新高考数学二轮复习专题08 函数的极值 (教师版)

专题08函数的极值1．函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都小，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0．则x0叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极小值．如图1．图1图22．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都大，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．则x0叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极大值．如图2．3．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．对极值的深层理解：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(2)按定义，极值点xi是区间［a，b］内部的点(如图)，不会是端点a，b；(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．(4)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大，在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小，在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大值小，极大值不一定比极小值大；(5)使f′(x)＝0的点称为函数f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点，也可能不是极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0处有f′(0)＝0，即x＝0是f(x)＝x3的驻点，但从f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数可知，x＝0不是f(x)的极值点．因此若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点；(6)函数f(x)在［a，b］上有极值，极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的，如上图，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在［a，b］内的极大值点、极小值点是交替出现的．B．7．已知函数f(x)＝eq\f(x,lnx)－ax在(1，＋∞)上有极值，则实数a的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))D．0，eq\f(1,4)7．答案B解析f′(x)＝eq\f(lnx－1,(lnx)2)－a，设g(x)＝eq\f(lnx－1,(lnx)2)＝eq\f(1,lnx)－eq\f(1,(lnx)2)，因为函数f(x)在(1，＋∞)上有极值，所以f′(x)＝g(x)－a有正有负．令eq\f(1,lnx)＝t，由x>1可得lnx>0，即t>0，得到y＝t－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)≤eq\f(1,4)．所以a<eq\f(1,4)，故选B．8．若函数f(x)＝x2－x＋alnx有极值，则实数a的取值范围是________．8．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8)))解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－1＋eq\f(a,x)＝eq\f(2x2－x＋a,x)，由题意知y＝f′(x)有变号零点，令2x2－x＋a＝0，即a＝－2x2＋x(x>0)，令φ(x)＝－2x2＋x＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))2＋eq\f(1,8)(x>0)，其图象如图所示，故a<eq\f(1,8)．9．若函数f(x)＝eq\f(1,2)x2＋(a－1)x－alnx存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a的取值范围为________．9．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))解析对函数求导得f′(x)＝x－1＋aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))＝eq\f((x＋a)(x－1),x)，x>0，因为函数存在唯一的极值，所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故x＝1是唯一的极值点，此时－a≤0，且f(1)＝－eq\f(1,2)＋a≥1，所以a≥eq\f(3,2)．10．已知函数f(x)＝xlnx＋mex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是__________．10．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，0))解析f(x)＝xlnx＋mex(x>0)，∴f′(x)＝lnx＋1＋mex(x>0)，令f′(x)＝0，得－m＝eq\f(lnx＋1,ex)，设g(x)＝eq\f(lnx＋1,ex)，则g′(x)＝eq\f(\f(1,x)－lnx－1,ex)(x>0)，令h(x)＝eq\f(1,x)－lnx－1，则h′(x)＝－eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)<0(x>0)，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0，∴当x∈(0，1]时，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0，1]上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，故g(x)max＝g(1)＝eq\f(1,e)，而当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，若f(x)有两极值点，只要y＝－m和g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个交点，只需0<－m<eq\f(1,e)，故－eq\f(1,e)<m<0．11．已知函数f(x)＝xlnx－eq\f(1,2)ax2－2x有两个极值点，则实数a的取值范围是________．11．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e2)))解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝lnx－ax－1．根据题意可得f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，则lnx－ax－1＝0有两个不同的正根，从而转化为a＝eq\f(lnx－1,x)有两个不同的正根，所以y＝a与y＝eq\f(lnx－1,x)的图象有两个不同的交点，令h(x)＝eq\f(lnx－1,x)，则h′(x)＝eq\f(2－lnx,x2)，令h′(x)>0得0<x<e2，令h′(x)<0得x>e2，所以函数h(x)在(0，e2)为增函数，在(e2，＋∞)为减函数，又h(e2)＝eq\f(1,e2)，x→0时，h(x)→－∞，x→＋∞时，h(x)→0，所以0<a<eq\f(1,e2)．12．已知函数f(x)＝eq\f(x,ex)－a．若f(x)有两个零点，则实数a的取值范围是()A．[0，1)B．(0，1)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))12．答案C解析f′(x)＝eq