正、余弦函数的单调性与最值

第二课时正、余弦函数的单调性与最值

同步导学方案课后强化演练1．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象及与x轴的交点等)．2．能利用性质解决一些简单问题．正、余弦函数的性质函数名称图象与性质性质分类y＝sinxy＝cosx相同处定义域值域周期性(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)[－1,1][－1,1]T＝2πT＝2π正、余弦函数的所有性质都是针对自变量x本身而言的．正弦函数y＝sinx(x∈R)的图象关于原点成中心对称，其图象在对称中心和对称轴处对应的分别为函数的零点和最值点．正弦函数有单调区间，但并不是定义域上的单调函数，即：它在整个定义域内并不单调．余弦函数的对称轴和对称中心，同正弦函数一样，也分别对应余弦函数的最值点和零点．正弦曲线和余弦曲线都既是中心对称图形，又是轴对称图形．比较正弦函数与余弦函数的图象，我们可以看出，其实二者是完全一样的，只是位置有所变动，这就决定了余弦函数与正弦函数有着许多相似的性质．甚至，二者之间有着相似的解题方法和技巧，这对帮助我们学好余弦函数是很有利的．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的单调区间，一般将ωx＋φ视作整体，代入y＝sinx或y＝cosx相关的单调区间所对应的不等式，解之即得．这里实际上采用的是整体的思想，这是研究三角函数性质的重要数学思想，一般地，ω<0时，y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)变形为y＝Acos(－ωx－φ)，再求函数的单调区间．所有的这些变形都是为了使x前面的系数为正值．同时要注意A<0时单调区间的变化. 三角函数的单调性【名师点拨】求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)的单调区间，一定要注意到函数中A与ω的符号．如果ω<0，一般利用诱导公式将x的系数化为正数，再求解． 比较三角函数值的大小【思路探索】

利用诱导公式将异名三角函数转化为同名三角函数，非同一单调区间的角，转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较．(2)∵sin2012°＝sin(360°×5＋212°)＝sin212°＝－sin32°，cos157°＝cos(90°＋67°)＝－sin67°，∵0°<32°<67°<90°，∴sin32°<sin67°，∴－sin32°>－sin67°，即sin2012°>cos157°.【名师点拨】比较两个三角函数值的大小，一般应先化为同名三角函数，并运用诱导公式把角化在同一个单调区间上，利用三角函数的单调性比较大小． 正、余弦函数的最值问题求下列函数的值域．【思路探索】

对于(1)，(2)利用函数的图象求解；对于(3)可用换元法求解．(3)∵sin2x＋cos2x＝1，∴cos2x＝1－sin2x，∴y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1.设sinx＝t，－1≤t≤1，则原函数可化为y＝－t2＋2t－1，对称轴为t＝1.∴当t＝1时，ymax＝－1＋2－1＝0，当t＝－1时，ymin＝－1－2－1＝－4，∴函数y＝cos2x＋2sinx－2的值域为[－4,0]．【名师点拨】(1)对于形如y＝a＋bsinx或y＝a＋bcosx类型的函数求值域时，主要是利用三角函数的图象求解，在解题时一定要注意函数的定义域．(2)对于形如y＝Asin2x＋Bsinx＋C或y＝Acos2x＋Bcosx＋C类型的函数求值域时，可采用换元法求解．1.下列函数在区间[0，π]上是单调函数的是(

)A．y＝sinx

B．y＝cos2xC．y＝sin2x