第七讲 动量矩定理

第七讲2/5/2023TheoreticalMechanics一、动量矩定理------质点动量矩定理1、质点的动量矩定理：2、质点系相对于固定点O的动量矩定理：-----质点系的动量矩定理！(二)动量矩定理2/5/20232theoreticalmechanics写成标量式：3、质点系相对于固定轴Z的动量矩定理：-----质点系相对于z轴的动量矩定理！2/5/20233theoreticalmechanics4、质点系相对于质心的动量矩定理：----式中，所有的点用绝对速度，绝对动量对点C的矩，而C在空间不断变化。----式中，所有的点用相对速度，相对动量对点C的矩，而C在空间不断变化。OxyzCx′y′z′MiririrCvivCvir2/5/20234theoreticalmechanics三、动量矩守恒定律质点系动量矩定理标量式：1、若在运动过程中，则-----质点系在运动过程中对某一点动量矩始终保持不变！-----质点系在运动过程中对某一点的动量矩守恒！2、若在运动过程中，则2/5/20235theoreticalmechanics2、若在运动过程中，则-----质点系在运动过程中对z轴动量矩始终保持不变！-----质点系在运动过程中对z轴的动量矩守恒！2/5/20236theoreticalmechanics五、刚体定轴转动的微分方程wOxyz设刚体如图所示，绕OZ轴转动，轴承处反力F1FiF2FAxFAyFBxFAzFByF1FiF2FnFn…………FAxFAyFBxFAzFBy…………对OZ轴：主动力系：-----刚体定轴转动的微分方程2/5/20237theoreticalmechanics例题1卷扬机的机构如图所示，可绕固定轴转动的轮B和C，半径分别为R和r，对自身转轴的转动惯量分别为J1和J2，被提升的重物A的重量为P，作用于轮C的主动转矩为M，求重物A的加速度CRMAOBr定轴转动问题:2/5/20238theoreticalmechanicsRABO1MOr解：1、研究对象：2、受力分析，3、建立坐标，列方程分别取B和CXO1YO1wBaBTPvawAaAXOYOQBQCT轮B：运动分析2/5/20239theoreticalmechanics轮C：补充方程：MOrwAaAXOYOQCTRABO1XO1YO1wBaBTvaQB2/5/202310theoreticalmechanics例题2

如图所示，在静止的水平匀质圆盘上，一人沿盘边缘由静止开始相对盘以速度u行走，设人质量为m2，盘的质量为m1，盘半径r，摩擦不计。求盘的角速度。ABzrOωu2/5/202311theoreticalmechanicsABzrOωuxyXBYBXAZBYAm1gm2g解：1、研究对象：2、受力分析（如图）人和圆盘仅受轴承反力，重力的作用3、运动分析：圆盘：定轴转动，w、a人：圆盘为动系，则方向如图所示！vrve2/5/202312theoreticalmechanicsxyvrve4、建立坐标，列方程系统对z轴动量矩守恒ABzrOωuXBYBXAZBYAm1gm2g2/5/202313theoreticalmechanicsC五、刚体平面运动的微分方程刚体平面运动随质心C的平动相对于质心C的转动=+……………………Oxy平面运动刚体的运动简化为图示平面图形的运动，受平面力系作用则：写成解析式：F1FiF2FnF1FiF2Fn2/5/202314theoreticalmechanics例题1均质滚子质量m，半径为R，在滚子的鼓轮上绕以绳索，已知水平力T沿着绳索作用，使滚子在粗糙的水平面上滚动。如图所示，鼓轮的半径为r，滚子对质心轴C的回转半径为r，试求滚子质心C的加速度和滚子所受的摩擦力（滚动摩擦不计）。CTrRG平面运动问题:2/5/202315theoreticalmechanicsCTrRG解：1、研究对象：2、受力分析，运动分析3、建立坐标，列方程滚子FNvCaCwa补充方程xy2/5/202316theoreticalmechanics例题2质量为m的均质直杆AB的一端支放在光滑的水平地板上，杆身与铅垂方向的夹角qo=30o，设杆由该位置无初速地开始倒下，试求开始运动的瞬时地板对杆的约束反力的大小。CGABqoCGABq2/5/202317theoreticalmechanicsCGABqNAwaxy解：1、研究对象：2、受力分析，运动分析3、建立坐标，列方程整体系统补充方程vCaC2/5/202318theoreticalmechanics开始时：4、回答CGABqNAwaxyvCaC2/5/202319theoreticalmechanics习作1一滚子A沿倾角为a的斜面向下作纯滚动，如图所示，滚子借一跨过滑轮B的绳子提升重物C，同时带动滑轮B绕O轴转动，滚子A和滑轮B均看成均质圆盘，半径为r，质量为m。滑轮与绳子间无滑动，重物质量为m1,绳子质量不计，滚阻不计，试求：

*1）滚子A的质心加速度。2）AB段绳子张力。3）轴承O的反力。aAOBC2/5/202320theoreticalmechanicsAOBC解：1、研究对象：2、受力分析，3、建立坐标，列方程分别取B、C和A运动分析NFYOXOTmgm1gmgTwAeAwBeBvCaCvAaA轮子B、重物C：------（1）方法：动量定理和动量矩定理2/5/202321theoreticalmechanics轮子A：------（2）------（3）xy------（4）ANFmgTwAeAvAaAOBCYOXOTmgm1gwBeBvCaC2/5/202322theoreticalmechanicsxy4、补充方程------（5）联立求解ANFmgTwAeAvAaAOBCYOXOTmgm1gwBeBvCaC2/5/202323theoreticalmechanics5、O的反力（轮B及C）OBCYOXOTmgm1gwBeBvCaC2/5/202324theoreticalmechanics习作2均质圆柱体和薄铁环质量均为m，半径都等于r。两者用直杆AB相连接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平成角a，如图所示。如杆的质量略去不计，求AB杆的加速度a和杆的内力T。ABa2/5/202325theoreticalmechanicsBA解：1、研究对象：2、受力分析，3、建立坐标，列方程分别取B和AFBNBwBaBTwAaAFANAQQT圆环B：运动分析xyvAaAvBaB2/5/202326theoreticalmechanics轮A：补充方程：拉力！BAFBNBwBaBTwAFANAQQTxyvAaAvBaBaA2/5/202327theoreticalmechanics习作3两个相同的均质轮子A和B，质量各为m=8kg，半径r=90mm，用细绳缠绕连接，如图所示。轮A可绕定轴O转动，试求轮B下落时其质心C的加速度以及细绳的拉力。rOABCrmgmg2/5/202328theoreticalmechanicsCrmgBrAmgO解：1、研究对象：2、受力分析，3、建立坐标，列方程分别取B和AwAaATwBaBT轮子A：运动分析YOXO轮子B：------（1）------（2）------（3）xyvCaC2/5/202329theoreticalmechanics补充方程：由方程（1）和（3），得CrmgBrAmgOwAaATwBaBTYOXOxyvCaC2/5/202330theoreticalmechanics例题8

匀质细杆AB

的质量是m

，长度是2l

，放在铅直面内，两端分别沿光滑的铅直墙壁和光滑的水平地面滑动。假设杆的初位置与墙成交角0，初角速度等于零。试求杆沿铅直墙壁下滑时的角速度和角加速度，以及杆开始脱离墙壁时它与墙壁所成的角度1。AjoB2/5/202331theoreticalmechanicsAjB解：1、研究对象：2、受力分析，3、建立坐标，列方程BA杆运动分析vCCwNANBxyGa(1)由几何关系：(2)由运动学关系：将杆AB置于一般位置上：2/5/202332theoreticalmechanics(3)列动力学方程vCCAjBwNANBxyGa2/5/202333theoreticalmechanics(4)当杆件脱离墙体时vCCAjBwNANBxyGa2/5/202334theoreticalmechanics例题4均质圆轮半径为r，重为Q，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示，设圆弧的表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心C的运动规律。CQwRrO12/5/202335theoreticalmechanicsCQwRrO1O解：1、研究