第九章 总体比率的推断

职教学院刘春雷E-mail：lcl2156@126.com《教育统计学》12第九章总体比率的推断第一节比率的抽样分布第二节总体比率的区间估计第三节总体比率的假设检验第四节总体比率差异的显著性检验3第一节比率的抽样分布一、数据的特点总体平均数、方差的统计推断——都是对由测量获得的、正态连续变量的数据所进行的统计推断。由点计而来的间断变量的数据或比率——按性质不同所划分的各种类别的个体的数目或比率。如：男女学生获奖的人数或比率；——按一定标准将测量获得的、正态连续变量的数据划分成不同类别。如：考试成绩分成及格和不及格的人数及比率。4第一节比率的抽样分布一、数据的特点对点计数据的统计推断应采用总体比率的推断方法或卡方检验。当事物被划分成两类——总体比率的统计推断；当事物被划分成两类以上——卡方检验（也可对仅有两种类别——凡是可以应用比率进行检验的资料，都可以应用卡方检验。）5第一节比率的抽样分布二、比率的抽样分布比率的抽样分布是二项分布。二项概率分布是进行总体比率统计推断的理论依据。6第一节比率的抽样分布二、比率的抽样分布——假设有一个二项分布的总体，现从中随机抽取一个容量为n的样本，成功事件出现的比率p=X/n，——然后将其还回总体中去，再从中随机抽取一个容量为n的样本，又可算得一个成功事件出现的比率p。——这样反复抽下去，就可以获得一切可能个样本，将这一切可能个样本的p值进行频数分布，就形成一个实验性的比率的抽样分布。7第一节比率的抽样分布二、比率的抽样分布当p=q，无论n的大小，二项分布呈对称形；当p<q且np≥5，或p>q且nq≥5时，即：np、nq其中一个最小频数等于或大于5时，二项分布已经开始接近正态分布。8第一节比率的抽样分布三、比率的标准误——二项试验成功事件一切可能样本的比率在抽样分布上的标准差为比率的标准误。——总体比率的标准误是由二项分布的标准差除以n而获得。σp——总体比率的标准误；p'——总体比率，q'=1-p'n——样本容量9第一节比率的抽样分布三、比率的标准误当总体比率未知时，需用样本比率p=X/n作为总体比率p'的点估计。总体比率标准误的估计量为Sp——总体比率标准误的估计量P——样本的比率，q=1-pn——样本容量10第一节比率的抽样分布三、比率的标准误例如从某区随机抽取100个中学生，查得正常视力有65人，若用样本比率p=65/100=0.65来估计全区中学生正常视力的比率时，其抽样误差根据公式为11第二节总体比率的区间估计总体比率的区间估计——根据一定概率的要求，估计总体比率的所在范围，称为总体比率的区间估计。一、正态近似法当p=q，无论n的大小，二项分布呈对称形；即便p≠q，np、nq其中一个最小频数等于或大于5，二项分布已经开始接近正态分布，故可用正态分布近似处理。其统计量为：12第二节总体比率的区间估计一、正态近似法令Z在-1.96和1.96之间变动，在此期间的概率为95%，即13第二节总体比率的区间估计一、正态近似法令Z在-1.96和1.96之间变动，在此期间的概率为95%，即于是，总体比率95%的置信下限和置信上限为14第二节总体比率的区间估计一、正态近似法令Z在-2.58和2.58之间变动，在此期间的概率为99%，即于是，总体比率99%的置信下限和置信上限为15例如从某区随机抽取100个中学生，查得正常视力有65人，若用样本比率p=65/100=0.65来估计全区中学生正常视力的比率。本例总体比率95%的置信区间为：P(0.557<p'<0.744)=0.95，因此该区中学生正常视力比率有95%的可能在0.557（55.7%）至0.744（74.4%）的范围内。本例总体比率99%的置信区间为：P(0.527<p'<0.773)=0.99，因此该区中学生正常视力比率有99%的可能在0.527（52.7%）至0.773（77.3%）的范围内。第二节总体比率的区间估计16二、查表法当p在0或1附近，或者样本容量n较小，二项分布呈偏态，这时不能用正态近似法估计总体比率的置信限，而可以采用查表法。附表6将1≤n≤1000，p≥1%的二项分布置信限列出。——如已知实验的次数n和——二项分布成功事件出现的绝对频数X，——就可根据此表查出总体比率95%或99%的置信限。第二节总体比率的区间估计17二、查表法例1：从某小学三年级随机抽取24个学生，测得汉语拼音成绩优秀者有5人，试估计该校三年级学生此次测验优秀的百分比是多少？根据n=24，X=5，查百分率的可信限表，成绩优秀的有95%的可能在7%-42%的范围内，有99%的可能在5%-49%范围内。第二节总体比率的区间估计18二、查表法例2：向53人调查关于全国统一高考的意见，其中表示赞成者有23人，试估计赞成全国统一高考总体比率95%及99%的置信区间。根据n=53，X=23，查表：n=50，相对应95%的置信限为32，61；n=60，相对应95%的置信限为26，52；第二节总体比率的区间估计19二、查表法例2：根据n=53，X=23，查表：n=50，相对应95%的置信限为32，61；n=60，相对应95%的置信限为26，52；设n=53的95%置信下限为p1，上限为p2，则（50-60）：（53-60）=（32-26）：（p1-26）置信下限p1=30.2（50-60）：（53-60）=（61-52）：（p2-52）置信上限p2=58.3同理可求得99%的置信区间为26.5%-62.3%结论：赞成全国统一高考95%的可能在30.2%-58.3%范围内，99%的可能在26.5%-62.3%范围内。第二节总体比率的区间估计20一、正态近似法当p=q，无论n的大小；或者np、nq其中一个最小频数等于或大于5，这时二项分布近似正态分布，可用Z检验总体比率的显著性。例如：某市中学教师中大学本科毕业的比率为0.60，现从某区随机抽取50名中学教师，其中大学本科毕业的有32人，问该区中学教师大学本科毕业的比率与全市中学教师大学本科毕业的比率是否有显著性差异？检验的步骤：（1）提出假设H0：p'=0.60H1：p'≠0.60第三节总体比率的假设检验21一、正态近似法（2）选择检验统计量并计算其值本例属于二项分布，但由于最小频数nq=50×0.36=18>5，其二项分布接近正态分布，故可选择Z作为检验统计量。第三节总体比率的假设检验p——样本的比率p'——总体的比率，q'

=1-p'n——样本的容量22一、正态近似法（3）统计决断根据双侧Z检验统计决断规则，Z=0.58<1.96=Z0.05，则P>0.05，差异不显著。于是保留H0而拒绝H1。结论：该区中学教师大学本科毕业的比率与全市没有显著性差异。也可以说，中学教师大学本科毕业的样本比率0.64是来自于比率为0.60的总体。本例也可以不用比率（相对频数）而用绝对频数进行Z检验。即将分子分母同乘以n。第三节总体比率的假设检验23二、查表法例如：某区高考录取率为0.25，其中甲校26个毕业生中有4人被录取，问甲校与全区录取率是否有显著性差异？检验的步骤：（1）提出假设H0：p'=0.25H1：p'≠0.25第三节总体比率的假设检验24二、查表法（2）计算总体比率的临界值——由于最小频数np=4<5的二项分布呈偏态，——对于总体比率的显著性检验不能用正态分布处理，——可通过查百分率的可信限表，求二项分布的两端临界值加以解决。根据n=26，X=4，查百分率的可信限表找到总体比率95%的置信区间为4%-35%第三节总体比率的假设检验25二、查表法（3）统计决断由于假设的总体比率落在样本所来自的总体比率95%两端临界限的中间，即0.04<0.25<0.35，故应保留H0而拒绝H1。结论：甲校高考录取率与全区录取率无显著性差异。第三节总体比率的假设检验26总体比率假设检验——根据一个样本的比率比较两个相应总体的比率——根据两个样本的比率一、两个独立样本比率差异的显著性检验两个独立样本比率之差的标准误为第四节总体比率差异的假设检验p1——第一个样本的比率，q1=1-p1p2——第二个样本的比率，q2=1-q2n1和n2——样本容量27一、两个独立样本比率差异的显著性检验在检验两个独立样本比率差异的显著性时，——以假设这两个样本比率来自同一个总体为前提，——于是就用两个样本比率的加权平均数作为总体比率的估计量，即第四节总体比率差异的假设检验28一、两个独立样本比率差异的显著性检验于是，两个独立样本比率之差的标准误有两种情况：当n1≠n2时，当n1=n2时，第四节总体比率差异的假设检验29一、两个独立样本比率差异的显著性检验如果两个独立样本的最小频数都等于或大于5，两个样本比率之差的抽样分布也接近于正态，于是可用Z检验两个比率之差的显著性。其检验统计量为：第四节总体比率差异的假设检验30一、两个独立样本比率差异的显著性检验例如：关于人体血液循环的讲授，在实验组运用形象直观的投影片。在对照组由教师画图说明。授课结束，当堂测验的结果如下表，问两种教学用具的效果是否有显著性差异？检验的步骤：（1）提出假设H0：p1'=P2'H1：p1'≠P2'第四节总体比率差异的假设检验31一、两个独立样本比率差异的显著性检验例如：检验的步骤：（2）选择检验统计量并计算其值由于实验组和对照组为两个独立样本，两组的最小频数n1q1=100×0.30=30，n2p2=60×0.40=24，均大于5，于是两个样本比率之差的抽样分布接近于正态，故可用上式对两个比率差异进行显著性检验。第四节总体比率差异的假设检验32一、两个独立样本比率差异的显著性检验例如：检验的步骤：（3）统计决断根据双侧Z检验统计决断规则，∣Z∣=3.73﹡﹡>2.58=Z0.01，则P<0.01，于是在0.01显著性水平上拒绝H0而接受H1。其结论为：两种方法的效果有极其显著性差异。第四节总体比率差异的假设检验33二、两个相关样本比率差异的显著性检验如果检验两个相关样本比率之差，——即检验同一组对象实验前后两个比率之差，——或两个配对组比率之差，可不必计算比率之差的标准误，而采用一种简单的方法处理。例如：某校120个学生期末代数测验之后，让他们在寒假独立完成教师编选的代数练习题，开学初进行同类题目的测验，两次测验结果见下面频数表，问学生独立完成教师编选的代数练习题，对提高代数成绩是否有显著效果？第四节总体比率差异的假设检验34二、两个相关样本比率差异的显著性检验第二次测验合计良非良第一次测验良a48b14a+b62p1=(a+b)/n非良c22d36c+d58q1=(c+d)/n合计a+c70b+d50p2=(a+c)/nq2=(b+d)/n第四节总体比率差异的