

粗大误差是指在错误的、不正确的测量值中所包含的误差，这类误差大多由仪器误动作、操作错误、记录数据错误等因素造成。

不确定度、置信限、置信概率与置信度

不确定度：

不确定度是指测量结果的可能误差范围。不确定度、置信限、置信概率与置信度

置信限、置信概率与置信度

在处理随机误差时往往把随机误差落在其中的区间称为置信限（置信区间）；估计的可信赖程度称为置信概率；在随机误差处理中，常把置信区间用±Kσ表示，其中K称为置信度（置信系数）。不确定度、置信限、置信概率与置信度

K可根据随机误差服从的概率分布情况和测量要求的置信概率Pc[]查相应的数表求得。反之，当已知K时亦可查得相应的Pc值。

KK0.50.38292.50.98761.00.68273.00.99731.50.86643.50.99952.00.95454.00.9999测量误差的传递、合成与微小误差准则测量误差的传递间接测量中，研究各被测量的误差，即局部误差（或称分项误差）与最后结果的总误差之间的相互关系问题称之为误差传递。

误差传递的一般公式

设各直接测量的参数为x1、x2、…、xm，且彼此独立，间接测量的参数与上述各参数之间的函数关系为：y=f(x1,x2,…,xm)测量误差的传递、合成与微小误差准则绝对误差传递公式为:

测量误差的传递、合成与微小误差准则式中：Δxi为各xi的测量误差

Δy为y的测量误差为误差传递系数

相对误差传递公式为：测量误差的传递、合成与微小误差准则式中：Δxi为各xi的测量误差

Δy为y的测量误差为误差传递系数

间接测量中标准偏差的一般传递公式测量误差的传递、合成与微小误差准则设y=f(x1,x2,…,xm)且式中

x1，x2，…，xm为直接测量量且相互独立，则：式中：σ1，σ2，…，σm分别为x1，x2，…，xm的标准偏差。

σy为y的标准偏差。间接测量值y的最佳估值测量误差的传递、合成与微小误差准则设y=f(x1,x2,…,xm)则：式中：，，…，为各分量的算术平均值为间接测量值的算术平均值（即最佳估值）误差传递公式在基本运算（加、减、乘、除）中的应用测量误差的传递、合成与微小误差准则若y=x1·x2则：Δy=x2Δx1+x1Δx2

写成相对误差形式，则：误差传递的基本性质测量误差的传递、合成与微小误差准则误差的传递不能按原函数形式进行简单的代数运算，必须按传递公式计算；对于加法与减法运算，传递时采用绝对误差较为方便，对于乘法与除法运算，采用相对误差比较方便；误差传递基本性质测量误差的传递、合成与微小误差准则函数关系中的乘法运算相当于相对误差的加法运算，函数关系中的除法运算相当于相对误差的减法运算；不论是加、减、乘、除哪一种运算，均方根误差（加减时为绝对均方根误差，乘除时为相对均方根误差）都以几何和的法则传递。误差的合成测量误差的传递、合成与微小误差准则在分析测量误差时，有时测量结果受由许多因素引入的若干项误差组成，因此必须将所有的误差按一定的原则进行合成。在合成误差时通常假设各项误差是彼此独立的。误差的合成——代数和法

测量误差的传递、合成与微小误差准则如果各局部误差的大小、符号已知，则可将所有的误差取代数和合成：式中：e为合成误差，ei为分项误差，m为误差的项数。该方法适用于恒定系统误差的合成。误差的合成——绝对值和法

测量误差的传递、合成与微小误差准则当局部误差项数较少时（一般小于3项），且只知道误差的大小而不知其符号时，将所有的误差按绝对值取和，即：该方法完全没有考虑误差间的可能抵偿，是最保守的，但也是最稳妥的。该方法适合于局部误差项数较少时系统不确定度的合成。误差的合成——方和根法测量误差的传递、合成与微小误差准则当局部误差项数较多时，可按方和根法进行合成，即：此方法对合成随机误差比较合适，此时式中ei=σi；当误差项数较少时，此方法合成的误差往往偏低，工程计算中常在合成后乘以1.1～1.3倍加以扩大。误差的合成——广义方和根法

测量误差的传递、合成与微小误差准则如果各局部随机误差的分布不同，为了使合成的总不确定度e更符合实际情况，将所有分项不确定度ei(ei=Kiσi)分别除以相应的置信系数Ki再取方和根，并乘以总置信系数K，即：微小误差准则测量误差的传递、合成与微小误差准则在测量中常会遇到由多个分项误差合成总误差的问题，如果某一项或几项误差的作用只影响到总误差的第二位数字或第二位以后的数字时，就可以把这些误差忽略而不会使总误差发生显著的改变。这些可以忽略的误差就称为“微小误差”。微小误差准则——恒定系差的微小准则

测量误差的传递、合成与微小误差准则准则一：用代数和法合成总误差时，当小误差与总误差之比小于或等于1／20时，则该小误差即为微小误差，计算时可以忽略不计。1／20的要求往往太严，就是在计量工作中要达到1／20的比值也是困难的，因此通常放宽到1／10。微小误差准则——标准偏差微小准则测量误差的传递、合成与微小误差准则准则二：利用方和根法合成的误差，当小误差的σx不大于总误差的σy的1／3时，则该小误差为微小误差。对于比较精密的测量，如果某项微小误差大约比总误差小一个数量级，则该项误差便可忽略不计。

不确定度微小准则测量误差的传递、合成与微小误差准则设各分项不确定度为e1、e2，则总不确定度为：

当时，e1即为微小不确定度，可以忽略不计。

不确定度微小准则测量误差的传递、合成与微小误差准则准则三：用广义方和根法合成不确定度时，当小不确定度约为总不确定度的1/3～l/9时，则这个小不确定度为微小不确定度，可以略去。

不确定度微小准则测量误差的传递、合成与微小误差准则准则三近似地概括了以下三种情况：当分项不确定度是随机误差时，可选用1/3的限制；当分项不确定度是恒定系差时，可选用1/9的限制；通常不仔细区分是哪种性质的误差，可以笼统地选用；坏值剔除

在遇到测量数据中有差异较大的值时，应作如下处理：仔细检查、核对测量中是否有差错，仪器工作是否稳定，外界因素在测量时有无突然的变化，及时发现，及时剔除。在同样测量条件下，增加测量次数，取得更多的数据，观察这些差异较大的值是否会被抵偿掉。设法根据某种较为令人信服的统计判据来剔除这些可疑的数据

测量数据的处理坏值剔除

统计检验法的基本思想是：在给定的置信概率下（例如，Pc=0.99），确定一个置信限，凡是超过这个限的误差，就认为不属于随机误差，而是粗大误差，应予以剔除。测量数据的处理坏值剔除——莱依特准则（又称3σ准则）

设对某量进行n次等精度测量，得到x1，x2，…，xn，计算出算术平均值及残差，由贝塞尔公式求得测量值的标准偏差如果某个测量值xd的残差νd满足下式：|νd|>3σ则认为xd是含有粗差的坏值，应剔除。测量数据的处理坏值剔除——莱依特准则（又称3σ准则）

莱依特准则实质上是建立在n∞的前提下的。当n有限时，特别当n较小时它不十分可靠，当n≤10时该准则不能剔除任何坏值，因而n≤10时，不能使用该准则判别。测量数据的处理坏值剔除——格茹布斯准则一列n次等精度测量中，在置信水平为α时，如果某一数据xd所对应的残差νd满足：|νd|≥λ(α,n)σ则认为在置信水平为α时xd为坏值，应剔除不用。式中：λ(α,n)为格茹布斯数值，可由格茹布斯数值表查得。测量数据的处理坏值剔除——格茹布斯准则格茹布斯数值表

测量数据的处理nαnαnα0.010.050.010.050.010.0531.151.15122.552.29212.912.5841.491.46132.612.33222.942.6051.751.67142.662.37232.962.6261.941.82152.702.41242.992.6472.101.94162.742.44253.012.6682.222.03172.782.47303.102.7492.322.11182.822.50353.182.81102.412.18192.852.53403.242.87112.482.24202.882.56503.342.96等精度测量数据的处理步骤(1)把测量数据按测量先后顺序列成表格测量数据的处理测量序号i123…测量值xi…………等精度测量数据的处理步骤(2)求出测量数据的算术平均值测量数据的处理等精度测量数据的处理步骤(3)计算各测量值的残余误差νi

测量数据的处理等精度测量数据的处理步骤(4)按贝塞尔公式计算标准偏差σ测量数据的处理等精度测量数据的处理步骤(5)选用一种合适的坏值判别准则，判断测量列中是否有坏值。如有，则应将坏值剔除。从第二步开始重新计算。测量数据的处理等精度测量数据的处理步骤(6)求出算术平均值的标准误差S测量数据的处理等精度测量数据的处理步骤(7)根据测量次数n及要求的置信概率Pc，查t分布表求得Kt。(8)写出最终的测量结果

当等精度测量中含有系统误差时，必须应用前述检验系统误差的方法判明之，并设法消除它，而后重新进行测量，再进行数据处理。

测量数据的处理非等精度测量数据的处理在实际测量中，有时由于客观条件的限制，不可能保证都在同一条件下进