流体力学-第六章1-1

流体力学

（第六章流体的无旋流动和有旋流动）同济大学汽车学院第六章，第七章作业6-1，6-2，6-87-1，7-3，7-77-11，7-18，7-22第12周交目录前言第一章绪论第二章流体的物理性质及作用力第三章流体静力学第四章流体运动学第五章流体动力学的基本原理第六章流体的有旋流动和无旋流动第七章相似原理和量纲分析第八章粘性流体力学第九章气体动力学第六章流体的有旋流动和无旋涡运动§1流体微团运动分析§2流体旋涡运动的基本理论§3平面势流问题§4几种简单的不可压缩流体的平面流动§5平面无旋流动的叠加§6叶栅的库塔-儒可夫斯基公式和库塔条件§1流体微团的运动分析1、移动2、线变形运动3、角变形运动4、旋转刚体运动一般可分解为移动和转动两部分，而流体微团的运动一般可以分解为移动、转动和发生变形运动三部分。、流体微团运动的分析§1流体微团的运动分析角变形速度旋转角速度由此可见，流体微团各速度分量的第一项是平移速度分量，第二是线变形运动、第三项是角变形运动、第四项是旋转运动，流体运动的线速度就是有以上各项分量所引起的。平移速度分量线性变形率§1流体微团的运动分析1、平移项2、线变形项3、角变形项4、旋转变形项§1流体微团的运动分析二、流体的有旋流动和无旋流动

1、流体微团的旋转角速度不等于零的流动称为有旋流动。2、流体微团的旋转角速度等于零的流动称为无旋流动。3、在无旋流动中角速度为零，即所以每一流体微团都满足下列条件：

必须指出，有旋流动和无旋流动仅有流体微团本身是否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。第六章流体的有旋流动和无旋涡运动§1流体微团运动分析§2流体旋涡运动的基本理论§3平面势流问题§4几种简单的不可压缩流体的平面流动§5平面无旋流动的叠加§6叶栅的库塔-儒可夫斯基公式和库塔条件§2流体旋涡运动的基本理论一、流体旋涡运动的基本概念由于流体在流动中存在粘性，所以自然界中的流体运动一般都是有旋的。流体的旋涡运动分两种情况：1、流体作圆周运动的旋涡运动2、流体宏观流动并无明显旋转或圆周运动，但流体微团的角速度不为零。§2流体旋涡运动的基本理论流体在整个流场中作旋涡运动，或者局部流场区域中存在绕自身轴线旋转的流体微团，于是便在该流场中形成一个用角速度表示的涡量场。在涡量场中引进涡线、涡管、涡束和涡通量。1、涡量、涡量场涡量是流体微团的旋转角速度的两倍有涡量存在的流场称为涡量场。§2流体旋涡运动的基本理论2、涡线

——涡量场中，任一瞬时，过任一点可作一条曲线，使曲线上每一点的切线与该点处的流体微团的涡量之方向一致。这样的曲线称为涡线。与流线一样，涡线也不能相交和折转，不定常时涡线形状随时间而变。3、涡管

——过涡场中任意一封闭曲线上所有点作涡线，形成一个管状柱面，称为涡管。5、旋涡强度（涡通量）——穿过任意面积上的法向涡量与面积的乘积定义为旋涡强度，也称为涡通量§2流体旋涡运动的基本理论4、涡束——过涡管截面上所有点之涡线总体，称为涡束。涡束内部的流体可以像刚体旋转那样，流体各微团都以相同的角速度作圆周运动；也可以是宏观上并不作圆周运动而流体微团绕自身轴线旋转的有旋流场。速度环量的定义：速度环量为速度沿流场中任意封闭曲线的线积分§2流体旋涡运动的基本理论二、速度环量速度环量是标量，它的正负号不仅与速度的方向有关，而且与线积分的绕行方向有关。为统一起见，特规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向。被包围面积的法线的正方向应与绕行的正方向成右手螺旋系统。斯托克斯定理为：当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和。

§2流体漩涡运动的基本理论三、斯托克斯定理1、微元面积上的斯托克斯定理任意曲线上的环量等于所围面积中的旋涡强度§2流体漩涡运动的基本理论2、任意平面面积上的斯托克斯定理以上斯托克斯定理只在单连通域的流场中成立3、空间任意曲面上的斯托克斯定理§2流体漩涡运动的基本理论§2流体漩涡运动的基本理论若曲线上的环量等于零，则所围区域内不一定是无旋的。4、斯托克斯定理推得的结论若区域内处处无旋，则区域周边的环量等于零；若区域内处处有旋，则区域周边的环量一般不等于零；若曲线上的环量不等于零，则所围区域内必定有旋；§2流体漩涡运动的基本理论斯托克斯定理是研究有旋流动的一个重要定理：1、它可以将对涡量的研究转化为对速度环量的研究，即将面积分转变为线积分。2、速度环量是否为零也可以决定流动是有旋还是无旋。3、在用速度环量来判断流动是否有旋时必须注意：包围某区域的环量为零，该区域内不一定是无旋流动，因为有可能有反向旋转的涡量存在。§2流体漩涡运动的基本理论关于非单连通域问题包围机翼的任意封闭曲线上的环量等于机翼周线上的环量值§2流体漩涡运动的基本理论关于速度间断面上的旋涡问题§2流体漩涡运动的基本理论汤姆逊定理：在理想流体运动中，若质量力有势，流体满足正压条件，对某一封闭的流体线的速度环量值不随时间而变化。即流体线上的环量等于常数（环量守恒定理）四、汤姆逊定理——环量守恒定理根据斯托克斯定理：流体线内部区域的旋涡强度也不随时间变化，即原先是有旋的流体，则永远有旋，若原先无旋则永远无旋。这说明，流场中的旋涡不可能凭空产生、也不可能凭空消失。因为理想流体没有粘性，不存在切向应力，不能传递旋转运动，既不能让不旋转的流体微团旋转起来，也不能使已经旋转的流体微团停止旋转。另外，正压性流体和质量力有势的流场等压面与等密度面是平行的，不会产生对流。§2流体漩涡运动的基本理论理想流体从静止开始运动前，由于静止流场中每一条封闭周线的速度环量都等于零，而且没有漩涡，所以在流动中环量仍然等于零没有旋涡。理想流体从静止开始流动后，由于某种原因流场中产生了漩涡，有了速度环量，则根据汤姆逊定理，在同一瞬间必然会产生与此环量大小相等方向相反的旋涡，以保持流场的总环量等于零。§2流体漩涡运动的基本理论亥姆霍兹第一定理：正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为有相同流体质点组成的涡管。亥姆霍兹第二定理：在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同。亥姆霍兹第三定理：在有势的质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管的旋涡强度不随时间而变化，永远保持定值。五、亥姆霍兹旋涡定理§2流体漩涡运动的基本理论六、毕奥——沙伐尔定理涡强为的直线涡段对垂直距离为的任意位置点处之诱导速度为：式中：§2流体漩涡运动的基本理论对无限长直线涡对半限长直线涡对圆形涡环第六章流体的有旋流动和无旋涡运动§1流体微团运动分析§2流体旋涡运动的基本理论§3平面势流问题§4几种简单的不可压缩流体的平面流动§5平面无旋流动的叠加§6叶栅的库塔-儒可夫斯基公式和库塔条件§3平面势流问题一）平面流动平面流动必须满足的条件：1、平面上任何一点的速度、加速度都平行所在平面，无垂直该平面的分量存在2、相互平行的所有平面上的流动情况完全一样3、实际情况不存在平行平面完全一样的流动，然而这类问题完全可近似地作为二元流动问题来处理§3平面势流问题二、速度势函数1、速度势函数存在的条件：在无旋流动中每一个流体微团的速度都要以下条件：根据数学分析可知，满足以上条件的充分必要条件就是，存在某一函数，它和速度的三个分量的关系为：§3平面势流问题b、对于无旋流动引入速度势函数，可以将流场中速度三个分量的求解变为求解一个速度势函数的问题a、不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动还是非定常流动，只要满足无旋条件，必然有速度势存在2、速度势函数性质的几点讨论c、速度势函数与环量之间的关系：流场无旋则环量等于零两点间线积分与路径无关存在速度势函数流场必定为无旋§3平面势流问题d、在不可压缩流体的有势流动中，速度势函数满足拉普拉斯方程，即速度势函数是调和函数e、任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数值之差，而与曲线形状无关连续性条件§3平面势流问题三、流函数1、流函数的引入对于不可压缩流体的平面流动有连续性方程如下：根据数学分析可知，不可压缩流体平面流动的连续性条件是成为某一函数全微分的充分和必要条件，这个函数为流函数。（流线方程）（连续性方程）1、对于不可压缩流的二维流动，无论是有旋流动还是无旋流动，流体有粘性还是没有粘性，一定存在流函数。在三维流动中一般不存在流函数（轴对称流动除外）。§3平面势流问题2、流函数的性质几点讨论：3、由全微分式可知，在每一条流线上，流函数都有各自的常数值，流函数的等值线就是流线。2、对于不可压缩流体的平面流动，流函数永远满足连续性方程。5、平面流动中，通过两条流线间任意一曲线（单位厚度）的体积流量等于两条流线的流函数之差，与流线形状无关。§3平面势流问题4、对于不可压缩流体的平面势流，流函数满足拉普拉斯方程，流函数也是调和函数。§3平面势流问题四、速度势函数与流函数的关系对于不可压缩流体平面无旋流动，必然同时存在速度势函数和流函数，它们之间的关系为：上式为等势线族和流线族相互正交的条件。在平面上等势线族和流线族可构成正交网格成为流网在平面无旋流动情况下，流函数或速度势函数都满足拉普拉斯方程（椭圆形方程）。由数理方程理论，满足拉普拉斯方程的函数为调和函数，根据调和函数的性质可知，若干个调和函数的线性组合仍然是调和函数，仍然可以作为代表某一有势流动的流函数或速度势函数。§3平面势流问题五、势流叠加原理研究势流叠加原理的意义在于，将复杂的是流分解成一些简单的是流，将求得的简单是流的解叠加起来，就可得到复杂流动的解。第六章流体的有旋流动和无旋涡运动§1流体微团运动分析§2流体旋涡运动的基本理论§3平面势流问题§4几种简单的不可压缩流体的平面流动§5平面无旋流动的叠加§6叶栅的库塔-儒可夫斯基公式和库塔条件§4几种简单的不可压缩流体的平面流动一）平行流流体作等速直线流动，流场中各点速度的大小和方向都相同。速度势函数：流函数：伯努利方程：§4几种简单的不可压缩流体的平面流动二）点源和点汇无限平面上流体从一点沿径向直线均匀地从各方流入的流动现象称为点汇；若流体沿径向均匀地向各方向流出的流动现象称为点源。势函数：速度势函数：伯努利方程：由涡束以等角速度绕自身轴线旋转而诱导出的平面环流称为涡流；当涡束的半径趋于零，以上的涡流便称为点涡。各圆周上流体的流速沿半径的变化规律可用斯托克斯定理求得：§4几种简单的不可压缩流体的平面流动三）涡流和点涡涡束外涡束边缘§4几种简单的不可压缩流体的平面流动涡束内为有旋流动流体的压强可以用欧拉运动微分方程求得涡核内任一点的速度边界条件§4几种简单的不可压缩流体的平面流动§4几种简单的不可压缩流体的平面流动点涡的速度势函数和流函数积分得：第六章流体的有旋流动和无旋涡运动§1流体微团运动分析§2流体旋涡运动的基本理论§3平面势流问题§4几种简单的不可压缩流体的平面流动§5平面无旋流动的叠加§6叶栅的库塔-儒可夫斯基公式和库塔条件强度为，为原点的点源流和平行于轴的直线流叠加。§5平面无旋流动的叠加一）点源流和平行流相叠加§5平面无旋流动的叠加求驻点位置令则驻点位置过驻点的流线§5平面无旋流动的叠加二）点汇和点涡——螺旋流点汇点涡螺旋流§5平面无旋流动的叠加令上两式等于常数，便可得到等势线和流线螺旋流§5平面无旋流动的叠加三）点源和点汇——偶极子流§5平面无旋流动的叠加§5平面无旋流动的叠加四）平行流绕圆柱无环量流动——为平行流和偶极流叠加而成的平面流动即流线方程零流线§5平面无旋流动的叠加流场中任一点的速度分量：§5平面无旋流动的叠加圆柱面上任一点的压强：§5平面无旋流动的叠加达朗伯疑惑§5平面无旋流动的叠加五）平行流绕圆柱有环量流动§5平面无旋流动的叠加流场中任一点的速度分量：边界条件：§5平面无旋流动的叠加求驻点：若则有：§5平面无旋流动的叠加圆柱面上压强分布：单位长度圆柱体的阻力和升力：库塔-——儒可夫斯基升力公式升力方向为来流方向沿环量方向反转900第六章流体的有旋流动和无旋涡运动§1流体微团运动分析§2流体旋涡运动的基本理论§3平面势流问题§4几种简单的不可压缩流体的平面流动§5平面无旋流动的叠加§6叶栅的库塔-儒可夫斯基公式和库塔条件§6叶栅的库塔