第七章 假设检验和显著性

假设检验和显著性假设检验和显著性如果认为一个特定的假设是真的，我们发现在随机样本中看到的结果，与在这一假设下期望的结果有明显的不同，而期望结果是根据使用抽样理论计算的可能性确定的，我们应该说看到了差异是显著的，从而主张拒绝该假设。例如，如果一枚硬币掷200次，出现160次正面，我们应该主张拒绝硬币为均匀的假设。这样的检验过程称为假设检验，或者显著性检验。这个过程足以使我们决定是接受还是拒绝假设，决定观测样本是否与期望的结果有显著性差异。第一类和第二类错误如果某一假设是真的，而我们拒绝这个假设，则称做出了第一类错误。反之如果假设是假的应该被拒绝，而我们接受了这个假设，则称做出了第二类错误。为了一个假设检验是好的，必须设计得使它错误最小化。但这并不容易，因为当企图降低某一类错误时，一般伴随着使另一类错误增大。在实际中，就看哪一类错误造成的后果更严重，就适宜地限制那类错误更严些。如果要同时降低两类错误的方法只有增加样本容量。显著性水平在检验一个给定假设时，我们可能会犯的第一类错误的最大概率称为检验的显著性水平。这个概率经常在抽取样本前被给定，实践中显著性水平习惯上用0.05或0.01等。例如，如果按照选定0.01或1%显著性水平设计一个假设检验，那么在1000次中有大约10次机会，使在应该接受该假设时而拒绝了它。有关正态分布的检验假定在一个给定假设下，统计量S的抽样分布是正态分布，均值和方差分别是S，S。同时假定当S太小或太大时，我们决定拒绝该假设。标准化变量Z=(S－S）/S的分布是N(0,1)，Z的极端值应该导致拒绝该假设。我们能够有95%的信心认为，如果该假设检验是真的，统计量S的z值会出现在-1.96和1.96之间。如果z在这个区域之外，那么我们会归纳出：如果给定的假设是真的，这样的事件发生的概率仅有0.05。那么我们会说这个z值与在该假设下所能期望的值显著地不同，我们会主张拒绝该假设。单侧和双侧检验上面显示地检验中，兴趣集中在统计量S或对应的z值的期望值两侧的极端值，也就是分布的两侧尾部，因此这样的检验称为双侧检验。如果我们仅对期望值的一侧极端值感兴趣，也就是只看分布的一侧尾部，这样的检验称为单侧检验。P值在许多检验中，我们常考虑零假设H0是认为总体参数有一个特定的值，而备择假设H1会有下面的某种考虑：1该参数比所述特定值大(右侧检验)；2该参数比所述特定值小(左侧检验)；3该参数大于或小于所述特定值(双侧检验)。在进行检验和计算统计量S之后，检验的P值就是一个概率值，这个概率是：如果H0为真，在H1指示的方向实际出现的S值作为极端值可能出现的概率。例子假定正态总体的标准差已知是3，H0认为均值等于12，从总体中抽取大小36的一个随机样本，样本均值为Xm=12.95。检验统计量选用Z=(Xm-12)/0.5。当H0为真时，这是一个标准正态随机变量。Z的值为1.9，那么检验的P值，依据备择假设H1如下：1)>12，P值是一个概率，即均值真值时12时，大小为36的随机样本产生样本均值超过12.95的概率，也就是P(Z>=1.9)=0.029。换句话说，就是如果＝12在100次中大约有3次使Xm>=12.95。2)<12，检验的P值为均值真值是12时，大小为36的随机样本产生的样本均值不超过12.95的概率，也就是P(Z<=1.9)=0.97，或者说如果=12时，在100次中大约有97次机会使Xm<=12.95。3)12，检验的P值为均值真值是12时，大小为36的随机样本产生的样本均值离开12超过0.95单位的概率，也就是Xm>=12.95或Xm<=11.05的概率。这时P值为P(Z<=-1.9)+P(Z>=1.9)=0.057。这就是说当=12时，在100次中大约有6次机会使|Xm-12|>=0.95。小的P值提供了倾向于备择假设拒绝零假设的证据，而大的P值提供了不倾向备择假设不拒绝零假设