第三章概率论课件

2023/2/51概率论基础2第二章随机变量及其分布

内容：

1、随机变量

2、离散型随机变量及其分布

3、连续型随机变量及其分布3§1随机变量*

常见的两类试验结果：示数的——降雨量；候车人数；发生交通事故的次数…示性的——明天天气（晴，多云…）；化验结果（阳性，阴性）…esxX=f(e)－－为S上的单值函数，X为实数*

中心问题：将试验结果数量化*

定义：随试验结果而变的量X称为随机变量*

常见的两类随机变量离散型的连续型的离散型随机变量：若随机变量X的所有可能取值可以一一列举，即所有可能取值为有限个或无限可列个，则称随机变量X为离散型随机变量连续型随机变量：若随机变量X的所有可能取值为某一区间，则称随机变量X为连续型随机变量§2离散型随机变量及其分布1.离散型随机变量定义：离散型随机变量X的所有可能取值及其相对应的概率值的全体称为离散型随机变量的概率分布，简称分布，或者概率函数。离散型随机变量的概率分布的表示方法：1）解析法：随机变量X的形如的概率表达式，称为X的概率分布律。2）列表法：将离散型随机变量的所有值及相对应的概率值列成一种概率分布表。3）图示法：借助坐标系，将离散型变量X的概率分布用图表示。6

离散量的概率分布(分布图)样本空间S＝{X=x1，X=x2，…，X=xn，…}由于样本点两两不相容1、写出可能取值——即写出了样本点2、写出相应的概率——即写出了每一个样本点出现的概率…………#

概率分布X123456P1/61/61/61/61/61/6离散型均匀分布：X01P0.950.05X0123P0.10.60.10.210

例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为p，0<p<1，以X表示首次 停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。pX0123pp(1-p)(1-p)2p(1-p)3

解： 设Ai={第i个灯为红灯}，则P(Ai)=p，i=1,2,3

且A1,A2,A3相互独立。11

两个主要的离散型随机变量若一个试验的样本空间只有两个可能结果：称之为贝努利试验

Xpq01p(p+q=1)定义：1）两点分布（0—1分布）2）二项分布n次重复独立的贝努利试验称为n重贝努利试验，或称为贝努利概型。二项分布：如果在n重贝努利试验中，事件A恰好发生了k次的概率为：14

例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p，0<p<1， 以Y表示一路上遇到红灯的次数。

(1)求Y的概率分布律；

(2)求恰好遇到2次红灯的概率。

解：这是三重贝努利试验

15

例：某人独立射击n次，设每次命中率为p，

0<p<1，设命中X次，(1)求X的概率分布 律；(2)求至少有一次命中的概率。

解：这是n重贝努利试验同时可知：上式的意义为：若p较小，p≠0,只要n充分大，至少有一次命中的概率很大。即“小概率事件”在大量试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。16

例：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验， 从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大 于2拒收；否则作第二次检验，从中任取5件，仅当5件 中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为p． 求这批产品能被接受的概率L(p)．L(P)=P(A)

解： 设X为第一次抽得的次品数，Y为第2次抽得的次品数； 则X～b(10,p)，Y～b(5,p)，且{X=i}与{Y=j}独立。A={接受该批}。17

泊松分布(Poisson分布)若随机变量X的概率分布律为称X服从参数为λ的泊松分布，记例：设某汽车停靠站候车人数

(1)求至少有两人候车的概率；

(2)已知至少有两人候车，求恰有两人候车的概率。解：1819§3随机变量的分布函数20

例：

解：pX01qp01q121§4连续型随机变量及其概率密度定义：对于随机变量X的分布函数若存在 非负的函数使对于任意实数有：其中称为X的概率密度函数，简称概率密度。

则称X为连续型随机变量，

三连续型随机变量及其分布1.连续型随机变量及其概率密度函数23连续型随机变量在某一点取值的概率为0（1）要验证该函数是某个随机变量的密度函数，只要验证满足密度函数的两个性质：所以，该函数是某个随机变量X的密度函数。26

例：设X的概率密度为

(1)求常数c的值；(2)

写出X的概率分布函数；

(3)要使 求k的值。解：272、几个重要的连续型随机变量的分布

1）均匀分布定义：若随机变量X具有概率密度为

称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为例在某公交车始发站上，每隔6分钟发车，使得所有候车乘客都能上车离去，一位乘客候车时间X分钟是一个连续型随机变量，它服从区间[0,6]上的均匀分布，求：1）任选1位乘客候车时间超过5分钟的概率；2）任选4位乘客中恰好有2位乘客候车时间超过5分钟的概率。292）指数分布定义：如果连续型随机变量X的概率密度为

其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布。记为303）正态分布定义：如果连续型随机变量X的概率密度为

其中

为常数，称X服从参数为的正态分布(Gauss分布)，记为可以验算：31称μ为位置参数(决定对称轴位置)

σ为尺度参数(决定曲线分散性)X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。第四章随机变量的数字特征一、随机变量的数学期望1、离散型随机变量的数学期望定义1

若离散型随机变量X概率分布为X…P…则把和数叫做随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记为E(X)，即随机变量X的数学期望反映了X取值的平均值。例1求两点分布的数学期望。解两点分布列为X01Pqp例2

甲乙两工人，在一天中生产的废品数是一随机变量，其分布列如下：0123P0.40.30.20.1012P0.30.50.2假定两人日产量相等，问谁的技术好？解根据分布列很难判断两人谁的技术好，只有看他们的平均废品数，故得2.连续型随机变量的数学期望定义2如果连续型随机变量X的密度函数为，则称例3设连续型随机变量X的密度函数是求E(X).例4求指数分布的数学期望。解指数分布密度函数为所以3.数学期望的性质性质1E(C)=C(C为常数)性质2E(kX)=kE(X)(k是常数)性质3性质4性质5例5离散型随机变量X的概率分布如下表：X234P0.20.50.3求随机变量Y=2X+3的数学期望。解根据数学期望的性质，有题意知二、随机变量的方差随机变量的数学期望只描述取值的平均值，但不能揭示随机变量取值偏离平均值大小，也就是随机变量的分散程度。1、离散型随机变量的方差定义如果离散型随机变量X的分布列为则把和数称为随机变量X的方差，记作，即注：由于E(X)是一个数，所以也是一个随机变量，由期望的定义可知，随机变量的取值与其对应概率的乘积之和，就是随机变量的期望，即也即，随机变量X的方差D(X)等于随机变量的均值。定义：随机变量x的方差的算术根，称为随机变量X的标准差（或均方差），记为，即根据均值的性质，可得例甲、乙两射手在一次射击中的得分分别为随机变量X、Y，其分布列为X0123P(X=k)0.60.150.130.12Y0123P(Y=k)0.50.250.20.05试比较他们射击水平的高低。解先计算均值再来计算方差2.连续型随机变量的方差定义如果连续型随机变量X的