第三章 变额年金

变额年金2主要内容递增年金（离散支付，离散递增）递减年金（离散支付，离散递减）复递增年金：按几何级数递增的年金每年支付m次的递增年金（递减年金，略）连续支付的变额年金：连续支付，离散递增（或递减）连续支付、连续递增（或递减）的年金一般形式的连续支付、连续变额现金流31、递增年金（increasingannuity）期末付递增年金(increasingannuity-immediate)：第一期末支付1元，第二期末支2元，…，第n期末支付n元。按算术级数递增。用表示其现值：上式两边乘以(1+i)：4

递增年金的现值：5例：证明下列关系式成立：

（1）（2）6例：写出下述年金的现值公式设A表示此年金的现值，则7根据现值求得其累积值为现值累积值期初付递增年金(increasingannuity-due)8当时，还可以得到递增永续年金的现值为在计算上述极限时，递增永续年金(increasingperpetuity)9例：年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%，这项年金的现值应该是多少？解：年金分解如下：1000110018001900900900900900100200900100010Exercise：Aninvestmentof700istobeusedtomakepaymentsof10attheendofthefistyear,20attheendofsecondyear,30attheendofthirdyear,andsoon,everyyearassolongaspossible.Asmallerfinalpaymentispaidoneyearafterthelastregularpayment.Thefundearnsaneffectiveannualrateof5%.Calculatethesmallerfinalpayment.解：价值方程为（不考虑最后一次非正常付款）700102030R11解上述方程（应用excel求解）即得n=14.49。因此有14次正规支付和在第15年末有一次小额支付。设小额支付为R，则12时期

0123…n–1

n递减年金nn–1n–2…

21等额年金111…11111…1111…………

111111期末付递减年金(decreasingannuity-immediate)：第一期末支付n元，第二期末支付n–1元，…，第n期末支付1元。按算术级数递减。2、递减年金（decreasingannuity）13递减年金的现值可以表示为上述等额年金的现值之和，即：14递减年金的其他公式：15例：一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第n年。从第n+1年开始，每年递减1元，直至最后一年付款1元。证明该项年金的现值可以表示为12nn-1116

17Example：Findthepresentvalueofanannuityimmediatesuchthatpaymentsstartat1,eachpaymentthereafterincreasesby1untilreach10,andthenremainatthatleveluntil25paymentsintotalaremade.Solution：0101011025次数：金额：212183、复递增年金含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。期初付复递增年金(compoundincreasingannuity-immediate)：在第1年初支付1元，此后每年的支付金额按的复利r增长，直到第n年初支付(1+r)n-1。注：r<0，递减。19令，则：其中20期末付复递增年金的现值：其中21例：某10年期的年金在第一年末付1000元，此后的给付金额按5％递增，假设年实际利率为4%，请计算这项年金在时刻零的现值。解：年金的现金流如下：22

现值：其中现值：例年金的年增长率r与年实际利率i相等，即j=0.请计算期初付年金与期末付年金的现值分别是多少？解：期初付=n期末付=n/(1+i)2324ExerciseAperpetuity-immediatepays100peryear.Immediatelyafterthefifthpayment,theperpetuityisexchangedfora25-yearannuity-immediatethatwillpayXattheendofthefirstyear.Eachsubsequentannualpaymentwillbe8%greaterthantheprecedingpayment.Immediatelyafterthe10thpaymentofthe25-yearannuity,theannuitywillbeexchangedforaperpetuity-immediatepayingYperyear.Theannualeffectiverateofinterestis8%.CalculateY.25100100100100100第一次替换时，永续年金的现值为100/0.08＝1250100X1.08X1.082X1.083X1.0824X由于利率i＝0.08，与年金增长率相等，故上述递增年金的现值为：PV=X·n/(1+i)=25X/1.08X=541250=25X/1.08第一次替换后的递增年金：25次付款26X1.089X1.0810X1.0824X第二次替换为永续年金，每年末支付Y，价值为Y/0.08价值方程(X=54)为：Y/0.08=54(1.0810v+1.0811v2+…+1.0824v15)=54(1.08)9·15注：v=1.08-1由此可得：Y=129.5Y……原年金剩余10次原年金已支付10次回顾与展望（算数级数递增或递减）27284、每年支付m次的递增年金(increasingmthlyannuity)如果每年支付m次，付款又是递增的，将会出现下述两种情况：同一年的每次付款相同（每年递增一次）：increasingmthlyannuity同一年的每次付款也是递增的（每次付款递增一次）：mthlyincreasingmthlyannuity（略）29每年支付m次的递增年金(increasingmthlyannuity)：同一年的每次付款相同现值：每年支付m次的递增年金31关系：32每年支付m次的递增年金(mthlyincreasingmthlyannuity)：同一年的每次付款递增两种方法计算现值：（1）看做nm次付款的递增年金，应用递增年金的公式。（2）建立新公式（略）33应用递增年金公式计算现值：34例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：10010010010020020020020001235100200300400500600700800012例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：36每年支付m次的递减年金37关系：385、连续支付的变额年金

(continuouslypayablevaryingannuity)含义：连续支付，但支付金额离散变化。连续支付的递增年金连续支付的递减年金假设在第一年连续支付1元，第二年连续支付2元，…，第n年连续支付n元，如下图所示：39连续支付的递增年金的现值：40例：一个现金流在第1年连续支付30元，第2年连续支付40元，第3年连续支付50元，直到第10年连续支付120元，假设年实际利率为5%，求这项年金的现值。解：分解为两项年金:41计算：42连续支付的递增年金的终值：连续支付的递增永续年金的现值：第1年连续支付1元，第2年连续支付2元，第3年连续支付3元，并以此方式无限地延续下去。其现值为43连续支付的递减年金：连续支付，支付金额离散递减。44Exercise:1000isdepositedintoFundX,whichearnsanannualeffectiverateof6%.Attheendofeachyear,theinterestearnedplusanadditional100iswithdrawnfromthefund.Attheendofthetenthyear,thefundisdepleted.TheannualwithdrawalsofinterestandprincipalaredepositedintoFundY,whichearnsanannualeffectiverateof9%.DeterminetheaccumulatedvalueofFundYattheendofyear10.X：annualeffectiverate6％10001001001001000×6%=60900×6%=54100×6%=6withdrawalsofprincipal

withdrawalsofinterest10916×Y：annualeffectiverate9％10010010010916×LevelannuityDecreasingannuity46Exercise:Aperpetuitycosts77.1andmakesannualpaymentsattheendoftheyear.Thisperpetuitypays1attheendofyear2,2attheendofyear3,…,n

attheendofyear(n+1).Afteryear(n+1),thepaymentsremainconstantatn.Theannualeffectiveinterestrateis10.5%.Calculaten.123n-1n……77.1i=10.5%123nyear：perpetuity：n+1n+2n47Thecostofthisperpetuity=Sincei

=10.5%,wehaveHencen=19.Solution：48乘以(1+i)乘以乘以乘以变额年金的计算496、连续支付、连续递增的年金（简称：连续递增年金）

（continuouslyincreasingannuity）

假设在时刻t的付款率（paymentrate）为t，常数利息力为d，则连续支付、连续递增年金的现值为：注:I和

a

上都有横线。在时刻t的付款率为t，表示按此付款，1年的付款总量将为t.50证明：51连续支付连续递增年金的终值为52例：一项10年期的年金，在时刻t的付款率为9t+6，利息力为9％，请计算此项年金在时刻零的现值。解：分解成两部分：连续支付、连续递增的年金连续支付的等额年金f=function(t)(9*t+6)*exp(-0.09*t);integrate(f,0,10)$value例：一项年金的付款期是从第2年末至第7年末，并且在时刻t的付款率为3t-4，假设固定利息力为6％，试求此项年金在第7年末的终值。解：假设付款期是从时刻0到第7年末，则其终值为：从时刻0到第2年末的付款累积到第7年末的价值为：年金的终值为：f=function(t)(3*t-4)*exp(0.06*(7-t));integrate(f,2,7)$value54连续支付、连续递增的永续年金：55例：一项年金在时刻t的付款率为3t，付款从0时刻起并一直延续下去，年实际利率为5％，则其现值为：f=function(t)(3*t)*(1.05)^(-t);integrate(f,0,Inf)$value567、连续支付、连续递减的年金（简称：连续递减年金）

(continuouslydecreasingannuity)含义：支付期为n年，在时刻t的付款率为n-t，固定利息力为d。现值为：57例：一项10年期的年金，在时刻t的付款率为10-t，假设利息力为5％，请计算此项年金在时刻零的现值和在第10年末的终值。解：

现值：终值（累积值）：f1=function(t)(10-t)*exp(-0.05*t);integrate(f1,0,10)$value#现值f2=function(t)(10-t)*exp(0.05*(10