概率论第6章参数估计

第六章参数估计机动目录上页下页返回结束第六章参数估计参数的点估计估计量的优良准则参数的区间估计0-1分布参数的区间估计单侧置信区间上一节,我们介绍了总体、样本、简单随机样本、统计量和抽样分布的概念,介绍了统计中常用的三大分布,给出了几个重要的抽样分布定理.它们是进一步学习统计推断的基础.机动目录上页下页返回结束总体样本统计量描述作出推断

研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性,完全取决于其抽样分布的性质.随机抽样机动目录上页下页返回结束参数估计问题假设检验问题点估计区间估计统计推断的基本问题机动目录上页下页返回结束

现在我们来介绍一类重要的统计推断问题

参数估计问题,它是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.估计废品率估计新生儿的体重估计湖中鱼数……估计降雨量

在参数估计问题中,假定总体分布形式已知,未知的仅仅是一个或几个参数.机动目录上页下页返回结束这类问题称为参数估计.

参数估计问题的一般提法X1,

X2,

…,

Xn要依据该样本对参数作出估计,或估计的某个已知函数.量).现从该总体抽样,得样本

设有一个统计总体,总体的分布函数为

,其中为未知参数(可以是向机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束由总体的样本(X1,

X2,

…,

Xn)对每一个未知参数

(i=1,

2,

…,

k)构造统计量作为参数

的估计,称为参数

的估计量.样本(X1,

X2,

…,

Xn)的一组取值(x1,

x2,

…,

xn)称为样本观察值,将其代入估计量得到数值称为参数

的估计值.iq参数估计类型

参数是刻画总体某方面概率特性的数量.参数的类型有:若,2未知,通过构造统计量,给出它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容.区间估计参数估计的两种类型点估计例如,

机动目录上页下页返回结束1、分布中所含的未知参数

.

设这5个数是:1.651.671.681.781.69.现从该总体选取容量为5的样本,我们的任务是要根据选出的样本(5个数)求出总体均值

的估计.而全部信息就由这5个数组成.估计为1.68,这是点估计.

机动目录上页下页返回结束估计在区间(1.57,1.84)内,这是区间估计.(假定身高服从正态分布)假如我们要估计某队男生的平均身高.2、分布中所含的未知参数

的函数

3、分布的各种特征数例如:,分布中位数等.例如:

,其中,2未知,对于某定值a,

要估计,即为

,

的函数.机动目录上页下页返回结束例

已知某地区新生婴儿的体重X~随机抽查100个婴儿…得100个体重数据10,

7,

6,

6.5,

5,

5.2,

…呢?据此,

我们应如何估计和而全部信息就由这100个数组成.6.1参数的点估计机动目录上页下页返回结束使用什么样的统计量去估计?可以用样本均值;也可以用样本中位数;还可以用别的统计量.问题是:

机动目录上页下页返回结束寻求估计量的方法1.矩估计法2.极大似然法3.最小二乘法4.贝叶斯方法……这里我们主要介绍前面两种方法.机动目录上页下页返回结束

矩估计法其基本思想是用样本矩估计总体矩.理论依据:或格列汶科定理

它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法.是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的.大数定律机动目录上页下页返回结束记总体k阶矩为样本k阶矩为用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称为矩估计法.记总体k阶中心矩为样本k阶中心矩为机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束矩法估计步骤设总体X的分布为,k个参数

待估计,(X1,

X2,

…,

Xn)是一个样本.(1)计算总体分布的i

阶原点矩(计算到k阶矩为止,k个参数);机动目录上页下页返回结束(2)列方程从中解出方程组的解,记为,则分别为参数

的矩估计.机动目录上页下页返回结束解得矩法估计量为解例6.1设总体X的均值为

,方差为

,均未知.(X1,

X2,

…,

Xn)是总体的样本,求

和

的矩估计.机动目录上页下页返回结束注:机动目录上页下页返回结束例6.3设(X1,

X2,

…,

Xn)来自X的一个样本,且求a,

b的矩估计.解例6.2设总体,求

的矩估计.机动目录上页下页返回结束解

X~U(a,

b)例6.3设(X1,

X2,

…,

Xn)来自X的一个样本,且求a,

b的矩估计.解得矩估计为2阶中心矩机动目录上页下页返回结束解:由矩法,样本矩总体矩从中解得的矩估计.即为数学期望是一阶原点矩例6.4

设总体X的概率密度为是未知参数,其中X1,

X2,

…,

Xn是取自X的样本,

求参数的矩估计.机动目录上页下页返回结束解:

由密度函数知具有均值为的指数分布机动目录上页下页返回结束

例6.5设X1,

X2,

…,Xn是取自总体X的一个样本其中,求的矩估计.是未知参数故即解得令用样本矩估计总体矩机动目录上页下页返回结束即机动目录上页下页返回结束矩法估计的优点:计算简单.如例6.2中,不是用1阶矩,而是用2阶矩.(2)

求矩法估计时,不同的做法会得到不同的解;(通常规定,在求矩法估计时,要尽量使用低阶矩).矩法估计的缺点:(1)矩法估计有时会得到不合理的解;机动目录上页下页返回结束与不同.解例6.2设总体,求

的矩估计.(3)

总体分布的矩不一定存在,所以矩法估计不一定有解.如机动目录上页下页返回结束

极大似然法

极大似然估计法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.

它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的,然而,GaussFisher这个方法常归功于英国统计学家费歇.

费歇在1922年重新发现了这一方法,并首先研究了这种方法的一些性质.机动目录上页下页返回结束

极大似然法的基本思想

先看一个简单例子:一只野兔从前方窜过.是谁打中的呢?

某位同学与一位猎人一起外出打猎.如果要你推测,你会如何想呢?只听一声枪响,野兔应声倒下.机动目录上页下页返回结束

下面我们再看一个例子,

进一步体会极大似然法的基本思想.

只发一枪便打中,

猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率.看来这一枪是猎人射中的.这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想.机动目录上页下页返回结束例

设X~B(1,

p),p未知.

设想我们事先知道p只有两种可能:问:

应如何估计p?p=0.7或p=0.3如今重复试验3次,

得结果:0,0,0由概率论的知识,3次试验中出现“1”的次数k=0,

1,

2,

3机动目录上页下页返回结束

将计算结果列表如下:应如何估计p?p=0.7或p=0.3k=0,

1,

2,

3p值 P(Y=0)P(Y=1)P(Y=2)P(Y=3)0.7 0.0270.189 0.441 0.3430.3 0.3430.441 0.189 0.027 出现估计出现出现出现估计估计估计0.3430.4410.4410.343机动目录上页下页返回结束

如果有p1,

p2,

…,

pm可供选择,又如何合理地选p呢?从中选取使Qi

最大的pi

作为p的估计.i=1,

2,

…,

m则估计参数p为时Qi

最大,比方说,

当我们计算一切可能的

P(Y=k;pi

)=Qi

,

i=1,

2,

…,

m机动目录上页下页返回结束若重复进行试验n次,

结果“1”出现k次(

),如果只知道0<p<1,

并且实测记录是Y=k(0≤

k≤n),

又应如何估计p呢?注意到是p的函数,

可用求导的方法找到使f(p)达到极大值的p.

但因f(p)与lnf(p)达到极大值的自变量相同,

故问题可转化为求lnf(p)的极大值点.机动目录上页下页返回结束将ln

f(p)对p求导并令其为0,这时,对一切0<p<1,

均有从中解得便得

p(n-k)=k(1-p)机动目录上页下页返回结束

以上这种选择一个参数使得实验结果具有最大概率的思想就是极大似然法的基本思想.这时,

对一切0<p<1,

均有则估计参数p为机动目录上页下页返回结束

极大似然估计原理当给定样本X1,

X2,

…,Xn时,定义似然函数为：机动目录上页下页返回结束

设X1,

X2,

…,Xn是取自总体X的一个样本,样本的联合密度(连续型)或联合概率函数(离散型)为

似然函数:极大似然估计法就是用使

达到最大值的去估计.称为的极大似然估计(MLE).

看作参数的函数,它可作为将以多大可能产生样本值X1,

X2,

…,Xn的一种度量.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束,称为参数的对每一样本值(x1,

x2,

…,

xn),在参数空间内使似然函数达到最大的参数估计值极大似然估计值,它满足称统计量为参数

的极大似然估计量.记为机动目录上页下页返回结束极大似然估计求解步骤如果X是连续型随机变量,密度函数为f(x),则如果X是离散型随机变量,分布律为P(X=k),则(1)写出似然函数L的表达式设总体X的分布中,有m个未知参数,它们的取值范围.机动目录上页下页返回结束(2)在内求出使得似然函数L达到最大的参数的估计值它们就是未知参数

的极大似然估计.一般地,先将似然函数取对数lnL,然后令lnL关于

的偏导数为0,得方程组机动目录上页下页返回结束从中解出机动目录上页下页返回结束x=1,2,…设(x1,

x2,

…,

xn)为样本(X1,

X2,

…,

Xn)的一个观察值,似然函数解总体X的分布律为例6.6

(X1,

X2,

…,

Xn)是来自总体

的样本,

未知,求

的极大似然估计量.机动目录上页下页返回结束对数似然函数的极大似然估计值为的极大似然估计量为机动目录上页下页返回结束解设(x1,

x2,

…,

xn)为样本(X1,

X2,

…,

Xn)的一个观察值,则似然函数为例6.7设(X1,

X2,

…,X

n)是来自正态总体

的一个样本,

未知,求

的极大似然估计.机动目录上页下页返回结束解得思考:当

已知时,所以的极大似然估计量分别为机动目录上页下页返回结束例6.8设X~U[a,

b],a,

b未知,(X1,

X2,

…,

Xn)是总体X的一个样本,求a,

b的极大似然估计.设(x1,

x2,

…,

xn)为样本(X1,

X2,

…,

Xn)的一个观察值,则似然函数解

X的密度函数为机动目录上页下页返回结束无法求出估计机动目录上页下页返回结束设x1*=min(x1,

x2,

…,

xn),

xn*=max(x1,

x2,

…,

xn),则a的取值范围a≤x1*,b的取值范围b≥xn*L(a,

b)当a=x1*,b=xn*时取得最大值.所以当a=x1*,b=xn*时,有两点说明:可以得到的MLE.若是向量,上述方程必须用似然方程组代替.机动目录上页下页返回结束1、求似然函数

的最大值点,可以应用微积分中的技巧.由于ln(x)是x的增函数,

与

在的同一值处达到它的最大值,假定是一实数,且

是的一个可微函数.通过求解所谓“似然方程”:2、用上述求导方法求参数的MLE有时行不通,这时要用极大似然原则来求.两点说明：机动目录上页下页返回结束L(p)=f(X1,

X2,

…,Xn;p)例6.8设X1,

X2,

…,Xn是取自总体X~B(1,p)的一个样本,求参数p的极大似然估计.解:似然函数为:机动目录上页下页返回结束对数似然函数为：对p求导并令其为0,得即为p

的MLE.机动目录上页下页返回结束解:似然函数为对数似然函数为例6.9

设X1,

X2,

…,Xn是取自总体X的一个样本求的极大似然估计.机动目录上页下页返回结束其中

求导并令其为0从中解得即为的MLE.对数似然函数为机动目录上页下页返回结束解:似然函数为

例6.10设X1,

X2,

…,Xn是取自总体X的一个样本其中

,

求的极大似然估计.i=1,2,…,n机动目录上页下页返回结束未知对数似然函数为解:似然函数为i=1,

2,

…,

n机动目录上页下页返回结束(2)由(1)得(1)对分别求偏导并令其为0,对数似然函数为用求导方法无法最终确定用极大似然原则来求.机动目录上页下页返回结束是对故使达到最大的即的MLE，于是取其它值时,即为的MLE.且是的增函数由于机动目录上页下页返回结束我们知道,

服从正态分布

的r.vX

由大数定律,机动目录上页下页返回结束可以用样本均值

估计类似地,用样本修正方差

估计

样本均值是否是

的一个好的估计量?(2)怎样决定一个估计量是否比另一个估计量“好”?样本方差是否是

的一个好的估计量?这就需要讨论以下几个问题:(1)我们希望一个“好的”估计量具有什么特性?(3)如何求得合理的估计量?那么要问:机动目录上页下页返回结束

在介绍估计量优良性的准则之前,我们必须强调指出:

评价一个估计量的好坏,不能仅仅依据一次试验的结果,而必须由多次试验结果来衡量.

这是因为估计量是样本的函数,是随机变量.因此,由不同的观测结果,就会求得不同的参数估计值.因此一个好的估计,应在多次试验中体现出优良性.6.2

估计的优良准则机动目录上页下页返回结束

常用的几条标准是:1．无偏性2．有效性3．相合性机动目录上页下页返回结束

估计量是随机变量,对于不同的样本值会得到不同的估计值.我们希望估计值在未知参数真值附近摆动,而它的期望值等于未知参数的真值.这就导致无偏性这个标准.

无偏性则称为的无偏估计.设是未知参数的估计量,若机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束如果不是无偏的,就称该估计是有偏的.称为的偏差.如果,就称该估计为渐进无偏估计.

例如,用样本均值作为总体均值的估计时,虽无法说明一次估计所产生的偏差,但这种偏差随机地在0的周围波动,对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差.无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求.无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差.机动目录上页下页返回结束证明设X的k阶矩(X1,

X2,

…,

Xn)是来自正态总体X的一个样本,则例6.11设总体X的k阶矩存在,则不论X的分布如何,样本k阶原点矩是总体k阶矩的无偏估计.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束所以Ak是

的无偏估计.解设(X1,

X2,

…,

Xn)是取自总体X的一个样本,由例6.7知机动目录上页下页返回结束例6.12设

,其中

未知,问

的极大似然估计是否为

的无偏估计?若不是,请修正使它成为无偏估计.是

的无偏估计机动目录上页下页返回结束不是

的无偏估计,而为

的无偏估计.样本均值为总体均值

的无偏估计样本原点矩

为总体原点矩

的无偏估计.是总体方差

的无偏估计.一般的,二阶或二阶以上样本中心矩不是总体中心矩的无偏估计.机动目录上页下页返回结束所以无偏估计以方差小者为好,这就引进了有效性这一概念.的大小来决定二者和一个参数往往有不止一个无偏估计,若和都是参数的无偏估计量，比较我们可以谁更优.由于机动目录上页下页返回结束

有效性D()<D()则称较有效.都是参数的无偏估计量,若有设和机动目录上页下页返回结束在

的所有无偏估计量中,若是具有最小方差的无偏估计量,则称为一致最小方差无偏估计量.机动目录上页下页返回结束解

X的密度函数例6.12设总体

,

,未知,(X1,

X2,

…,

Xn)

是总体X的一个样本,(1)求

的矩估计和极大似然估计;(2)上述两个估计是否为无偏估计量,若不是,请修正为无偏估计量;(3)问在(2)中的两个无偏估计量哪一个更有效?机动目录上页下页返回结束解

X的密度函数(1)设(x1,

x2,

…,

xn)为样本观察值,则似然函数i=1,

2,

…,n

的矩估计为令xn*=max(x1,

x2,

…,

xn),则机动目录上页下页返回结束令xn*=max(x1,

x2,

…,

xn),则即

的极大似然估计为机动目录上页下页返回结束(2)是

的无偏估计.机动目录上页下页返回结束为求,先求Xn*的密度函数机动目录上页下页返回结束显然,它不是

的无偏估计,修正如下:则是

的无偏估计.令机动目录上页下页返回结束(3)机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束因此比更有效.当n>1时,对任意在参数估计中,很容易想到,如果样本容量越大,样本所含的总体分布的信息越多.n越大,越能精确估计总体的未知参数.随着n的无限增大,一个好的估计量与被估参数的真值之间任意接近的可能性会越来越大,这就是所谓的相合性或一致性.机动目录上页下页返回结束相合性机动目录上页下页返回结束则称

为的相合估计.

设总体X具有概率函数为未知参数,为的一个估计量,为样本容量.若对任意,有定义机动目录上页下页返回结束例6.13设是总体X的样本均值,则作为总体期望E(X)的估计量时,是E(X)的一致估计量.是E(X)的一致估计量.证明由大数定律可知,当

时机动目录上页下页返回结束证明由切贝雪夫不等式可知为

的一致估计量.例6.14设为

的无偏估计量,若则为

的一致估计量.机动目录上页下页返回结束这一节,我们介绍了参数点估计,讨论了估计量的优良性准则.给出了寻求估计量最常用的矩法和极大似然法.参数点估计是用一个确定的值去估计未知的参数.看来似乎精确,实际上把握不大.为了使估计的结论更可信,需要引入区间估计.

这是下一节的内容.机动目录上页下页返回结束上一节中,我们讨论了参数的点估计,只要给定样本观察值,就能算出参数的估计值.但用点估计的方法得到的估计值不一定是参数的真值,即使与真值相等也无法肯定这种相等(因为总体参数本身是未知的),也就是说,由点估计得到的参数估计值没有给出它与真值之间的可靠程度,在实际应用中往往还需要知道参数的估计值落在其真值附近的一个范围.6.3

区间估计为此我们要求由样本构造一个以较大的概率包含真实参数的一个范围或区间,这种带有概率的区间称为置信区间,通过构造一个置信区间对未知参数进行估计的方法称为区间估计.机动目录上页下页返回结束

譬如,在估计湖中鱼数的问题中,若我们根据一个实际样本,得到鱼数N的极大似然估计为1000条.若我们能给出一个区间,在此区间内我们合理地相信N的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了.

实际上,N的真值可能大于1000条,也可能小于1000条.机动目录上页下页返回结束

也就是说,我们希望确定一个区间,使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.湖中鱼数的真值[]

这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的,称为置信概率,置信度或置信水平.习惯上把置信水平记作,这里是一个很小的正数.机动目录上页下页返回结束置信水平的大小是根据实际需要选定的.

例如,通常可取置信水平=0.95或0.9等.根据一个实际样本,由给定的置信水平,我们求出一个尽可能小的区间,使置信区间.称区间为的置信水平为的机动目录上页下页返回结束寻找置信区间的方法,

一般是从确定误差限入手.使得称

为与

之间的误差限.

我们选取未知参数的某个估计量,根据置信水平,可以找到一个正数

,只要知道的概率分布,确定误差限并不难.机动目录上页下页返回结束下面我们就来正式给出置信区间的定义,并通过例子说明求置信区间的方法.由不等式可以解出:这个不等式就是我们所求的置信区间.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束使得

设总体X的分布函数族为对于给定的

,如果有两个统计量对一切

成立,则称随机区间是

的置信度为

的双侧置信区间.双侧置信下限;双侧置信上限;

置信度.置信区间定义由定义可知,置信区间是以统计量为端点的随机区间,对于给定的样本观察值(x1,

x2,

…,

xn),由统计量构成的置信区间可能包含真值

,也可能不包含真值,但在多次观察或试验中,每一个样本皆得到一个置信区间,在这些区间中包含真值

的区间占,不包含

的仅占.机动目录上页下页返回结束

一旦有了样本,就把估计在区间内.这里有两个要求:可见,

对参数作区间估计,就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量)机动目录上页下页返回结束2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度尽可能短,或能体现该要求的其它准则.可靠度与精度是一对矛盾,一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.1.要求以很大的可能被包含在区间内,就是说,概率要尽可能大.即要求估计尽量可靠.机动目录上页下页返回结束求参数的置信度为的置信区间.例设X1,

…,Xn是取自的样本,已知,

置信区间的求法明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平是多少?寻找未知参数的一个良好估计.解:寻找一个待估参数和估计量的函数,要求其分布为已知.有了分布,就可以求出Z取值于任意区间的概率.机动目录上页下页返回结束选的点估计为对给定的置信水平查正态分布表得对于给定的置信水平(大概率),根据Z的分布,确定一个区间,使得Z取值于该区间的概率为置信水平.使机动目录上页下页返回结束对给定的置信水平查正态分布表得使从中解得机动目录上页下页返回结束也可简记为于是所求的置信区间为机动目录上页下页返回结束从例解题的过程,我们归纳出求置信区间的一般步骤如下:1.明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平

是多少?2.寻找参数的一个良好的点估计T(X1,

X2,

…,Xn)称

为枢轴量.

3.寻找一个待估参数和估计量T的函数

,且其分布为已知.机动目录上页下页返回结束4.对于给定的置信水平

,根据

的分布,确定常数a,b,使得

5.对“

”作等价变形,

得到如下形式:机动目录上页下页返回结束则就是的

的置信区间.

可见,确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数和估计量T的函数

,

且

的分布为已知,不依赖于任何未知参数(这样我们才能确定一个大概率区间).

而这与总体分布有关,所以,总体分布的形式是否已知,是怎样的类型,至关重要.机动目录上页下页返回结束这里,我们主要讨论总体分布为正态的情形.

若样本容量很大,即使总体分布未知,应用中心极限定理,可得总体的近似分布,于是也可以近似求得参数的区间估计.教材上讨论了以下几种情形:单个正态总体均值和方差的区间估计.两个正态总体均值差和方差比的区间估计.比例p

的区间估计.机动目录上页下页返回结束

正态总体均值的置信区间1、已知,未知.则置信度为的

的置信区间为机动目录上页下页返回结束未知,未知.2、由于方差

未知用

的无偏估计量代替(定理5.3)机动目录上页下页返回结束则置信度为的

的置信区间为机动目录上页下页返回结束(1)根据实际问题构造样本的函数,要求仅含待估参数且分布已知;正态总体参数置信区间的解题步骤机动目录上页下页返回结束(3)解不等式得随机的置信区间;(4)由观测值及值查表计算得所求置信区间.(2)令该函数落在由分位点确定的区间里的概率为给定的置信度,要求区间按几何对称或概率对称;查标准正态分布表得解(1)由于,由样本观察值计算得例6.15已知某批灯泡的寿命

(单位:小时),现从这批灯泡中抽取10个,测得寿命分别为1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200,若

,求

的置信区间(1),

(2)未知.n=10,机动目录上页下页返回结束的置信度为0.95的置信区间[1145.25,1148.75].n=10机动目录上页下页返回结束(2)由于

未知,由样本观察值计算得S=87.0568,n=10,,查t

分布表得的置信度为0.95的置信区间[1084.72,1209.28].机动目录上页下页返回结束且由卡方分布分位点的概念可知

正态总体方差的置信区间机动目录上页下页返回结束1、未知,已知.此时

的极大似然估计为机动目录上页下页返回结束则置信度为的

的置信区间为此时取机动目录上页下页返回结束2、未知,未知.则置信度为的

的置信区间为例6.16为测定某家具中的甲醛含量,取得4个独立的测量值的样本,并算得样本均值为8.34%,样本标准差为0.03%,设被测总体近似服从正态分布,

,求

的置信区间.查t分布表得机动目录上页下页返回结束解由题意:

未知,n=4,S=0.03%,机动目录上页下页返回结束对于

,由于

未知,查表则

的置信度为0.95的置信区间为[0.00029×10-4,0.0125×10-4]两个正态总体均值差的置信区间,S22为Y的样本均值和样本方差.相互独立.机动目录上页下页返回结束设样本X1,

X2,

…,

Xn1来自正态总体

样本Y1,

Y2,

…,

Yn2来自正态总体且相互独立,S12为X的样本均值和样本方差.机动目录上页下页返回结束取1、

已知,

的区间估计是

的极大似然估计.机动目录上页下页返回结束1、

已知,

的区间估计可知

的置信度为的置信区间为(定理5.5)机动目录上页下页返回结束2、若

未知,但已知

,的区间估计.此时,取机动目录上页下页返回结束可知

的置信度为的置信区间为

两个正态总体方差比的置信区间机动目录上页下页返回结束可知

的置信度为的置信区间为1、

未知.根据

的估计,构造机动目录上页下页返回结束2、

已知.可知

的置信度为的置信区间为例6.17研究机器A和机器B生产的钢管的内径,测得设两样本相互独立,取

求(1)

的置信区间,(2)若已知

,求

的置信区间.机动目录上页下页返回结束解已知机动目录上页下页返回结束(1)由

,

未知,查F分布表得机动目录上页下页返回结束的置信度为0.90的置信区间为[0.4475,2.9076].(2)机动目录上页下页返回结束

的置信度为0.90的置信区间为[-2.3785,-1.6615]取枢轴量由标准正态分布表,对任意a、b,我们可以求得P(a<Z<b).例如,设X1,

…,Xn是取自的样本,

已知,求参数的置信水平为的置信区间.机动目录上页下页返回结束

需要指出的是,给定样本,给定置信水平,置信区间也不是唯一的.对同一个参数,我们可以构造许多置信区间.例如,由机动目录上页下页返回结束置信区间为我们得到均值的置信水平为的由这个区间比前面一个要长一些.置信区间为我们得到均值的置信水平为的机动目录上页下页返回结束我们总是希望置信区间尽可能短.

类似地,我们可得到若干个不同的置信区间.

任意两个数a和b,只要它们的纵标包含f(z)下95%的面积,就确定一个95%的置信区间.机动目录上页下页返回结束

在概率密度为单峰且对称的情形,当a=-b时求得的置信区间的长度为最短.a=-b机动目录上页下页返回结束

即使在概率密度不对称的情形,如

分布,F分布,习惯上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间.

我们可以得到未知参数的的任何置信水平小于1的置信区间,并且置信水平越高,相应的置信区间平均长度越长.机动