第三章 泊松过程 2

第三章泊松过程2目录

Poisson过程与Poisson过程相联系的若干分布Poisson过程的推广3.1泊松过程3.1.1泊松简介3.1.2泊松分布和泊松定理3.1.3

泊松过程3.1.1泊松简介泊松，法国著名数学家。1781年6月21日生于法国卢瓦雷省的皮蒂维耶，1840年4月25日卒于法国索镇。泊松生平：1798年入巴黎综合工科学校深造。1806年接替J.-B.-J.傅里叶任该校教授。1812年当选为巴黎科学院院士。1800年毕业后留校任教1802年任副教授1808年任法国经度局天文学家1809年任巴黎理学院力学教授。毕业时，因优秀的研究论文而被指定为讲师。受到P.-S.拉普拉斯、J.-L.拉格朗日的赏识。泊松贡献：泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其在摆的运动和声学理论中的应用。他工作的特色是应用数学方法研究各类力学和物理问题，并由此得到数学上的发现。他对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。3.1.2.泊松分布和泊松定理 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,而取各个值得概率为泊松分布：其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X～p（λ）泊松定理:设λ>0是一个常数，n是任意正整数，设，则对于任一固定的非负整数k，有例如：电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数；火车站某段时间内购买车票的旅客数；机器在一段时间内发生故障的次数；

泊松过程是一类时间连续状态离散的随机过程103.1.3泊松过程定义1随机过程{N(t)，t0

}称为计数过程，如果N(t)表示从0到t时刻某一特定事件事件A发生的次数，它具备以下两个特点(1)N(t)

0

，且N(t)取整数；(2)当s<t时，则N(s)N(t),且N(t)-N(s)表示在时间(s,t]时间内事件A发生的次数.11Poisson过程例对观察事件出现的次数感兴趣，可以用计数过程描述。一段时间内某商店购物的顾客数。经过公路上某一路口的汽车数量。保险公司接到的索赔次数。Poisson过程Poisson过程是以法国数学家泊松的名字命名的泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。一个泊松过程是在每个有界的时间区间，赋予一个随机的事件数，使得在一个时间区间内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间的事件数，这两个随机变量是独立的。在每一个时间区间内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。1213独立增量计数过程:对于t1<t2<<tn(n>3)，N(t2)-N(t1),N(t3)-N(t2),,N(tn)-N(tn-1)相互独立.平稳增量计数过程:在(t,t+s]内(s>0)，事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间间隔s有关，而与初始时刻t无关.14定义2

计数过程{N(t)，t0

}称为参数为（>0）的泊松过程,如果(1)N(0)=0，(2)过程有独立增量(3)在任一长度为t的时间区间中事件A发生的次数服从均值为t

的泊松分布，即对任意s0,t>0，有15注：(1)泊松过程是平稳独立增量过程;(2)E[N(t)]=t,表示单位时间内事件A发生的平均次数，一般称为过程的强度或速率.例在(0,t]内接到服务台咨询电话的次数N(t)，在(0,t]内到某火车站售票处购买车票的旅客数N(t)等都是泊松变量，

{N(t),t0

}是一个泊松过程.16例（Poisson过程在排队论中的应用）随机服务系统中排队现象，可以用Poisson过程描述。例如，到达电话总机呼叫数目、到达车站顾客数等等。以车站售票处为例，上午8：00开始，连续售票，乘客10人/h的速度到达，从9：00-10：00这1小时内最多5名乘客到来的概率？10：00-11：00之间没人来的概率？解设8:00为0时刻，9：00为1时刻，参数17（事故的发生次数和保险公司接到的索赔数）

N(t)表示(0,t]时间内发生事故的次数。Poisson过程就是{N(t)，t0

}很好的一种近似。考虑保险公司每次赔付都是1，每月平均4次接到索赔要求，一年中他要付出的平均金额为多少？ 由定义2可知，为了确定一个任意的计数过程实际上是一个泊松过程，必须证明它同时满足定义中的（1）、（2）、（3）三个条件，其中条件（1）只是说明事件的计数过程是从时刻t=0开始的，条件（2）根据我们对计数过程了解的情况直接验证，而对于条件（3）我们全然不知道如何去满足。

因此，给出另一个泊松过程的定义是就显得很有必要，接下来介绍泊松过程的另一个定义：

在此之前，首先熟悉一个函数f是o(h)的概念（高阶无穷小）即：若对于一个函数f，满足：

则称函数f是o(h).20定义2'计数过程{N(t)，t0}是泊松过程，如果N(t)满足

(1)N(0)=0，

(2)N(t)是平稳独立增量过程，(3)存在>0，当h↘0

时，有（4）当h↘0时，分析定义2'可知，其中条件(3),(4)说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不能有两个或两个以上事件同时发生。这种假设对于很多物理现象较容易得到满足。

22例事件A的发生形成强度为的Poisson过程

{N(t)，t0},如果每次事件发生时以概率p能够被记录下来，并以M(t)表示到t时刻被记录下来的事件总数，则

{M(t)，t0}为一个强度为p的Poisson过程。

23解：首先M(0)=0，

M(t)具有平稳独立增量，接下来只需验证M(t)服从均值为

pt的泊松分布.即对任意t>0,下边将用到全概率公式，二项分布的背景、公式，以及泰勒展式24例若每条蚕的产卵数服从泊松分布，强度为，而每个卵变为成虫的概率为p，且每个卵是否变为成虫彼此间没有关系，求在时间[0,t]内每条蚕养活k只小蚕的概率例观察资料表明，天空中星体数服从泊松分布，其参数为V，这里V是被观察区域的体积。若每个星球上有生命存在的概率为p，则在体积为V的宇宙空间中有生命存在的星球数服从参数为pV的泊松分布273.2与Poisson过程相联系的若干分布Poisson过程的一条样本路径是跳跃度为1的阶梯函数。N(t)3210Poisson过程的样本路径。符号说明Home显然Xn表示第n次与第n-1次事件发生的时间间隔.Ｔn表示第n次事件发生的时刻(n

1)，规定Ｔ0=0定理1Home

和的分布。且都服从参数为的指数分布定理2Home31参数为n与的分布又称爱尔兰分布，它是n个相互独立且都服从于参数为的指数分布的随机变量之和的分布．32计数过程{N(t),t

0}是参数的Poisson过程，如果每次事件发生的事件间隔相互独立，且服从同一参数为的指数分布。泊松过程的另一种定义33例1（顾客接受服务问题）设从早8:00开始就有许多人排队等候某项服务，只有一名服务员，每个人接受服务的时间是独立的且服从于均值为20min的指数分布．(1)问到中午12:00为止平均有多少人已经离去？(2)求已有9人接受服务的概率．34解：设早8:00为零时刻,并以N(t)表示在时间(0,t]内离去的顾客数,则{N(t),t0}是泊松过程．由题设,顾客以每小时3人的平均速率接受服务,即

人/小时.35泊松过程中事件发生时刻的条件分布

事实上，当N(t)=1时，若s

<t

，假设到时刻t为止,泊松过程{N(t),t0}中的事件A已经发生了n次,现在考察这n次事件发生的时刻Ｔ1

,Ｔ2

,…,Ｔn的联合分布.36在N(t)＝1的条件下，事件A发生时刻Ｔ1

在[0,t]区间上是均匀分布的.37定理3

在已知N(t)＝n(n

2)的条件下,事件发生的n个时刻T1

,T2

,…,Tn的联合分布密度为它是在区间[0,t]上均匀分布的n个独立随机变量U1

,U2

,…,Un的顺序统计量U

(1)

,U(2)

，…，U(n)

的联合分布.38

在已知(0,t]时间内发生了n次事件的条件下,如果不考虑次序,各次事件发生的时刻T1

,T2

,…,Tn

可看作n个独立同分布于区间[0,t]上均匀分布的随机变量U1

,U2

,…,Un.从而39例2

设乘客以强度为的泊松过程{N(t),t0

}来到某火车站，火车在时刻t启程

．计算在(0,t]时间内到达的乘客的等待时间的总和的期望值.解：以Tn记第n个乘客的来到时刻，则所求为40

习题设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对于0<k<n，求在[0,s]内事件A发生k次的概率。

解：42习题设{N1(t),t

0},{N2(t),t0}相互独立,且分别是强度为

2,

2的泊松过程.试证:随机过程{N(t)=N1(t)+N2(t),t0}是强度为λ1

+λ2的泊松过程.43例设事件A在s时刻被记录的概率是，若以表示到t时刻被记录的事件数，还是一个Poisson过程么？44解：由于被记录到的概率为P(s)

与事件A发生的时间s有关，因而M(t)不再具有平稳增量,不能形成泊松过程．但是对任意t>0,M(t)仍然服从泊松分布,均值为

pt.其中453.3泊松过程的推广非齐次泊松过程当泊松过程{N(t),t0}的强度不再是常数,而与时间t有关时,称为非齐次泊松过程．

这种过程一般不具有平稳增量．46定义3

计数过程{N(t)，t0

}称为强度是(t)的非齐次泊松过程．如果满足

(1)N(0)=0，

(2)N(t)具有独立增量，(3)N(t)满足下列两式：当h↘0

时，．47(3)对任意s,t0，在时间段(t,t+s]

事件A发生的次数N(t+s)-N(t)

服从泊松分布，参数为定义3'

计数过程{N(t),t0

}称为强度是(t)的非齐次泊松过程．如果满足

(1)N(0)=0，

(2)N(t)具有独立增量，48

称为非齐次泊松过程{N(t),t0}的强度函数或均值函数．定理(1)设{N(t),t0

}是强度为(t)的非齐次泊松过程．对任意t0，令则{N*(t),t0}是强度为1

的泊松过程．49(2)设{N*(t),t0}是强度为=1

的泊松过程．若给定强度函数{(t),t0}，对任意t0

，令则{N(t),t0

}是强度为(t)的非齐次泊松过程．50例1设某设备的使用期限为10年，在前5年内他平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需维修一次。试求他在使用期内只维修过一次的概率。用非齐次Poisson过程考虑，强度函数51例2

某镇上有一小商店，营业时间为8点-20点．顾客平均到达率有如下规律：

8-11点，由5人线性增加到20人；11-13点，每小时为20人；13-20点，由20人线性减少到6人．假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数相互独立.求从9-12点无顾客到达商店的概率及这三小时内平均到达商店的顾客数．52解：设早0点为零时刻,以N(t)表示在时间(0,t]内到达商店的顾客数,则{N(t),t0

}是非齐次泊松过程.且

5354复合泊松过程定义4

设{N(t)，t0

}是一个泊松过程，{Yn}

是一族独立同分布的随机变量序列，且与{N(t)，t0

}独立．如果对t0，

则称{X(t)，t0

}

为复合泊松过程.55例1

保险公司接到的索赔次数是一个泊松过程{N(t),t0

},每次的赔付金额{Yn}

是一族独立随机变量序列，且有相同分布F,索赔数额与它发生的时刻无关．则在时间(0,t]内保险公司赔付的总金额为{X(t),t0

}就是一个复合泊松过程.56例2（顾客成批到达的排队系统）设顾客到达某服务系统的批数是一个泊松过程{N(t)，t0

}.每个时刻Tn可以有多名顾客到达，以Yn表示时刻Tn到达的顾客人数.假定{Yn}相互独立，同分布，且与{Tn}独立．则在(0,t]时间内到达服务系统的顾客总人数为{X(t)，t0

}也是一个复合泊松过程.2023/2/557例3

设N(t)是在时间段(0，t]内来到某商店的顾客人数，{N(t)，t≥0}

是泊松过程。若Yk是第k个顾客在商店所花的钱数，则{Yk，k=1,2,…}是一列独立同分布随机变量序列，且与{N(t)，t≥0}

独立。记X(t)为该商店在内的营业额，则X(t)是一个复合泊松过程。58定理5

设是一个复合