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2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知直线,,则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的右焦点为,若F到直线的距离为,则E的离心率为()A. B. C. D.3.已知m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,给出四个命题:①若,,,则;②若,,则;③若,,,则;④若,,,则其中正确的是()A.①② B.③④ C.①④ D.②④4.设,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列:列出“全步”(整数部分)及诸分子分母,以最下面的分母遍乘各分子和“全步”,各自以分母去约其分子,将所得能通分之分数进行通分约简,又用最下面的分母去遍乘诸(未通者)分子和以通之数,逐个照此同样方法,直至全部为整数,例如:及时,如图:记为每个序列中最后一列数之和,则为()A.147 B.294 C.882 D.17646.已知函数,,且在上是单调函数,则下列说法正确的是()A. B.C.函数在上单调递减 D.函数的图像关于点对称7.已知函数的一条切线为,则的最小值为()A. B. C. D.8.已知抛物线和点,直线与抛物线交于不同两点,,直线与抛物线交于另一点.给出以下判断:①以为直径的圆与抛物线准线相离;②直线与直线的斜率乘积为;③设过点,,的圆的圆心坐标为,半径为,则.其中,所有正确判断的序号是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③9.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.已知是虚数单位,则复数()A. B. C.2 D.11.复数的共轭复数为()A. B. C. D.12.已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,直线与抛物线交于,两点,若,则为()A. B.40 C.16 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设,则_____,(的值为______.14.已知等比数列的各项都是正数,且成等差数列,则=__________.15.设为互不相等的正实数,随机变量和的分布列如下表,若记,分别为的方差,则_____.(填>,<,=)16.已知双曲线的左焦点为,、为双曲线上关于原点对称的两点,的中点为,的中点为,的中点为,若,且直线的斜率为,则__________,双曲线的离心率为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查,该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生,调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”,现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,统计情况如下表:同意不同意合计男生a5女生40d合计100(1)求a,d的值,根据以上数据,能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由;(2)将上述调查所得的频率视为概率,现在从所有学生中,采用随机抽样的方法抽取4位学生进行长期跟踪调查,记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为X,求X的分布列及数学期望.附:0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63518.(12分)如图,四棱锥中,侧面为等腰直角三角形,平面.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成的角的正弦值.19.(12分)已知函数.(1)解不等式:;(2)求证:.20.(12分)随着电子阅读的普及,传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击.某杂志社近9年来的纸质广告收入如下表所示:根据这9年的数据,对和作线性相关性检验,求得样本相关系数的绝对值为0.243;根据后5年的数据,对和作线性相关性检验,求得样本相关系数的绝对值为0.984.(1)如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入,现在有两个方案,方案一:选取这9年数据进行预测,方案二:选取后5年数据进行预测.从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析,你觉得哪个方案更合适?附:相关性检验的临界值表:(2)某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书,据统计,在该网站购买该书籍的大量读者中,只购买电子书的读者比例为,纸质版本和电子书同时购买的读者比例为,现用此统计结果作为概率,若从上述读者中随机调查了3位,求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.21.(12分)在直角坐标系中,是过定点且倾斜角为的直线;在极坐标系(以坐标原点为极点,以轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线的极坐标方程为.(1)写出直线的参数方程,并将曲线的方程化为直角坐标方程;(2)若曲线与直线相交于不同的两点,求的取值范围.22.(10分)在中,角的对边分别为,且满足.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若的面积为,,求和的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
先得出两直线平行的充要条件,根据小范围可推导出大范围,可得到答案.【详解】直线,,的充要条件是,当a=2时,化简后发现两直线是重合的,故舍去,最终a=-1.因此得到“”是“”的充分必要条件.故答案为C.【点睛】判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.2.A【解析】
由已知可得到直线的倾斜角为,有,再利用即可解决.【详解】由F到直线的距离为,得直线的倾斜角为,所以,即,解得.故选:A.【点睛】本题考查椭圆离心率的问题,一般求椭圆离心率的问题时,通常是构造关于的方程或不等式,本题是一道容易题.3.D【解析】
根据面面垂直的判定定理可判断①;根据空间面面平行的判定定理可判断②;根据线面平行的判定定理可判断③;根据面面垂直的判定定理可判断④.【详解】对于①,若,,,,两平面相交,但不一定垂直,故①错误;对于②,若,,则,故②正确;对于③,若,,,当,则与不平行,故③错误;对于④,若,,,则,故④正确;故选:D【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理,属于基础题.4.B【解析】
先解不等式化简两个条件,利用集合法判断充分必要条件即可【详解】解不等式可得,解绝对值不等式可得,由于为的子集,据此可知“”是“”的必要不充分条件.故选:B【点睛】本题考查了必要不充分条件的判定,考查了学生数学运算,逻辑推理能力,属于基础题.5.A【解析】
根据题目所给的步骤进行计算,由此求得的值.【详解】依题意列表如下:上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故选:A【点睛】本小题主要考查合情推理,考查中国古代数学文化,属于基础题.6.B【解析】
根据函数,在上是单调函数,确定,然后一一验证,A.若,则,由,得,但.B.由,,确定,再求解验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算是否为0.【详解】因为函数,在上是单调函数,所以,即,所以,若,则,又因为,即,解得,而,故A错误.由,不妨令,得由,得或当时,,不合题意.当时,,此时所以,故B正确.因为,函数,在上是单调递增,故C错误.,故D错误.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用,还考查了运算求解的能力,属于较难的题.7.A【解析】
求导得到,根据切线方程得到,故,设,求导得到函数在上单调递减,在上单调递增,故,计算得到答案.【详解】,则,取,,故,.故,故,.设,,取,解得.故函数在上单调递减,在上单调递增,故.故选:.【点睛】本题考查函数的切线问题,利用导数求最值,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.8.D【解析】
对于①,利用抛物线的定义,利用可判断;对于②,设直线的方程为,与抛物线联立,用坐标表示直线与直线的斜率乘积,即可判断;对于③,将代入抛物线的方程可得,,从而,,利用韦达定理可得,再由,可用m表示,线段的中垂线与轴的交点(即圆心)横坐标为,可得a,即可判断.【详解】如图,设为抛物线的焦点,以线段为直径的圆为,则圆心为线段的中点.设,到准线的距离分别为,,的半径为,点到准线的距离为,显然,,三点不共线,则.所以①正确.由题意可设直线的方程为,代入抛物线的方程,有.设点,的坐标分别为,,则,.所以.则直线与直线的斜率乘积为.所以②正确.将代入抛物线的方程可得,,从而,.根据抛物线的对称性可知,,两点关于轴对称,所以过点,,的圆的圆心在轴上.由上,有,,则.所以,线段的中垂线与轴的交点(即圆心)横坐标为,所以.于是,,代入,,得,所以.所以③正确.故选:D【点睛】本题考查了抛物线的性质综合,考查了学生综合分析,转化划归,数形结合,数学运算的能力,属于较难题.9.B【解析】
或,从而明确充分性与必要性.【详解】,由可得:或,即能推出,但推不出∴“”是“”的必要不充分条件故选【点睛】本题考查充分性与必要性,简单三角方程的解法,属于基础题.10.A【解析】
根据复数的基本运算求解即可.【详解】.故选:A【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.11.D【解析】
直接相乘,得,由共轭复数的性质即可得结果【详解】∵∴其共轭复数为.故选:D【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.12.D【解析】
如图所示,过分别作于,于,利用和,联立方程组计算得到答案.【详解】如图所示:过分别作于,于.,则,根据得到:,即,根据得到:,即,解得,,故.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中弦长问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.7201【解析】
利用二项展开式的通式可求出;令中的,得两个式子,代入可得结果.【详解】利用二项式系数公式,,故,,故(=,故答案为:720;1.【点睛】本题考查二项展开式的通项公式的应用,考查赋值法,是基础题.14.【解析】
根据等差中项性质,结合等比数列通项公式即可求得公比;代入表达式,结合对数式的化简即可求解.【详解】等比数列的各项都是正数,且成等差数列,则,由等比数列通项公式可知,所以,解得或(舍),所以由对数式运算性质可得,故答案为:.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的简单应用,等比数列通项公式的用法,对数式的化简运算,属于中档题.15.>【解析】
根据方差计算公式,计算出的表达式,由此利用差比较法,比较出两者的大小关系.【详解】,故.,.要比较的大小,只需比较与,两者作差并化简得①,由于为互不相等的正实数,故,也即,也即.故答案为:【点睛】本小题主要考查随机变量期望和方差的计算,考查差比较法比较大小,考查运算求解能力,属于难题.16.【解析】
设,,根据中点坐标公式可得坐标,利用可得到点坐标所满足的方程,结合直线斜率可求得,进而求得;将点坐标代入双曲线方程,结合焦点坐标可求得,进而得到离心率.【详解】左焦点为,双曲线的半焦距.设,,,,,,即,,即,又直线斜率为,即,,,,在双曲线上,,即,结合可解得:,,离心率.故答案为:;.【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用问题,涉及到直线截双曲线所得线段长度的求解、双曲线离心率的求解问题;关键是能够通过设点的方式,结合直线斜率、垂直关系、点在双曲线上来构造方程组求得所需变量的值.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关;(2)详见解析.【解析】
(1)根据表格及同意父母生“二孩”占60%可求出,,根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关(2)由题意可知X服从二项分布,利用公式计算概率及期望即可.【详解】(1)因为100人中同意父母生“二孩”占60%,所以,文(2)由列联表可得而所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关(2)①由题知持“同意”态度的学生的频率为,即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大,故X服从二项分布,即从而X的分布列为X01234X的数学期望为【点睛】本题主要考查了相关性检验、二项分布,属于中档题.18.(1)见解析(2)【解析】
(1)根据平面,利用线面垂直的定义可得,再由,根据线面垂直的判定定理即可证出.(2)取的中点,连接,以为坐标原点,分别为正半轴建立空间直角坐标系求出平面的一个法向量,利用空间向量法即可求解.【详解】因为平面平面,所以由为等腰直角三角形,所以又,故平面.取的中点,连接,因为,所以因为平面,所以平面所以平面如图,以为坐标原点,分别为正半轴建立空间直角坐标系则,又,所以且于是设平面的法向量为,则令得平面的一个法向量设直线与平面所成的角为,则【点睛】本题考查了线面垂直的定义、判定定理以及空间向量法求线面角,属于中档题.19.(1);(2)见解析.【解析】
(1)代入得,分类讨论,解不等式即可;(2)利用绝对值不等式得性质,,,比较大小即可.【详解】(1)由于,于是原不等式化为,若,则,解得;若,则,解得;若,则,解得.综上所述,不等式解集为.(2)由已知条件,对于,可得.又,由于,所以.又由于,于是.所以.【点睛】本题考查了绝对值不等式得求解和恒成立问题,考查了学生分类讨论,转化划归,数学运算能力,属于中档题.20.(1)选取方案二更合适;(2)【解析】
(1)可以预见,2019年的纸质广告收入会接着下跌,前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据,而后5年的数据得到的相关系数的绝对值,所以有的把握认为与具有线性相关关系,从而可得结论;(2)求得购买电子书的概率为,只购买纸质书的概率为,购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况:3人购买电子书,2人购买电子书一人只购买纸质书,由此能求出购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.【详解】(1)选取方案二更合适,理由如下:①题中介绍了,随着电子阅读的普及,传统纸媒受到了强烈的冲击,从表格中的数据中可以看出从2014年开始,广告收入呈现逐年下降的趋势,可以预见,2019年的纸质广告收入会接着下跌,前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据.②相关系数越接近1,线性相关性越强,因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值,我们没有理由认为与具有线性相关关系;而后5年的数据得到的相关系数的绝对值,所以有的把握认为与具有线性相关关系.(2)因为在该网站购买该书籍的大量读者中,只购买电子书的读者比例为,纸质版本和电子书同时购买的读者比例为,所以从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位,购买电子书的概率为,只购买纸质书的概率为,购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况:3人购买电子书,2人购买电子书一人只购买纸质书.概率为:.【点睛】本题主要考查最优方案
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