新高考数学二轮复习专题27 单变量恒成立之参变分离后导函数零点可求型 (教师版)_第1页
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文档简介

(1)讨论函数f(x)的极值点的个数，并说明理由；(2)若对任意的x>0，f(x)＋ex≥x3＋x，求实数a的取值范围．4．解析(1)f′(x)＝xex－2ax＝x(ex－2a)．当a≤0时，由f′(x)<0得x<0，由f′(x)>0得x>0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)有1个极值点；当0<a<eq\f(1,2)时，由f′(x)>0得x<ln(2a)或x>0，由f′(x)<0得ln(2a)<x<0，∴f(x)在(－∞，ln(2a))上单调递增，在(ln(2a)，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)有2个极值点；当a＝eq\f(1,2)时，由f′(x)≥0，∴f(x)在R上单调递增，∴f(x)没有极值点；当a>eq\f(1,2)时，由f′(x)>0得x<0或x>ln(2a)，由f′(x)<0得0<x<ln(2a)，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln(2a))上单调递减，在(ln(2a)，＋∞)上单调递增，∴f(x)有2个极值点．综上，当a≤0时，f(x)有1个极值点；当a>0且a≠eq\f(1,2)时，f(x)有2个极值点；当a＝eq\f(1,2)时，f(x)没有极值点．(2)由f(x)＋ex≥x3＋x得xex－x3－ax2－x≥0．当x>0时，ex－x2－ax－1≥0，即a≤eq\f(ex－x2－1,x)对任意的x>0恒成立．设g(x)＝eq\f(ex－x2－1,x)，则g′(x)＝eq\f((x－1)(ex－x－1),x2)．设h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1．∵x>0，∴h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴h(x)>h(0)＝0，即ex－x－1>0，∴g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

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